§4复合函数求导法则及其应用 复合函数求导法则 定理4.4.1(复合函数求导法则)设函数u=g(x)在x=x0可导, 函数y=f()在u==g(x)处可导,则复合函数y=f(g(x)在x=x0可 导,且有 If(g(xD=f(uo)g(o)=f (g(o))g(xo) 证因为y=f(l)在处可导,所以可微。由可微的定义,对任 意一个充分小的△≠0,都有 (4+△a)-f(4)=f(b)△a+ 其中lma=0。 因为当△u=0时Δy=0,不妨规定当M=0时a=0,因此上式对 △=0也成立。复合函数求导法则 定理4.4.1 (复合函数求导法则) 设函数u = g(x)在 x = x0 可导， 函数 y = f (u)在u = u = g x 0 0 ( )处可导,则复合函数 y = f (g(x)) 在 x = x0 可 导，且有 [ f (g x))] f (u )g x ) x x (  =  ( = 0 0 0 = f (g(x ))g(x ) 0 0 。 证 因为 y = f (u)在u0 处可导，所以可微。由可微的定义，对任 意一个充分小的u  0，都有 0 0 0 f u u f u f u u u ( ) ( ) ( ) +  − =  +    ， 其中 0 lim u→  = 0。 因为当u = 0时y = 0，不妨规定当u = 0时 = 0，因此上式对 u = 0也成立。 §4 复合函数求导法则及其应用