(3)入-1，(A-1)2,(1-1)3,A+2(0+2)2:r=3.n=5. 解：()diag(1,入+1，(0+10(a-1),(A+12(a-1)2,0) (2)diag(1,入-2，(A-2)2(A+2),(A-2)3(a+2)3). (3)diag(A-1,(A-1)2(a+2),(A-1)3(a+2)2,0,0). 0 0 (1) A2a-1) 0 0 12-1 0 0 A(A+1)2 0 /A2-4 0 0 0 (2) 0X2+2入 0 0 0 0 X3-2A2 0 0 0 0 13-4A/ 2+2A-3A2+X-2 0 0 212+21-4212+入-3 0 (3) 0 +1 13 3、 (4 入2-4 A3+2A2 0 A2+2A 入2+6入-2 0 12+X-2 入2+5入-7 解：(1)diag(1,A(A+1,(A+1)2(公-1)，A2(A+1)2(-1) (2)diag1,A2-4,AA2-4,2(A2-4) (3)diag(1,A-1,(A-1)(A+1,0). (④diag(1,1,X2-4.0). 4求下列矩阵的不变因子，行列式因子与初等因子 (1)64-9 (2) 6-3-g 111 1 -30 111 .40 (3) (4 -2 111 02 3 解：(1)不变因子：1,1,2(a-1),行列式因子1,1,2(A-1),初等因子：2，入-1. (2)不变因子：1，入A+1),行列式因子1，入，2(+1，初等因子：入入，入+1 (3)不变因子1，入，…，入，(A-n),行列式因子：1，入2…，Am-2,n-1(-n,初等因子入…，入 12个 1 入-n. (4不变因子1,1,1，(+1)1，行列式因子：1,1,1，(A+1)1,初等因子：(+1)1 5.设0为n阶矩阵A的一个特征值，证明：矩阵A的属于特征值0的初等因子的个数等于 n-rank(入oE-A). 证明设d,(A),…,山()为A的不变因子.如A的属于特征值0的初等因子的个数为r,则 A-|dn(,…,A-0dn-r+1(A),A-0dn-r(,…,A-01d山() 6(3) λ − 1,(λ − 1)2 ,(λ − 1)3 , λ + 2,(λ + 2)2 ; r = 3, n = 5. P: (1) diag(1, λ + 1,(λ + 1)(λ − 1),(λ + 1)2 (λ − 1)2 , 0). (2) diag(1, λ − 2,(λ − 2)2 (λ + 2),(λ − 2)3 (λ + 2)3 ). (3) diag(λ − 1,(λ − 1)2 (λ + 2),(λ − 1)3 (λ + 2)2 , 0, 0). 3. iu!"X[: (1)   0 λ(λ + 1)2 0 0 λ 2 (λ − 1) 0 0 0 0 0 0 λ 2 − 1 0 0 λ(λ + 1)2 0   ; (2)   λ 2 − 4 0 0 0 0 λ 2 + 2λ 0 0 0 0 λ 3 − 2λ 2 0 0 0 0 λ 3 − 4λ   ; (3)   λ 2 + 2λ − 3 λ 2 + λ − 2 0 0 2λ 2 + 2λ − 4 2λ 2 + λ − 3 0 0 0 0 λ + 1 λ + 2 0 0 λ 2 − 1 λ 2 + λ − 2   ; (4)   λ 2 − λ − 2 0 λ 3 + λ 2 − λ − 1 0 λ 2 − 4 0 λ 3 + 2λ 2 − λ − 2 0 0 λ 2 + 2λ 0 λ 2 + 6λ − 2 0 λ 2 + λ − 2 0 λ 2 + 5λ − 7   . P: (1) diag(1, λ(λ + 1), λ(λ + 1)2 (λ − 1), λ2 (λ + 1)2 (λ − 1)). (2) diag(1, λ(λ 2 − 4), λ(λ 2 − 4), λ2 (λ 2 − 4)). (3) diag(1, λ − 1,(λ − 1)(λ + 1), 0). (4) diag(1, 1, λ2 − 4, 0). 4. iu!" , 3u : (1)   4 2 −5 6 4 −9 5 3 −7  ; (2)   −2 1 3 6 −3 −9 4 −2 −6  ; (3)   1 1 1 · · · 1 1 1 1 · · · 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 · · · 1   ; (4)   2 −3 0 0 3 −4 0 0 1 5 1 −2 0 2 2 −3   . P: (1) : 1, 1, λ2 (λ − 1), 3u : 1, 1, λ2 (λ − 1), : λ 2 , λ − 1. (2) : 1, λ, λ(λ + 1), 3u : 1, λ, λ2 (λ + 1), : λ, λ, λ + 1. (3) : 1, λ, · · · , λ | {z } n−2 ￾ , λ(λ−n), 3u : 1, λ, λ2 , · · · , λn−2 , λn−1 (λ−n), : λ, · · · , λ | {z } n−1 ￾ , λ − n. (4) : 1, 1, 1,(λ + 1)4 , 3u : 1, 1, 1,(λ + 1)4 , : (λ + 1)4 . 5. λ0 l n
!" A jk, 01: !" A fL λ0 k(L n − rank(λ0E − A). NO: d1(λ), · · · , dn(λ) l A  . 9 A fL λ0 k(l r, = λ − λ0 | dn(λ), · · · , λ − λ0 | dn−r+1(λ), λ − λ0 - dn−r(λ), · · · , λ − λ0 - d1(λ). · 6 ·