§4.3 Cauchy型积分和含参量积分的解析性 第4页 843 Cauchy型积分和含参量积分的解析性 在上一节关于解析函数高阶导数公式的证明过程中,f(z)的解析性只是体现在:(1)f(z)可 用 Cauchy积分公式表示;(2)f(z)在C上连续.因此,重复上面的步骤,就可以证明:在一条分 段光滑的(闭合或不闭合)曲线C上连续的函数()所构成的积分 f(a) 1 (S) (称为 Cauchy型积分)是曲线外点z的解析函数,f'(2)可通过积分号下求导而得到 2Pilospards f()=p 例计算积分 f(2)=1 1(d,1≠1 解这是一个 Cauchy型积分.因为在||=1上*=1/,故 f(a) 当|2|>1时,此积分可以用 Cauchy积分公式计算 f(a) tla 当0<||<1时 l「1 f(a) 容易看出,此结果对于z=0仍成立.综合以上结果,就有 )=m lz>1, Ial 由此可见,f(z)在|≠1处解析,尽管〈*在全平面不解析Wu Chong-shi §4.3 Cauchy ✟☎✆✠✡☛☞☎✆✌✍✎✏ ✟ 4 ✠ §4.3 Cauchy ✑✒✓✒✓✔✕✒✓➻➳➵✖ ❆ ①✻✗❝ ♦✬✭✮✯ÿ➬➮✯ ➌➍✩❦ Ù✘✙ ★ ✰ f(z) ✩ ✬✭✚➑ ✥↔❶❆➦ (1) f(z) ❡ ✛ Cauchy ✿✳➌➍✜✢✣ (2)f(z) ❆ C ① ▲á❄❣❬✰➹ ❑ ① ✞ ✩✤✥✰❥❡➃ ❦ Ù➦❆ ✻✦✳ ✴✵✶✩ (t✉✧Ýt✉) ✷✸ C ① ▲á✩ ✮✯ φ(ζ) ➋★ ➭ ✩✿✳ f(z) = 1 2π i Z C φ(ζ) ζ − z dζ (✩✹ Cauchy ✪✛✜) ✥ ✷✸③✼ z ✩ ✬✭✮✯✰ f 0 (z) ❡▼✘ ✿✳ÚÛ➟ ➮ ↕❧➙✰ f (p) (z) = p! 2π i Z C φ(ζ) (ζ − z) p+1 dζ. ✫ ❷❸✿✳ f(z) = 1 2π i I |ζ|=1 ζ ∗ ζ − z dζ, |z| 6= 1. ✬ ➈ ✥✻➂ Cauchy ✭✿✳❄❣✹❆ |ζ| = 1 ① ζ ∗ = 1/ζ ✰❞ f(z) = 1 2π i I |ζ|=1 1 ζ(ζ − z) dζ. ➔ |z| > 1 ❻ ✰❬✿✳❡ ➃ ✛ Cauchy ✿✳➌➍❷❸✰ f(z) = 1 2π i I |ζ|=1 1 ζ  1 ζ − z  dζ = − 1 z . ➔ 0 < |z| < 1 ❻ ✰ f(z) = 1 2π i I |ζ|=1 1 z  1 ζ − z − 1 ζ  dζ = 0. ✮✯✰➠✰❬❭❪♥♦ z = 0 ➫➭➯❄✱ ✉ ➃①❭❪✰❥P f(z) = 1 2π i I |ζ|=1 ζ ∗ ζ − z dζ =    − 1 z , |z| > 1, 0, |z| < 1. ❤❬❡❉ ✰ f(z) ❆ |z| 6= 1 ➲✬✭✰✲✳ ζ ∗ ❆✴✝✞Ý✬✭❄