把这些所求的系数代入f(x=0+1(x-a+(x-2+…+2(x-)0+…得 f(x)=f(+∫ta(x-a)+a(x-2)+…x<(a)(a(x 该式的右端的幂级数称为f(x)在x+a处的泰勒级数 关于泰勒级数的问题 上式是在f(可以展成形如f(x)=0+2(x-a)+2(x-a)+…+2(x-)+…的幂级数的假 定下得出的实际上,只要f(x)在x=a处任意阶可导,我们就可以写出函数的泰勒级数 问题:函数写成泰勒级数后是否收敛?是否收敛于f(x)? 函数写成泰勒级数是否收敛将取决于f(x)与它的泰勒级数的部分和之差 r2(=f(x)-[f(a+fta(x-a)+2( x-2)-+… y(x-a)” 是否随n→+∞而趋向于零如果在某一区间1中有(x)=0x∈r 那末f(x)在x=a处的泰 勒级数将在区间I中收敛于f(x)。此时,我们把这个泰勒级数称为函数f(x)在区间I中的泰勒展 开式 泰勒定理 设函数f(x)在x=a的邻区内n+1阶可导,则对于位于此邻区内的任一x,至少存在一点cc在a 与x之间,使得 f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+ h(x-a)2+”2(x)其中”()= 此公式也被称为泰勒公式。(在此不加以证明) 在泰勒公式中,取a=0,此时泰勒公式变成 f(x)-f(0)+y0x+10,x2+ (+1) 其中c在0与x之间 此式子被称为麦克劳林公式 函数f(x)在x=0的泰勒级数称为麦克劳林级数当麦克劳林公式中的余项趋于零时,我们称相 应的泰勒展开式为麦克劳林展开式 f(x)=()+f0x+3++ 即 几种初等函数的麦克劳林的展开式 1指数函数ex x=1+x+-+…+-+…,-00<x<+0 2正弦函数的展开式把这些所求的系数代入 得： 该式的右端的幂级数称为 f(x)在 x+a 处的泰勒级数. 关于泰勒级数的问题 上式是在 f(x)可以展成形如 的幂级数的假 定下得出的.实际上，只要 f(x)在 x=a 处任意阶可导，我们就可以写出函数的泰勒级数。 问题：函数写成泰勒级数后是否收敛？是否收敛于 f(x)？ 函数写成泰勒级数是否收敛将取决于 f(x)与它的泰勒级数的部分和之差 是否随n→＋∞而趋向于零.如果在某一区间I 中有 那末f(x)在x=a 处的泰 勒级数将在区间 I 中收敛于 f(x)。此时，我们把这个泰勒级数称为函数 f(x)在区间 I 中的泰勒展 开式. 泰勒定理 设函数 f(x)在 x=a 的邻区内 n+1 阶可导，则对于位于此邻区内的任一 x，至少存在一点 c,c 在 a 与 x 之间，使得： 此公式也被称为泰勒公式。(在此不加以证明） 在泰勒公式中，取 a=0，此时泰勒公式变成： 其中 c 在 0 与 x 之间 此式子被称为麦克劳林公式。 函数 f(x)在 x=0 的泰勒级数称为麦克劳林级数.当麦克劳林公式中的余项趋于零时，我们称相 应的泰勒展开式为麦克劳林展开式. 即： 几种初等函数的麦克劳林的展开式 1.指数函数 e x 2.正弦函数的展开式