可以由a1,…,a,月1，…，月线性表示，因此a1+月，…，an+月n可以由a1,…,,月1，…，月线性表示.因 此r(A+B)≤R(A+R(B). 例3设分块矩阵D= (AC）,则rD≥(A+rB 0 B 例4设A为m×n矩阵，B为n×矩阵.证明：如果AB=O,那么r(A)+r(B)≤n. 证明：设B的列向量组为a1,a2,…,an,则AB=A(a1,2,…,an)=(4a,Aa2,…,Aan)=0,因 此4a1=Aa2==Aan=0,即a1.a …,n为线性方程组=0的解若=则,2，，n可 以由n-r个解向量线性表示，因此R(B)≤n-r于是R(A)+R(B)≤n. n r(A)=n 例5证明：如果A是n×n矩阵(n≥2)，那么r(4') (A)=n- 0,r(A)<n-1 证1)当r(A)=n时，A°=14A-1,可逆，故r(A)=n 2当r(4)=n-1时，A4"=4E=0.因为r(4)+r(4)≤n,即r(4)≤n-r(4=1.若r(4")= 0,则A°=(A)=O,于是A=0,即A的所有n-1阶子式均为零，与r(A)=n-1矛盾，故r(A)=1. 3)当r(4)<n-1时，A的所有n-1阶子式均为零，由伴随矩阵(4)=(4)的定义知A°=0，即r(A)= 例61)设A为m×n矩阵.且42=A.证明：4}+r(A-E)=n: (②设A为阶方阵满足AP=E,E为3阶单位矩阵、证明： (③)设A,B为n×n矩阵，A -)+r+A=m A,B 二B且E-A+)可逆，证明：=(B时 (④)设A为n×n矩阵，证明：A2=E当且仅当r(A+E)+r(A-E)=四 证(1) (2)由A3=E得A可逆且(A+2E)[(42-2A+4E)=E.于是A+2E可逆.由A3=E得A3-E=0, 因此(A-E)(42+A+E)=0.于是r(4-E)+r(A2+A+E)≤n.又因为r(A-E)+r(A2+A+E)≥ =r(A2+2A=r(A(A+2E.因为A,A+2E可逆，所以A(A+2E)可逆，因 -trA2m袋a-+ag (3) 第2页 å±dα1, · · · , αs, β1, · · · , βtÇ5L´, œdα1 +β1, · · · , αn +βn å±dα1, · · · , αs, β1, · · · , βtÇ5L´. œ dr(A + B) ≤ R(A) + R(B). ~3 ©¨› D = A C 0 B ! , Kr(D) ≥ r(A) + r(B); ~4 Aèm × n› , Bèn × t› . y²: XJAB = O, @or(A) + r(B) ≤ n. y²: Bï˛|èα1, α2, · · · , αn, KAB = A(α1, α2, · · · , αn) = (Aα1, Aα2, · · · , Aαn) = 0, œ dAα1 = Aα2 = · · · = Aαn = 0, =α1, α2, · · · , αnèÇ5êß|Ax = 0).eR(A) = r, Kα1, α2, · · · , αnå ±dn − rá)ï˛Ç5L´, œdR(B) ≤ n − r.u¥R(A) + R(B) ≤ n. ~5 y²: XJA¥n × n› (n ≥ 2),@or(A∗ )    n, r(A) = n 1, r(A) = n − 1 0, r(A) < n − 1 y 1)r(A) = nû,A∗ = |A|A−1 ,å_,r(A∗ ) = n 2)r(A) = n − 1û,AA∗ = |A|E = O.œèr(A) + r(A∗ ) ≤ n, =r(A∗ ) ≤ n − r(A) = 1. er(A∗ ) = 0,KA∗ = (Aji) = O,u¥Aij = 0,=A§kn − 1f™˛è",Ür(A) = n − 1 gÒ,r(A∗ ) = 1. 3)r(A) < n−1û,A§kn−1f™˛è", däë› (A∗ ) = (Aij )½¬A∗ = O,=r(A∗ ) = 0. ~6 (1) Aèn × n› , ÖA2 = A. y²: r(A) + r(A − E) = n; (2) Aènê ˜vA3 = E, Eè3¸†› . y²: r(A − E) + r(A2 + A + E) = n; (3) A, Bèn × n› , A2 = A, B2 = B ÖE − (A + B)å_, y²: r(A) = r(B); (4) Aèn × n› ,y²: A2 = E Ö=r(A + E) + r(A − E) = n; y (1) (2) dA3 = EAå_Ö(A + 2E)[ 1 9 (A2 − 2A + 4E)] = E. u¥A + 2Eå_.dA3 = EA3 − E = 0, œd(A − E)(A2 + A + E) = 0. u¥r(A − E) + r(A2 + A + E) ≤ n. qœèr(A − E) + r(A2 + A + E) ≥ r(A − E + A2 + A + E) = r(A2 + 2A) = r(A(A + 2E)). œèA, A + 2Eå_, §±A(A + 2E)å_, œ dr(A(A + 2E)) = n, =r(A − E) + r(A2 + A + E) ≥ n. n˛r(A − E) + r(A2 + A + E) = n. (3) 1 2 ê