《数学分析》上册教案 第五章导数与微分 海南大学数学系 第五章习题课 一、可导条件 例1设在点x。=0的某邻域内有|fx)川≤x2,证明fx)在点x。=0可导 例2设函数fx)在点x。可导，fx)=0,fx)≠0.则∫x训在点x,不可导. 例3设函数f(x)定义在区间(a,b)内，。∈(a,b).试证明：fx)在点x。可导的充要条件是 存在(a,b)内的函数∫(x)(仅依赖于∫和x).使f(x)在点x,连续且适合条件 f(x)-f(x)=(x-x)f'(x, x∈(a,b). 并有∫广(x)=∫"x 证明一)设f"(x)存在，定义 )-f2,x≠ f"(x)={x-x。 f'(x 易验证函数f(x)在点x连续，f(x)-fx)=(x-x)f(x,且广(x)=f"(x) )设fx)-f(x)=(x-xo)∫(x),又f广(x)在点x连续.则有 x)▣-▣=f 即f"(x)存在且'x)=∫(x) 二、求导数或求切线 例4fx)=x(x-1x-2).(x-25),求f'0)和∫(1).参阅[3]P92E11 5=agF.求阳5-6+2边》（-方》 ,x≠0，求0. 0,x=0. f"x)= 0,x=0.《数学分析》上册教案 第五章 导数与微分 海南大学数学系 1 第五章 习题课 一、可导条件 例 1 设在点 x0 = 0 的某邻域内有 ( ) . 2 f x  x 证明 f (x) 在点 x0 = 0 可导. 例 2 设函数 f (x) 在点 0 x 可导, ( ) 0, ( ) 0. f x0 = f  x0  则 | f (x)| 在点 0 x 不可导. 例 3 设函数 f (x) 定义在区间 (a,b) 内, ( , ). x0  a b 试证明: f (x) 在点 0 x 可导的充要条件是 存在 (a,b) 内的函数 f (x)  （仅依赖于 f 和 ) 0 x . 使 f (x)  在点 0 x 连续且适合条件 ( ) ( ) ( ) ( ), ( , ). f x − f x0 = x − x0 f x x  a b  并有 ( ) ( ). 0 0 f x = f  x  证明 ) 设 ( ) 0 f  x 存在, 定义       =  − − =  ( ), . , , ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 f x x x x x x x f x f x f x 易验证函数 f (x)  在点 0 x 连续, ( ) ( ) ( ) ( ), 0 0 f x f x x x f x  − = − 且 ( ) ( ). 0 0 f x = f  x  ) 设 ( ) ( ) ( ) ( ), 0 0 f x f x x x f x  − = − 又 f (x)  在点 0 x 连续. 则有 lim ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 f x f x x x f x f x f x x x x x   → → = = − −  = 即 ( ) 0 f  x 存在且 ( ) ( ). 0 0 f x f x   = 二、求导数或求切线 例 4 f (x) = x(x −1)(x − 2) (x − 25), 求 f (0) 和 f (1). 参阅[3]P92 E11. 例 5 ( ) 1, 2 f x = arctg x − 求 ) 5 1 . ( ( 5 ) ( 5 2 ) lim 0 − − + → h f f h h 例 6     =  = − 0, 0. , 0, ( ) 2 1 x e x f x x 求 (0). (n) f 解 (0) lim lim 0. 2 2 1 1 0  = ===== = → = − → t t x t x x e t x e f      =    = − 0, 0. , 0, 2 ( ) 2 1 3 x e x x f x x