2020-2021学年第一学期厦门大学数学科学学院《高等代数()》期末考试卷 三、(6分)设ax1,ax2,…,αmB是线性空间V的向量,且ax1,x2,…,Oxn线性无关,a1,2…,am,B线 性相关,证明:β必可由α1,∞2,…,xm线性表出 证明因为a1,ax2,…,Cm,B线性相关,所以存在不全为0的a1,a2,…,am,b∈F使得a101+ a202+…+ a,a+bB=0.若b=0,则a1,a2,…,am不全为0,且a1ax1+a2a2+…+am(Cm=0 与已知a1,∞2,…,ωm线性无关矛盾故b≠0,从而β=-801-份a2-…-"m.命题得证 四、(12分)设U={A∈F2×2AB=BA},其中 B (1)证明:U是F2×2的子空间; (2)求U的一个基,并给出证明 (3)将(2)的基扩为F2×2的基 证明(1)首先,因为OA=AO,所以O∈U,所以U是F2×2的非空子集;其次,对任意A1,A2∈U, (A1+A2)B=A1B+A2B=BA1+BA2=B(A1+A2),所以A1+A2∈U;再则,对任意A∈U,k∈F, (kA)B=kAB=B(kA),所以kA∈U.综上即得U是F2×2的子空间 l (2)设A 依题意,AB=BA,解得a=d,b=2c,所以所求基为E,2E12+ (3)直接计算易得E,2E12+E21,E1,E12是F2×2的一个基 A 五、(12分)设A∈Fn×n且A为可逆矩阵,A= V,V2分别是A1X=O和A2X=O的解空间 证明: v⊕v. 证明设A1,A2分别是m1×n和m2×n矩阵.由于A可逆,因此m1+m=n.从而A1X= 0和A2X=0解空间的维数分别为n-m1和n-m2,进而n=dimV1+dimV 设X1,X2,…,Xm和Y1,H2,…,Ym2分别是V和V的一个基.设 a1X1+a2X2+…+amXm+bY1+b2Y+…+bm2Ym2=0.(*) 将(*)式两边同时左乘A2得A2(a1X1+a2X2+…+am1Xm1)=0.注意到A1(a1X1+a2X2+…+ amXm)=0,从而A(a1X1+a2X2+…+am1Xm1)=0.又因为A可逆,因此a1X1+a2X2+…+ amXm1=0.故a1=a am1=0,代入(*)有b1Y1+b2Y2+…+bm2Ym2=0,从而b1=b2 bm2=0,这就证明了X1,X2,…,Xm1,Y1,Y2,…,Ym2线性无关 综上即得Fn=V1⊕V2 第3页,共5页2020-2021Æc1òÆœfÄåÆÍÆâÆÆ5pìÍ(I)6œ"£Ú n!(6©) α1,α2,··· ,αm,β¥Ç5òmVï˛, Öα1,α2, ··· ,αmÇ5Ã', α1,α2,··· ,αm,βÇ 5É', y²: β7ådα1,α2,··· ,αmÇ5L—. y² œèα1,α2,··· ,αm,βÇ5É', §±3ÿè0a1,a2,··· ,am,b ∈ F¶a1α1 + a2α2 +···+amαm +bβ = 0. eb = 0, Ka1,a2,··· ,amÿè0, Öa1α1 +a2α2 +···+amαm = 0, ÜÆα1,α2, ··· ,αmÇ5Ã'gÒ. b 6= 0, l β = − a1 b α1 − a2 b α2 −··· − am b αm. ·Ky. o!(12©) U = {A ∈ F 2×2 |AB = BA}, Ÿ• B = 1 2 1 1 ! . (1) y²: U¥F 2×2fòm; (2) ¶Uòáƒ, øâ—y²; (3) Ú(2)ƒ*èF 2×2ƒ. y² (1) ƒk, œèOA = AO, §±O ∈U, §±U¥F 2×2öòf8; Ÿg, È?øA1,A2 ∈U, (A1+A2)B = A1B+A2B = BA1+BA2 = B(A1+A2), §±A1+A2 ∈U; 2K, È?øA ∈U, k ∈ F, (kA)B = kAB = B(kA), §±kA ∈ U. n˛=U¥F 2×2fòm. (2) A = a b c d ! , ùKø, AB = BA, )a = d, b = 2c, §±§¶ƒèE,2E12 +E21. (3) ÜOé¥E,2E12 +E21,E11,E12¥F 2×2òáƒ. !(12©) A ∈ F n×nÖAèå_› , A = A1 A2 ! . V1,V2©O¥A1X = O⁄A2X = O)òm. y²: F n = V1 MV2. y² A1, A2©O¥m1 × n⁄m2 × n› . duAå_, œdm1 + m2 = n. l A1X = 0⁄A2X = 0)òmëÍ©Oèn−m1⁄n−m2, ? n = dimV1 +dimV2. X1,X2,··· ,Xm1⁄Y1,Y2,··· ,Ym2©O¥V1⁄V2òáƒ.  a1X1 +a2X2 +···+am1Xm1 +b1Y1 +b2Y2 +···+bm2 Ym2 = 0. (∗) Ú(∗)™¸>”ûܶA2A2(a1X1 +a2X2 +···+am1Xm1 ) = 0. 5øA1(a1X1 +a2X2 +···+ am1Xm1 ) = 0, l A(a1X1 + a2X2 + ··· + am1Xm1 ) = 0. qœèAå_, œda1X1 + a2X2 + ··· + am1Xm1 = 0. a1 = a2 = ··· = am1 = 0, ì\(∗)kb1Y1 +b2Y2 +···+bm2 Ym2 = 0, l b1 = b2 = ··· = bm2 = 0, ˘“y² X1,X2,··· ,Xm1 ,Y1,Y2,··· ,Ym2Ç5Ã'. n˛=F n = V1 LV2. 13ê,
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