2020-2021学年第一学期厦门大学数学科学学院《高等代数()》期末考试卷 六、(12分)设dmV=n,Ⅵ是V的子空间 (1)若dimV≥,证明存在V的子空间W,W,使得 V=V⊕W1=V⊕W2且W∩W2=O; (2)问dmV<号时,结论是否成立?并说明理由 证明(1)设51,52,…,5是V的一个基,r≥号将其扩为V的一个基5,52,…5,01,2,…,k, r+k=n令W=(a1,a2,…,ak),则V④W=V.又令W2=(51+a1,点2+a2,…,5k+a),往 证V④W2=V且W∩W2=0 首先,设a151+a252+…+a5+b1(51+a1)+b2(52+a2)+…+bk(5k+αk)=0,整理得, (a1+b1)51+(a2+b2)52+…+(ak+b)5k+ak+15k+1+…+a1+b11+b2a2+…+bkak=0. 由于51,52,…,5r,a1,a2,…,Q线性无关,因此a;+b;=0,i=1,2,…,k;1=0,i=k+1,…,r; b=0,i=1,2,…,k,故a=0,b=0,=1 j=1,2,2…,k.因此,51 5,51 5k+a是v的一个基,因此V=W∩W2 其次,设β∈W1∩W2,则可设β=∑=1a0=E1b1(5+0x).即E=1(a-b)点-∑=1G= 由于51,52,…,5r,a1,a2,…,线性无关,因此b=0,i=1,2,…,k,B=0,即W1∩W2=0 (2)不成立.若v⊕W=VW,且W1∩W2=0,dimV1<2.则dmW>,dmW>号.从 而dim(W1+W)=dimW1+dmW2-dim(W1∩w2)>n,这是不可能的 七、(12分)设q是v到U的线性映射,证明存在U到V的线性映射v,使得vqy= 证明设51,52,…,是V的一个基,m1,n2,…,nm是U的一个基,φ在该基下的矩阵为A 对A存在可逆矩阵P,Q,使得PAQ=diag(E,0).令B= Odiag(Er,O)P,定义U到v的线性映 射v:U→V,使得v(n,n2,…,hm)=(51,52,…,5n)B,则vpy=v 八、(10分)设σ是2n维线性空间V的线性变换.证明:Imo=Kero的充分必要条件是存在V的 个基,使得σ在这个基下的矩阵为 O En 证明充分性设该基为51,…,5n,5n+1,…,与2n,则 0,…,0,51,…,5n) 00 因此lm=(51,…,5n),Kero=(51,…,bn)=Imσ 必要性因Imo=Kero,则dimm= dinero,且由于 dilma+ dim Kero=dmV,所以Imo= Kera=n.设1,52,…,是Kero的基,将其扩为V的基51,2 1,…,52n,因Kero= 第4页,共5页2020-2021Æc1òÆœfÄåÆÍÆâÆÆ5pìÍ(I)6œ"£Ú 8!(12©) dimV = n, V1¥Vfòm. (1) edimV1 ≥ n 2 , y²3VfòmW1,W2, ¶ V = V1 LW1 = V1 LW2ÖW1 T W2 = O; (2) ØdimV1 < n 2û, (ÿ¥ƒ§·? ø`²nd. y² (1) ξ1,ξ2,··· ,ξr¥V1òáƒ,r ≥ n 2 . ÚŸ*èVòáƒξ1,ξ2,··· ,ξr ,α1,α2,··· ,αk , r+k = n. -W1 = hα1,α2,··· ,αki, KV1 LW1 = V. q-W2 = hξ1 +α1,ξ2 +α2,··· ,ξk +αki. yV1 LW2 = VÖW1 T W2 = 0. ƒk, a1ξ1 + a2ξ2 + ··· + arξr + b1(ξ1 + α1) + b2(ξ2 + α2) + ··· + bk(ξk + αk) = 0, n, (a1+b1)ξ1+(a2+b2)ξ2+···+(ak+bk)ξk+ak+1ξk+1+···+arξr+b1α1+b2α2+···+bkαk = 0. duξ1,ξ2,··· ,ξr ,α1,α2,··· ,αk Ç5Ã', œdai+bi = 0,i = 1,2,··· , k; ai = 0,i = k+1,··· ,r; bi = 0,i = 1,2,··· , k, ai = 0,bj = 0,i = 1,2,··· ,r, j = 1,2,2··· , k. œd, ξ1,ξ2,··· ,ξr ,ξ1 + α1,ξ2 +α2,··· ,ξk +αk¥Vòáƒ, œdV = V1 T W2. Ÿg, β ∈ W1 T W2, Kåβ = ∑ k i=1 aiαi = ∑ k i=1 bi(ξ +αi). =∑ k i=1 (ai −bi)ξi −∑ k i=1αi = 0. duξ1,ξ2,··· ,ξr ,α1,α2,··· ,αkÇ5Ã', œdbi = 0,i = 1,2,··· , k, β = 0, =W1 T W2 = 0. (2) ÿ§·. eV1 LW1 = V1 LW2, ÖW1 T W2 = 0, dimV1 < n 2 . KdimW1 > n 2 , dimW2 > n 2 . l dim(W1 +W2) = dimW1 +dimW2 −dim(W1 T W2) > n, ˘¥ÿåU. ‘!(12©) ϕ¥VUÇ5N, y²3UVÇ5Nψ, ¶ψϕψ = ψ. y² ξ1,ξ2,··· ,ξn¥Vòáƒ, η1,η2,··· ,ηm¥Uòáƒ, ϕ3Tƒe› èA. ÈA3å_› P, Q, ¶PAQ = diag(Er ,0). -B = Qdiag(Er ,0)P, ½¬UVÇ5N ψ : U → V, ¶ψ(η1,η2,··· ,ηm) = (ξ1,ξ2,··· ,ξn)B, Kψϕψ = ψ. l!(10©) σ¥2nëÇ5òmVÇ5CÜ. y²: Imσ = Kerσø©7á^á¥3Vò áƒ, ¶σ3˘áƒe› è O En O O ! . y² ø©5 Tƒèξ1,··· ,ξn,ξn+1,··· ,ξ2n, K σ(ξ1,··· ,ξn,ξn+1,··· ,ξ2n) = (ξ1,··· ,ξn,ξn+1,··· ,ξ2n) O En O O ! = (0,··· ,0,ξ1,··· ,ξn), œdImσ = hξ1,··· ,ξni, Kerσ = hξ1,··· ,ξni = Imσ. 7á5 œImσ = Kerσ, KdimImσ = dimKerσ, ÖdudimImσ +dimKerσ = dimV, §±Imσ = Kerσ = n. ξ1,ξ2,··· ,ξn¥Kerσƒ, ÚŸ*èVƒξ1,ξ2,··· ,ξn,ξn+1,··· ,ξ2n. œKerσ = 14ê,
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