下的坐标是 0 -sin e sin e cose 这就是例52.1(4)的结果 三.不同基下表示矩阵的关系 为叙述简洁起见,下面只讨论线性空间到其自身的线性变换。 设A是m维线性空间U上的线性变换,{an}m是U的一组基。由前面所述, A在这组基下的表示矩阵是指满足 (A(a1),A(a2),…,A(an))=( 的矩阵A,它是一个m阶方阵。作为前面讨论的特例可知:如果在基{an}m1下,x 的坐标为a1,a2…,an),则A(x)的坐标是A(a1,a2,…an) 显然,有限维线性空间上的恒等变换在任意基下的表示矩阵都是单位矩阵 零变换在任意基下的表示矩阵都是零矩阵。 下面的定理说明了有限维线性空间上的线性变换在不同的基下的表示矩阵 的关系。 定理52.2设A是m维线性空间U上的任意一个线性变换,{a1}和{b} 是U的两组基,从{;}1到{}1的过渡矩阵为T。若A在基{a,}m和{}下的 表示矩阵分别是A和B,则成立 B=T-AT。 证A在基{a1}和{b}下的表示矩阵分别是A和B,即 (A(a1),A(a2),…,A(an))=(a1,a2,…,an)A4, (A(b1),4(b2)…,A(bn)=(b1,b2,…,bn)B 而从{a}到{b}1的过渡矩阵为T,即 (b1,b2,…,bn)=(a )T 对每个b,作线性变换A,利用A的线性性质,并注意到T是可逆矩阵,由上式 (A(b1),A(b2),…,A(bn))=(A4(a1),A(a2),…,A(an)T (a1,a2,…an)AT=(b1,b2…,bn)T-AT 因此 B=TAT 证毕 下表列出在U上的线性变换A下,U的向量x的坐标变化情况: 在基{a下的坐标在基m下的坐标 A(x) 例5.2.7在P中考虑求导运算A d由于在基{x2,x3}下, (A(1),A(x),A(x2),A(x3))=(0,1,2x,3x2)下的坐标是         y x A               sin cos cos sin         y x ， 这就是例 5.2.1（4）的结果。 三．不同基下表示矩阵的关系 为叙述简洁起见，下面只讨论线性空间到其自身的线性变换。 设 A 是 m 维线性空间 U 上的线性变换， m i i 1 { } a  是 U 的一组基。由前面所述， A 在这组基下的表示矩阵是指满足 ( ( ), ( ), , ( )) A a1 A a2  A am  (a1 ,a2 ,  ,am )A 的矩阵 A，它是一个 m 阶方阵。作为前面讨论的特例可知：如果在基 m i i 1 { } a  下，x 的坐标为 T m ( , , , ) 1 2   ，则 A(x) 的坐标是 A T m ( , , , ) 1 2   。 显然，有限维线性空间上的恒等变换在任意基下的表示矩阵都是单位矩阵； 零变换在任意基下的表示矩阵都是零矩阵。 下面的定理说明了有限维线性空间上的线性变换在不同的基下的表示矩阵 的关系。 定理5.2.2 设 A 是 m 维线性空间U上的任意一个线性变换， m i i 1 { } a  和 m i i 1 { } b  是 U 的两组基，从 m i i 1 { } a  到 m i i 1 { } b  的过渡矩阵为 T。若 A 在基 m i i 1 { } a  和 m i i 1 { } b  下的 表示矩阵分别是 A 和 B，则成立 B T AT 1  。 证 A 在基 m i i 1 { } a  和 m i i 1 { } b  下的表示矩阵分别是 A 和 B，即 ( ( ), ( ), , ( )) A a1 A a2  A am  (a1 ,a2 ,  ,am )A， 和 ( ( ), ( ), , ( )) A b1 A b2  A bm  (b1 ,b2 ,  ,bm )B ， 而从 m i i 1 { } a  到 m i i 1 { } b  的过渡矩阵为 T，即 ( , , , ) b1 b2  bm  (a1 ,a2 ,  ,am )T 。 对每个 i b 作线性变换 A ，利用 A 的线性性质，并注意到 T 是可逆矩阵，由上式 得 ( ( ), ( ), , ( )) A b1 A b2  A bm  (A(a1 ), A(a2 ), , A(am ))T  (a1 ,a2 ,  ,am )AT m T AT 1 1 2 ( , , , )   b b  b ， 因此 B T AT 1  。 证毕 下表列出在 U 上的线性变换 A 下，U 的向量 x 的坐标变化情况： 在基 m i i 1 { } a  下的坐标 在基 m i i 1 { } b  下的坐标 x ξ 1 T ξ A(x) Aξ 1 T Aξ 例 5.2.7 在 P3 中考虑求导运算 dx d A  。由于在基 {1, , , } 2 3 x x x 下， （ A(1) , A (x), A ( ) 2 x , A ( ) 3 x ） (0, 1, 2 , 3 ) 2  x x