原式=li sinx-x =lim m sinx-x=lim cosx-1=0: x0 xsinx0x2 02x nco lim 2cs-sin (6)原式=e0 =e2sinx+cosx =e2 In(a+x2),x>1 3.设f(x)= 在x=1处可导，求a和b. x+b,x≤1 解由f(x)在x=1点连续，有limf(x)=limf(x)=f(1),可得 ln(a+1)=1+b,即b=ln(a+1)-1. 而f(x)在x=1点可导，且 (1)=lim()-f(D-lim-()=1. r x-1 x-→1 x-1 (1)lim f()-f(D)-lim I(a+x)-In(a+D)=lim2x=2 x-1 x-1 a+xa+l 则由f()-f(仙)，得a=1,而b=n2-1. xInx ,x≠1 4. 设f(x) 1-x ,讨论f(x)在x=1处的连续性及可导性. -1,x=1 解由于limf(x)=lim nx血x=-lim (n x+)=-1=f0,所以f()在x=1处连续： x1 -x → xInx+1 又f')=lim1-x,=lim xinx+1-x=lim- In x =lim 11 x-1 1-x2+2x-11-2x+21-2x2 ·因此fx)在 x=1处连续性并且可导性。 5.验证极限1m+s1nx存在，但不能使用洛必达法则求极限。 X+0 解这是“口”型未定式.若用洛必达法则，得 00 lim (x+sinx)' =lim(1+cosx),极限不存在. 但实际上，易求得lim x+sinx=lim(1+sin)=l.这说明极限limx+sinx存在，但不能使用 x-0 洛必达法则 6.已知f"(a存在，求极限1im/a+)+f(a-)-2f@ h2 解该极限是：。”型未定式，应用洛必达法则 0 44 原式 2 000 sin sin cos 1 lim lim lim 0 xxx sin 2 x x x x x  x x x x        ； （6）原式 0 0 ln(2sin cos ) 2cos sin lim lim x x 2sin cos 2 x x x x x x x e e e         ． 3．设 2 ln( ), ( ) , a x f x x b       1 1   x x 在 x  1 处可导，求 a 和 b． 解 由 f (x) 在 x  1 点连续，有 1 1 lim ( ) lim ( ) (1) x x f x f x f       ，可得 ln( 1) 1 a b    ，即 b a    ln( 1) 1． 而 f (x) 在 x  1 点可导，且 1 1 ( ) (1) (1 ) (1) lim lim 1 x x 1 1 f x f x b b f x x                ， 2 2 1 1 1 ( ) (1) ln( ) ln( 1) 2 2 (1) lim lim lim x x x 1 1 1 f x f a x a x f x x a x a                     ． 则由 f f (1) (1)      ，得 a 1 ，而 b   ln 2 1． 4． 设 ln , 1 ( ) 1 1, 1 x x x f x x x           ，讨论 f (x) 在 x  1 处的连续性及可导性． 解 由于 1 1 1 ln lim ( ) lim = lim ln 1) 1 (1) x x x 1 x x f x x f    x        （ ，所以 f (x) 在 x  1 处连续； 又 2 1 1 1 1 ln 1 1 ln 1 ln 1 1 (1) lim lim lim lim x x x x 1 2 1 2 2 2 2 x x x x x x x f     x x x x x                   ．因此 f (x) 在 x  1 处连续性并且可导性． 5．验证极限 sin lim x x x  x  存在，但不能使用洛必达法则求极限． 解 这是“   ”型未定式．若用洛必达法则，得 ( sin ) lim lim(1 cos ) x x x x x   x      ，极限不存在． 但实际上，易求得 sin sin lim lim(1 ) 1 x x x x x  x x      ．这说明极限 sin lim x x x  x  存在，但不能使用 洛必达法则． 6．已知 f a ( ) 存在，求极限 2 0 ( ) ( ) 2 ( ) lim h f a h f a h f a  h     ． 解 该极限是“ 0 0 ”型未定式，应用洛必达法则