性质3:幂级数0的和S(x)在敛区内的任一点均可导,且有逐项求导公式 s(x)=c1+22x+3x2…+mC2x2=2 求导后的幂级数与原级数有相同的收敛半径 性质4:幂级数x0的和S(x)在敛区内可以积分,并且有逐项积分公式 5x)-5ax+2x+…+5xa+…=∑2,x1 积分后所得的幂级数与原级数有相同的收敛半径 由以上这些性质可知:幂级数在其敛区内就像普通的多项式一样,可以相加相减可以逐项求导, 逐项积分 函数的幂级数展开式 通过前面的学习我们看到,幂级数不仅形式简单,而且有一些与多项式类似的性质。而且我们还 发现有一些可以表示成幂级数。为此我们有了下面两个问题 问题1:函数f(x)在什么条件下可以表示成幂级数 f(x)=c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+…+c2(x-a)2+… 问题2:如果f(x)能表示成如上形式的幂级数,那末系数cn(n=0,12,3,)怎样确定? 下面我们就来学习这两个问题。 泰勒级数 我们先来讨论第二个问题假定f(x)在a的邻区内能表示成 f(x)=+1(x-O)+(2(x-a)+…+2(x-)+这种形式的幂级数,其中a是事先给定某 常数,我们来看看系数cn与f(x)应有怎样的关系。 由于f(x)可以表示成幂级数,我们可根据幂级数的性质,在x=a的邻区内f(x)可任意阶可导 对其幂级数两端逐次求导。得: f(x)=c1+2(x-a)+33(x-a02+… f"x)=2C2+3c3(x-a)+ 在f(x)幂级数式及其各阶导数中,令x=a分别得 =f(a),=f'a, c2=-f(a,,c,==()(a),性质 3：幂级数 的和 s(x)在敛区内的任一点均可导，且有逐项求导公式： = 求导后的幂级数与原级数有相同的收敛半径。 性质 4：幂级数 的和 s(x)在敛区内可以积分，并且有逐项积分公式： 积分后所得的幂级数与原级数有相同的收敛半径。 由以上这些性质可知：幂级数在其敛区内就像普通的多项式一样,可以相加,相减,可以逐项求导, 逐项积分。 函数的幂级数展开式 通过前面的学习我们看到，幂级数不仅形式简单，而且有一些与多项式类似的性质。而且我们还 发现有一些可以表示成幂级数。为此我们有了下面两个问题： 问 题 1 ： 函 数 f(x) 在什么条件下可以表示成幂级数 ； 问题 2：如果 f(x)能表示成如上形式的幂级数，那末系数 cn(n=0,1,2,3,…)怎样确定？ 下面我们就来学习这两个问题。 泰勒级数 我们先来讨论第二个问题.假定 f(x)在 a 的邻区内能表示成 这种形式的幂级数，其中 a 是事先给定某一 常数，我们来看看系数 cn 与 f(x)应有怎样的关系。 由于 f(x)可以表示成幂级数，我们可根据幂级数的性质，在 x=a 的邻区内 f(x)可任意阶可导. 对其幂级数两端逐次求导。得： ， ， ……………………………………………… ， ……………………………………………… 在 f(x) 幂 级 数 式 及 其 各 阶 导 数 中 ， 令 x=a 分别得：