第3期 石千松等：具有多采样率及状态时滞的线性离散时间系统的预见控制 ,365. 此需要利用提升技术来处理，由提升技术的原理， 再将k=+2代入系统(1)的第1式，并利用 需要找到一个提升算子，将不能检测到的信息映射 己推出的结果经过整理得 到一个组合量中去，以使在控制器的设计过程中不 x(N+3)= 丢失任何的信息，下面是对原系统(1)的提升过程 [A A2AI+AAA+AIA2 AiA+AAA+AAi A] 将k=N代入系统(1)的第1式得 x(N) x(N+1)=Ax(N)+Aix((i1)N)+Bu(N). x(i-1)N) 将k=N+1代入系统(1)的第1式，并利用上 x((i-2)N) +[B AB AB]. 式得 Lx((i-3)N) x(N+2)=A[Ax(N)+A1x((i-1)N)+ u(N+2) Bu(N)]+AI [Ax((i-1)N)+ u(N+1 +[AB(AA+AA)B]· Ax((i-2)N)+Bu((i-1)N)]+Bu(N+1)= u(N)」 x(N) u((i-1)N+1) [A2 AA+AA Ai]x((i-1)N)+ u(i-1)N)」 +AiBu((i-2)N) L x((i-2)N 同样，将k=N十3代入系统(1)的第1式，并 u(N+1 [B AB +Ai Bu((i-1)N). 利用已推出的结果得 u(N) x(iN+4)= [A'AAI+AAIA+AAA+AIA AAIA+AAIAA+AAi+AIAA+AIAAIA+AIA AAi+AiA+AIAAI+AIAAi Ai] x(N) u(N+3 x((i-1)N x((i-2)N) u(N+2) +[B AB ABAB +[A B (AA+AA)B (AA+AAA+AA)B]. x((i-3)N u(N+1) Lx((i-4)N) u(N) u((i-1)N+2 u((i-1)N+1) +[AB(A+AAA十AM)B u(-2)N+1) u((i-2)N)」 +AjBu((i-3)N). u((i-1)N)J 继续推导，注意到在此过程中产生了输入项“ E=[EiE;+1…EN-1]jF1,2…,N-1 的历史值的组合，为了推导过程简单，先将其看作扰 其中E;m是关于数量z的多项式(A十A1z)"B中 动，得到 的系数(m=j十1…，N-1)矩阵W(i)为 x(N) u(i厂)N+N-j广1) x((i-1)N) u((i-j)N+N-j-2) x((i计1)N)=A + W;(i)= M x((-N)N) u((iN) u(N+N-17 =1,2…,N-1 u(N+N-2) 如果取新变量 EWj(i) (2) x(N) M u(N) X(i)= x(i-1)N) 式中： A=[A0A…A] Lx((iN)N) u(N+N-1 A是关于数量的多项式(A十Az)中（一01， …,N)的系数，它是矩阵；矩阵B为 U() u(N+N-2) B=[BAB·A-B]: u(N) 矩阵E为 并注意到A=[AA…A]则式(2)河写为第 3期 石千松等： 具有多采样率及状态时滞的线性离散时间系统的预见控制 此需要利用提升技术来处理．由提升技术的原理‚ 需要找到一个提升算子‚将不能检测到的信息映射 到一个组合量中去‚以使在控制器的设计过程中不 丢失任何的信息．下面是对原系统 （1）的提升过程． 