第六章小振动 6.1.振动的分类和线性振动的概念(参阅教材§6.1) 引言 振动的分类(从能量的角度;从微分方程的类型;从自由度的数目) 衡位置的概念及其分类(稳定、不稳定和随遇)。对振动问题有实际意义的是稳定平 衡位置 保守体系平衡位置稳定性的拉格朗日定理(勒襄一狄里赫里定理) 平衡位置的不稳定性准则(拉格朗日定理的逆问题)(迄今尚未完全解决) 微振动意即振幅很小,若平衡位置选为原点,则振动的坐标的绝对值很小。(我 们往往假定振动的速度的绝对值也很小,且为同级小量。) 2.一个自由度保守体系的自由微振动的数学处理(查阅数学教材) 我们首先考虑水平直线上在一端固定的弹簧的作用下的质点的运动 T=mx2,V=kx2,L=m2-kx2得能量积分E=mx2+kx2 (这里要求振幅足够小,以保证在弹性限度内。) 拉格朗日方程:m+kx=0即x+2x=0,其中:O2=k/m这是简谐振动。 简谐振动的解为x=Asn(ot+a),A,a为积分常数,由初始条件决定 事实上,能量积分:E=mfb,12E Oym,,A由能量确定,a由振动的初位相确定。 考虑一般的保守体系的势能函数(坐标原点选在平衡位置),可以展开为级数 (x)=V+a1x+a2x2+a2x3+……常数项只影响势能的零点能量,一次项提供一个恒力, 只使平衡位置发生平移,对振动无本质影响 对微振动,高阶项相对很小;均可略去。因而微振动的势能近似为二次项,动力学方程为线性方程 (简谐振动)。例如:单摆的振动,在振幅很小的情况下,是简谐振动。 3.考虑一般的完整,稳定,保守的力学体系在稳定平衡位置附近作微振动(坐标原点选在平 衡位置),其动能可以表为广义速度的齐二次式(且各项系数均为常数);其势能可以表为广义坐 标的齐二次式(各项系数也是常数)。动力学 方程为线性方程(简谐振动)。教材174-180页讨论了两个自由度的情形,推广到有限多个自由度 的情形也不困难 【思考】159页例2第(2)解法,如果作微振动,情况如何? 6.1.两个自由度保守体系的自由振动(参阅教材§6.2.) 1.先看一个实例(教材178页例1):双单摆 取1,62为广义坐标,通过拉格朗日函数得到动力学方程:(也可利用牛顿动力学方程) ①根据能量守恒,Es1 kx2:因此作微振动时文也是小量,而且我们可以假定,文和x 是同阶的小量 在动能只保留到二次项的情况下,各项系数只保留零次项,即常数第六章 小振动 6．1．振动的分类和线性振动的概念（参阅教材§6. 1.） 1．引言 振动的分类（从能量的角度；从微分方程的类型；从自由度的数目） 平衡位置的概念及其分类（稳定、不稳定和随遇）。对振动问题有实际意义的是稳定平 衡位置 保守体系平衡位置稳定性的拉格朗日定理（勒襄—狄里赫里定理） 平衡位置的不稳定性准则（拉格朗日定理的逆问题）（迄今尚未完全解决） 微振动意即振幅很小，若平衡位置选为原点，则振动的坐标的绝对值很小。(我 们往往假定振动的速度的绝对值也很小，且为同级小量①。) 2．一个自由度保守体系的自由微振动的数学处理（查阅数学教材） 我们首先考虑水平直线上在一端固定的弹簧的作用下的质点的运动： 1 2 2 T mx =  , 1 2 2 V kx = , 1 1 2 2 2 2 L = − mx kx  得能量积分 1 1 2 2 2 2 E = + mx kx  （这里要求振幅足够小，以保证在弹性限度内。） 拉格朗日方程： mx kx + = 0 即 2 x x +ω = 0 , 其中： 这是简谐振动。 2 ω = k m/ 简谐振动的解为 xA t = + sin ( ) ω α , A,α 为积分常数，由初始条件决定。 事实上，能量积分： 1 2 2 2 E mA = ω , 1 2E A ω m = , A 由能量确定，α 由振动的初位相确定。 考虑一般的保守体系的势能函数（坐标原点选在平衡位置），可以展开为级数 )( 210 2 3 xaxaxaVxV 3 ++++= "" 常数项只影响势能的零点能量，一次项提供一个恒力， 只使平衡位置发生平移，对振动无本质影响； 对微振动，高阶项相对很小；均可略去。因而微振动的势能近似为二次项，动力学方程为线性方程 （简谐振动）。例如：单摆的振动，在振幅很小的情况下，是简谐振动。 3．考虑一般的完整，稳定，保守的力学体系在稳定平衡位置附近作微振动（坐标原点选在平 衡位置），其动能可以表为广义速度的齐二次式（且各项系数均为常数②）；其势能可以表为广义坐 标的齐二次式（各项系数也是常数）。动力学 方程为线性方程（简谐振动）。教材 174—180 页讨论了两个自由度的情形，推广到有限多个自由度 的情形也不困难。 【思考】159 页例 2 第（2）解法，如果作微振动，情况如何？ 6．1．两个自由度保守体系的自由振动（参阅教材§6. 2.） 1．先看一个实例（教材 178 页例 1）：双单摆。 取 1 2 θ ,θ 为广义坐标，通过拉格朗日函数得到动力学方程：（也可利用牛顿动力学方程） ①根据能量守恒， 2 max max 1 1 2 2 E mx kx = =  2 ；因此作微振动时 x 也是小量，而且我们可以假定， x 和 x 是同阶的小量。 ②在动能只保留到二次项的情况下，各项系数只保留零次项，即常数。 1