矩阵的秩 定义设在矩阵A中有一个不等于0的阶子式D,且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于0，则称D为 矩阵A的最高阶非零子式，r称为A的秩.记作7(A).规定零矩阵的秩为0. 2.T(4)=A的行秩（矩阵A的行向量组的秩）=A的列秩（矩阵A的列向量组的秩）. 基本结论 (1)A的秩r(A)就是A中不等于0的子式的最高阶数： (②)矩阵A中有一个不等于0的s阶子式=r(4)≥s (3)若矩阵A中所有t阶子式全为零=r(A)≥g ()若A为m×n矩阵，则r(A)≤mm{m,n: (⑤)r(4)=r(AT): (6)A为非零矩阵=r(4)≥1： ()阶梯形矩阵的秩等于其非零行的个数： (⑧)若A~B,则(A)=r(B),即初等变换不改变矩阵的秩： (O)若PQ可逆，r(PAQ)=RA: (10)mar{r(A,r(B}≤r(A,B剧≤r(A)+r(B),特别地，当B=B为列向量时有，r(A)≤r(A,3)≤ r(4)+1 (11)r(A+B)≤r(A)+r(B): (12)r(AB)<min(r(A).r(B)) (13)若Amxn Bnxl=0,则r(A)+r(B)≤ (14)r(4TA)=r(4) (15)设分块矩阵D= （0B人则D)≥ra)+rB: AC） n=r(4)=n (16)若n阶方阵A的伴随矩阵为A”,则r(4)= 1=r(A)=n-1 0=rA)<n-1 (17)若向量组A可由向量组B线性表出，则r(A)≤r(B).特别地，等价的向量组具有相同的秩 重要定理 例1r(AB)≤min{r(4,r(B)} 例2证明：r(A+B)≤r(A)+r(B). 证令设a,…an为A的列向量组，房，…，为B的列向量组，则1十，…，0a+的列向量组 设(=s,r(B)=七，不妨设1，…，a,为A的列向量组的极大线性无关组，，…，品，为B的列向量组的极 大线性无关组.对任意a:+品，因为a可以由a1,…,a,线性表示，3可以由品1，·，线性表示，所以a+员 第1页› ù ½¬ 3› A•kòáÿu0rf™D,Ö§kr + 1f™(XJ3{)u0, K°Dè › AÅpö"f™, r°èAù.Pär(A). 5½"› ùè0. 2. r(A) = A 1ù(› A1ï˛|ù)= A ù(› Aï˛|ù). ƒ(ÿ (1) Aùr(A)“¥A•ÿu0f™ÅpÍ; (2) › A•kòáÿu0sf™ r(A) ≥ s; (3) e› A•§ktf™è" r(A) ≥ s; (4) eAèm × n › , Kr(A) ≤ min{m, n}; (5) r(A) = r(AT ); (6) Aèö"› r(A) ≥ 1; (7) F/› ùuŸö"1áÍ; (8) eA ∼ B, Kr(A) = r(B), =–CÜÿUC› ù; (9) eP, Qå_, r(P AQ) = R(A); (10) max{r(A), r(B)} ≤ r(A, B) ≤ r(A) + r(B), AO/, B = βèï˛ûk, r(A) ≤ r(A, β) ≤ r(A) + 1; (11) r(A + B) ≤ r(A) + r(B); (12) r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}; (13) eAm×nBn×l = 0, Kr(A) + r(B) ≤ n; (14) r(AT A) = r(A); (15) ©¨› D = A C 0 B ! , Kr(D) ≥ r(A) + r(B); (16) enê Aäë› èA∗ , Kr(A∗ ) =    n r(A) = n 1 r(A) = n − 1 0 r(A) < n − 1 (17) eï˛|Aådï˛|BÇ5L—, Kr(A) ≤ r(B). AO/, dï˛|‰kÉ”ù. ­á½n ~1 r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}. ~2 y²: r(A + B) ≤ r(A) + r(B). y -α1, · · · , αnèAï˛|, β1, · · · , βnèBï˛|, Kα1 + β1, · · · , αn + βn ï˛|. r(A) = s, r(B) = t, ÿîα1, · · · , αsèAï˛|4åÇ5Ã'|, β1, · · · , βtèBï˛|4 åÇ5Ã'|. È?øαi+βi , œèαiå±dα1, · · · , αsÇ5L´, βiå±dβ1, · · · , βtÇ5L´, §±αi+βi 1 1 ê