方法。但也可以根据问题的特点(对称性等),凭直觉“猜测”简正坐标。(见教材 197-198页) 【例2】(198页)对称的三角形分子ABA,夹角26 ①这是非线型三原子分子。三个原子的平衡位置当然在一个平面内。以123(从右到左) 标记原子ABA;建立直角坐标系如图,使XOY平面与分子所在平面重合,原点与 原子B重合,Y轴平分夹角。就有:=l(sin+ cosy),而=0, 70=1(-si7+cosb)。振动由矢量花=x7+y+k刻划。振动自由度数 =(3n-6)=3 约束方程∑m元=0给出三个方程:m(x1+x)+m2x2=0 (1) m(y+y)+my2=0; (2) m(=1+=3)+m2=2=0 约束方程∑m2动0×=0给出三个方程:m1cos(=1+3)=0 (4) m sin(=1-=3)=0 m,[(,)sin8-(*, +x,)cos0]=0 由(3)(4)(5)解得:-1=2=23=0,即三个振动自由度均位于OXY平面内(即原子 作振动时,保持位于OYY平面内)。也就是说,如果振动偏离OYY平面,就要破坏 总动量为零和总角动量为零的条件,这样的振动应归入平动或转动 其余6个坐标x1,x2,x3,y,y2,y3还有3个约束方程(1)(2)(6),与s=3一致。 ②当26=x时,本例的结果和线型分子相同。(理应如此) ③振动模式:从物理概念分析振动模式 原子2沿Ⅹ轴振动,从物理和分子结构的对称性来分析,原子1,3的振动有两种模式 (图1,图4),但图4应归入转动。 原子2沿Y轴振动,有两种模式(图2,图3)。综上所述共有三种模式 图3与图2情况相似,我们着重分析图1和图2。 图1 图2 y2=0y1+y3=0抵消 x2=0x1+x3=0抵消 叠 加, x3叠加,选q=x1+x3 y+y3叠加,选q3=y1+y 1-2,2-3长度改变(拉压相反) 1-2,2-3夹角改变(叠加) 夹角改变(相互抵消) 长度改变(拉压相同) ④势能的计算 -=(x-x)7+(-y2 2-2=(x-x2)+(y3-y2)方法。但也可以根据问题的特点（对称性等），凭直觉“猜测”简正坐标。（见教材 197-198 页） 【例 2】（198 页）对称的三角形分子 ABA，夹角 2θ ○1 这是非线型三原子分子。三个原子的平衡位置当然在一个平面内。以 123（从右到左） 标记原子 ABA；建立直角坐标系如图，使 XOY 平面与分子所在平面重合，原点与 原子 B 重合，Y 轴平分夹角。就有： rl i j 10 = + (sin cos θ θ ) G G G ， 20 r = 0 G ， rl i j 30 =− + ( ) sin cos θ θ G G G 。振动由矢量u x i y j zk αα α α =+ + G G G G 刻划。振动自由度数 s n = −= ( ) 3 6 3 。 约束方程 m uα α 0 给出三个方程： α ∑ = G ( 13 2 ) 0 m x x mx A B + + = （1） ( 13 2 ) 0 m y y my A B + + = ； （2） ( 13 2 ) 0 m z z mz A B + + = （3） 约束方程 0 mr u 0 αα α α ∑ × = G G 给出三个方程： 1 3 cos ( ) 0 ml z z A θ + = （4） 1 3 sin ( ) 0 ml z z A θ − = ， （5） ( 13 13 )sin ( ) cos 0 ml y y x x A ⎡ ⎤ − θ −+ = θ ⎣ ⎦ （6） 由（3）(4) (5)解得： ，即三个振动自由度均位于 平面内（即原子 作振动时，保持位于 平面内）。也就是说，如果振动偏离 平面，就要破坏 总动量为零和总角动量为零的条件，这样的振动应归入平动或转动。 123 zz z === 0 OXY OXY OXY 其余 6 个坐标 12312 3 x ,,,,, xxyyy 还有 3 个约束方程（1）（2）（6），与 s=3 一致。 ○2 当 2θ = π 时，本例的结果和线型分子相同。（理应如此） ○3 振动模式：从物理概念分析振动模式： 原子 2 沿 X 轴振动，从物理和分子结构的对称性来分析，原子 1，3 的振动有两种模式 （图 1，图 4），但图 4 应归入转动。 原子 2 沿 Y 轴振动，有两种模式（图 2，图 3）。综上所述共有三种模式。 图 3 与图 2 情况相似，我们着重分析图 1 和图 2。 图 1 图 2 2 13 y yy = + 0 = 0 抵消 0 2 13 x xx = 0 + = 抵消 1 3 x + x 叠加，选 1 1 q xx = + 3 1 3 y + y 叠加，选 3 1 q yy = + 3 1-2，2-3 长度改变（拉压相反） 1-2，2-3 夹角改变（叠加） 夹角改变（相互抵消） 长度改变（拉压相同） ④势能的计算 u u x xi y y j 12 12 12 −= − + − ( )( ) G G G G u u x xi y y j 32 32 32 −= − + − ( )( ) G G G G 9