a a A(a1)=(b1,b2,…,bn) 于是,若记 a1 a13 a2 则 A(a1),A(a2),…,A(an) (b1,b2,…,bn (bb2,…,b 所以 A(x)=a1A(a1)+a24(a2) A(a) (4(a1),A(a2)…,A(an) (b1,b2,…bn) 这就是说,线性变换A由nxm矩阵A=(a)唯一确定,称A为线性变换A在 基{a}和{b,m1下的表示矩阵。顺便地,我们得到:当x在基{a}下的坐标 为 )时,A(x)在基{b}1下的坐标便是A( 特别地,当U和V分别为Rm和R”时,且基都取为自然基时,便从以上讨 论得到 例5.2.6设R2上的线性变换A将任意给定的向量x绕原点逆时针旋转角 度O,求A在自然基{e,e2}下的表示矩阵 (cos0(sin 0 解e,e2绕原点逆时针旋转角度O后,坐标分别是 (见图 sin e COS 526),即 cos0 -sin e (4(e1),A(e2))=(el,e2) sin e 所以,旋转变换A在自然基{e,e}下的表示矩阵为A4/ d(e1) in e cose 由于任意向量x=在自然基e,e2}下的坐标 就是它的分量,因此它经过变换A后,A(x)在{e1,e2} 图526A( i a ) ( , , , )  b1 b2  bn               n i i i a a a  2 1 ， i 1,2,  ,m。 于是，若记                n n n m m m a a a a a a a a a A       1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 ， 则 ( ( ), ( ), , ( )) A a1 A a2  A am ( , , , )  b1 b2  bn               n n nm m m a a a a a a a a a       1 2 21 22 2 11 12 1  (b1 , b2 ,  ,bn )A。 所以 ( ) ( ) ( ) ( ) A x  1A a1  2A a2  m A am ( ( ), ( ), , ( ))  A a1 A a2  A am                m    2 1 ( , , , )  b1 b2  bn               m A     2 1 。 这就是说，线性变换 A 由 nm 矩阵 A=   ij n m a  唯一确定，称 A 为线性变换 A 在 基 m i i 1 { } a  和 n j j 1 { } b  下的表示矩阵。顺便地，我们得到：当 x 在基 m i i 1 { } a  下的坐标 为 T m ( , , , ) 1 2   时， A(x) 在基 n j j 1 { } b  下的坐标便是 A T m ( , , , ) 1 2   。 特别地，当 U 和 V 分别为 m R 和 n R 时，且基都取为自然基时，便从以上讨 论得到： 例 5.2.6 设 2 R 上的线性变换 A 将任意给定的向量 x 绕原点逆时针旋转角 度  ，求 A 在自然基{e1，e2}下的表示矩阵。 解 e1，e2绕原点逆时针旋转角度  后，坐标分别是           sin cos 和           cos sin （见图 5.2.6），即 (A(e1), A(e2) ) = ( e1, e2)              sin cos cos sin 。 所以，旋转变换 A 在自然基{e1, e2}下的表示矩阵为               sin cos cos sin A 。 由于任意向量          y x x 在自然基 { , } 1 2 e e 下的坐标 就是它的分量，因此它经过变换 A 后， A(x) 在 { , } 1 2 e e y A(e2) e2 A(e1)   x e1 图 5.2.6