将 ｋ＝ｉＮ代入系统 （1）的第 1式得 ｘ（ｉＮ＋1）＝Ａｘ（ｉＮ）＋Ａ1ｘ（（ｉ－1）Ｎ）＋Ｂｕ（ｉＮ）． 将 ｋ＝ｉＮ＋1代入系统 （1）的第 1式‚并利用上 式得 ｘ（ｉＮ＋2）＝Ａ［Ａｘ（ｉＮ）＋Ａ1ｘ（（ｉ－1）Ｎ）＋ Ｂｕ（ｉＮ） ］ ＋Ａ1 ［Ａｘ（（ｉ－1）Ｎ）＋ Ａ1ｘ（（ｉ－2）Ｎ）＋Ｂｕ（（ｉ－1）Ｎ） ］ ＋Ｂｕ（ｉＮ＋1）＝ ［Ａ 2 ＡＡ1＋Ａ1Ａ Ａ 2 1 ］ ｘ（ｉＮ） ｘ（（ｉ－1）Ｎ） ｘ（（ｉ－2）Ｎ） ＋ ［Ｂ ＡＢ］ ｕ（ｉＮ＋1） ｕ（ｉＮ） ＋Ａ1Ｂｕ（（ｉ－1）Ｎ）． 再将 ｋ＝ｉＮ＋2代入系统 （1）的第 1式‚并利用 已推出的结果经过整理得 ｘ（ｉＮ＋3）＝ ［Ａ 3 Ａ 2Ａ1＋ＡＡ1Ａ＋Ａ1Ａ 2 Ａ 2 1Ａ＋Ａ1ＡＡ1＋ＡＡ 2 1 Ａ 3 1 ］· ｘ（ｉＮ） ｘ（（ｉ－1）Ｎ） ｘ（（ｉ－2）Ｎ） ｘ（（ｉ－3）Ｎ） ＋［Ｂ ＡＢ Ａ 2Ｂ］· ｕ（ｉＮ＋2） ｕ（ｉＮ＋1） ｕ（ｉＮ） ＋［Ａ1Ｂ （Ａ1Ａ＋ＡＡ1）Ｂ］· ｕ（（ｉ－1）Ｎ＋1） ｕ（（ｉ－1）Ｎ） ＋Ａ 2 1Ｂｕ（（ｉ－2）Ｎ）． 同样‚将 ｋ＝ｉＮ＋3代入系统 （1）的第 1式‚并 利用已推出的结果得 ｘ（ｉＮ＋4）＝ ［Ａ 4 Ａ 3Ａ1＋Ａ 2Ａ1Ａ＋ＡＡ1Ａ 2＋Ａ1Ａ 3 ＡＡ 2 1Ａ＋ＡＡ1ＡＡ1＋Ａ 2Ａ 2 1＋Ａ1Ａ 2Ａ1＋Ａ1ＡＡ1Ａ＋Ａ 2 1Ａ 2 ＡＡ 3 1＋Ａ 3 1Ａ＋Ａ 2 1ＡＡ1＋Ａ1ＡＡ 2 1 Ａ 4 1］· ｘ（ｉＮ） ｘ（（ｉ－1）Ｎ） ｘ（（ｉ－2）Ｎ） ｘ（（ｉ－3）Ｎ） ｘ（（ｉ－4）Ｎ） ＋［Ｂ ＡＢ Ａ 2Ｂ Ａ 3Ｂ］ ｕ（ｉＮ＋3） ｕ（ｉＮ＋2） ｕ（ｉＮ＋1） ｕ（ｉＮ） ＋［Ａ1Ｂ （Ａ1Ａ＋ＡＡ1）Ｂ （Ａ1Ａ 2＋ＡＡ1Ａ＋Ａ 2Ａ1）Ｂ］· ｕ（（ｉ－1）Ｎ＋2） ｕ（（ｉ－1）Ｎ＋1） ｕ（（ｉ－1）Ｎ） ＋［Ａ 2 1Ｂ （Ａ 2 1Ａ＋Ａ1ＡＡ1＋ＡＡ 2 1）Ｂ］ ｕ（（ｉ－2）Ｎ＋1） ｕ（（ｉ－2）Ｎ） ＋Ａ 3 1Ｂｕ（（ｉ－3）Ｎ）． 继续推导‚注意到在此过程中产生了输入项 ｕ 的历史值的组合‚为了推导过程简单‚先将其看作扰 动‚得到 ｘ（（ｉ＋1）Ｎ）＝Ａ ～ ｘ（ｉＮ） ｘ（（ｉ－1）Ｎ） Ｍ ｘ（（ｉ－Ｎ）Ｎ） ＋ Ｂ ～ ｕ（ｉＮ＋Ｎ－1） ｕ（ｉＮ＋Ｎ－2） Ｍ ｕ（ｉＮ） ＋∑ Ｎ－1 ｊ＝1 ＥｊＷｊ（ｉ） （2） 式中： Ａ ～ ＝［Ａ ～ 0 Ａ ～ 1 … Ａ ～ Ｎ ］‚ Ａ ～ ｊ是关于数量 ｚ的多项式 （Ａ＋Ａ1ｚ） Ｎ 中 ｚ ｊ （ｊ＝0‚1‚ …‚Ｎ）的系数‚它是矩阵；矩阵Ｂ ～为 Ｂ ～ ＝［Ｂ ＡＢ … Ａ Ｎ－1Ｂ］； 矩阵 Ｅｊ为 Ｅｊ＝［Ｅｊ‚ｊ Ｅｊ‚ｊ＋1 … Ｅｊ‚Ｎ－1 ］‚ｊ＝1‚2‚…‚Ｎ－1‚ 其中 Ｅｊ‚ｍ是关于数量 ｚ的多项式 （Ａ＋Ａ1ｚ） ｍＢ中 ｚ ｊ 的系数 （ｍ＝ｊ‚ｊ＋1‚…‚Ｎ－1）；矩阵 Ｗｊ（ｉ）为 Ｗｊ（ｉ）＝ ｕ（（ｉ－ｊ）Ｎ＋Ｎ－ｊ－1） ｕ（（ｉ－ｊ）Ｎ＋Ｎ－ｊ－2）  ｕ（（ｉ－ｊ）Ｎ） ‚ ｊ＝1‚2‚…‚Ｎ－1． 如果取新变量 Ｘ0（ｉ）＝ ｘ（ｉＮ） ｘ（（ｉ－1）Ｎ）  ｘ（（ｉ－Ｎ）Ｎ） ‚ Ｕ（ｉ）＝ ｕ（ｉＮ＋Ｎ－1） ｕ（ｉＮ＋Ｎ－2）  ｕ（ｉＮ） ‚ 并注意到Ａ ～ ＝［Ａ ～ 0 Ａ ～ 1 … Ａ ～ Ｎ ］‚则式 （2）可写为 ·365·