令bn=bn1=…=bm=0,那么f(x)与g(x)的和为 f(x)+g(x=(a,+b bn)x"+…+(a1+b1)x+(a0+bo ∑(a+bx 而f(x)与g(x)的乘积为 f(xg(x)=a, bx"m+(a, bm,+a,b)x"m-+.+(a, bo +aob,x+ab 其中s次项的系数是 a, bo ab,=∑ab 所以f(x)g(x)可表成 f(x)g(x)=∑(∑ab)x2。 注:1、数域P上的两个多项式经过加、减、乘运算后,所得结果仍然是数 域P上的多项式。 2、次数公式 (1)a(f(x)±g(x)≤max((f(x),a(g(x))。 (2)若f(x)≠0,g(x)≠0,则f(x)g(x)≠0,并且 a((x)g(x))=a((x)+O(g(x)。 3、多项式乘积的首项系数就等于因子首项系数的乘积 四、多项式的运算律: 1、加法交换律:f(x)+g(x)=g(x)+f(x)。 2、加法结合律:(f(x)+g(x)+h(x)=f(x)+(g(x)+h(x) 3、乘法交换律:f(x)g(x)=g(x)f(x) 4、乘法结合律:(f(x)g(x)h(x)=f(x)(g(x)h(x)。 5、乘法对加法的分配律:f(x)(g(x)+h(x)=f(x)g(x)+f(x)h(x)。 6、乘法消去律:若f(x)g(x)=f(x)h(x),且f(x)≠0,则g(x)=h(x) 证明:只证明乘法结合律和乘法消去律。设 f(x)=∑ax,g(x)=∑bx1,Mx)=∑cx 则 n+n+l (x)g(x)M(x)=C(∑abx)x)=∑(∑(∑abcx=∑(∑abc)x) t=0 i+j+k=令 bn = bn−1 == bm+1 = 0 ，那么 f (x) 与 g(x) 的和为 = − − − = + + = + + + + + + + + n i i i i n n n n n n a b x f x g x a b x a b x a b x a b 0 1 1 0 0 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  ( ) ( ) 而 f (x) 与 g(x) 的乘积为 1 0 0 1 0 0 1 1 1 f (x)g(x) a b x (a b a b )x (a b a b )x a b n m n m n m n m = n m + + + + + + + − − − +  其中 s 次项的系数是  + = + − + + − + = i j s asb0 as 1b1  a1bs 1 a0bs aibj 所以 f (x) g(x) 可表成 s n m s i j s i j f (x)g(x) ( a b )x 0   + = + = = 。 注：1、数域 P 上的两个多项式经过加、减、乘运算后，所得结果仍然是数 域 P 上的多项式。 2、次数公式： （1）      ( ( ) ( )) max( ( ( )), ( ( ))) f x g x f x g x 。 （2）若 f (x)  0, g(x)  0 ，则 f (x)g(x)  0 ，并且 ( f (x)g(x)) = ( f (x)) + (g(x)) 。 3、多项式乘积的首项系数就等于因子首项系数的乘积. 四、多项式的运算律： 1、加法交换律： f (x) + g(x) = g(x) + f (x) 。 2、加法结合律：( f (x) + g(x)) + h(x) = f (x) + (g(x) + h(x))。 3、乘法交换律： f (x)g(x) = g(x) f (x)。 4、乘法结合律：( f (x)g(x))h(x) = f (x)(g(x)h(x)) 。 5、乘法对加法的分配律： f (x)(g(x) + h(x)) = f (x)g(x) + f (x)h(x) 。 6、乘法消去律：若 f (x)g(x) = f (x)h(x) ，且 f (x)  0 ，则 g(x) = h(x)。 证明：只证明乘法结合律和乘法消去律。设 0 0 0 ( ) , ( ) , ( ) n m l i j k i j k i j k f x a x g x b x h x c x = = = = = =    ， 则 0 0 0 ( ( ) ( )) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) (( ) ) n m n m l n m l s t t i j i j k i j k s i j s t s k t i j s t i j k t f x g x h x a b x h x a b c x a b c x + + + + + = + = = + = + = = + + = = = =        而