其中c为任意常数。因此 N(A)={c(1,-1/2,1)|c∈R} 对于任意(y,y2)∈R2,由于线性方程组 VI x3=y2 的增广知m(120y与系数矩阵/120 的秩皆为2,所以它有解。这说 V2 明A为满射,即A(R3)=R2。 下面讨论线性变换与矩阵的关系(下面的所提到的R中的向量,皆指列向 量)。由例5.2.1不难推断,任意一个n×m矩阵A,必确定Rm到R”上的一个线 性变换A。事实上,这个线性变换A可以如下定义: A(x)=Ax,x∈R 反之,若A是Rm到R上的线性变换,则存在nxm矩阵A,使得 A(x)=Ax,x∈R 事实上,若分别记Rm和R”上的自然基为{e1,e2…en}和{e,e2…en}。因 为A(e1) A(e1)=a1E1+a2C2+…+anEn=(e1,C2,…,En 1,2,…,m), 并记n×m矩阵 au a1 A 则对于x=(x,x2,…,xn)=xe1+x2e2+…+xnen∈Rm,有 A(x)=A(xe,+x2e2 x1A(e1)+x2A(e2) =(A(e1),A(e2)…,A(en) 那么,一般有限维线性空间之间的线性变换与矩阵有什么联系呢? 设an}m和{b}m分别是m维线性空间U和n维线性空间ⅴ中的一组基, 是U到ⅴ上的线性变换。设U中向量x用{a}m表示的形式为 x=aa+a 两边作用线性变换A,由线性变换的性质得, A(x)=a1A(a1)+a24(a2) 这就是说,线性变换由其对一组基的变换规律完全决定 由于对于i=1,2,…,m,A(a1)∈V,因此它可以用基{b}m1线性表示,记其中 c 为任意常数。因此 N(A)  { c(1, 1/ 2, 1) | c  R} T 。 对于任意 2 1 2 ( , )  R T y y ，由于线性方程组        2 3 2 1 2 1 2 2 , x x y x x y 的增广矩阵         2 1 0 2 1 1 2 0 y y 与系数矩阵         0 2 1 1 2 0 的秩皆为 2，所以它有解。这说 明 A 为满射，即 A ( 3 R ) 2  R 。 下面讨论线性变换与矩阵的关系（下面的所提到的 n R 中的向量，皆指列向 量）。由例 5.2.1 不难推断，任意一个 nm 矩阵 A ，必确定 m R 到 n R 上的一个线 性变换 A 。事实上，这个线性变换 A 可以如下定义： A(x)  Ax ， x m R 。 反之，若 A 是 m R 到 n R 上的线性变换，则存在 nm 矩阵 A ，使得 A(x)  Ax ， x m R 。 事实上，若分别记 m R 和 n R 上的自然基为 { , , , } 1 2 m e e  e 和 } ~ , , ~ , ~ { 1 2 n e e  e 。因 为 A(ei )  n R ，记                                   n i i i n i i i i i i n i n n a a a a a a a a a     2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 ) ~ , , ~, ~( ~ ~ ~ A(e ) e e e e e e （ i 1, 2,  , m ）， 并记 nm 矩阵                n n n m m m a a a a a a a a a A       1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 。 则对于      m m  T m x x x  x x e x e  x e 1 2 1 1 2 2 ( , , , ) m R ，有 ( ( ), ( ), , ( )) . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 A e A e A e x x A e A e A e A x A e e e A x x x x x x m m m m m              那么，一般有限维线性空间之间的线性变换与矩阵有什么联系呢？ 设 m i i 1 { } a  和 n j j 1 { } b  分别是 m 维线性空间 U 和 n 维线性空间 V 中的一组基，A 是 U 到 V 上的线性变换。设 U 中向量 x 用 m i i 1 { } a  表示的形式为 x  1 1 a  2 a2   m m a ， 两边作用线性变换 A，由线性变换的性质得， A(x)  1 A( 1 a )   2 A( 2 a )   m A( m a )。 这就是说，线性变换由其对一组基的变换规律完全决定。 由于对于 i 1,2,  ,m，A( i a )  V，因此它可以用基 n j j 1 { } b  线性表示，记