第四讲() Cauchy积分公式 第5页 利 Cauchy积分,就可以推出含参积分的解性 点 1.f(t,2)是tm2的,积画数,t∈a,b G 2.路沿{a,b正的向.t值,∫(t,x)是石正的,值解析函数 则F(2)=/f(,2)d在G内是解析的,且 (z) af(t, 2) de dt 证因为f(t,2)在G上解析,故对于G内的任何一点2, Cauchy积分公式成立, f(t, 2) f(t,) 作圆F(z)的定义,并换积分次序(因为f(t,2)连续),得 dt f(t, s) 这是一个 Cauchy积分,/f(t,z)dt连续,故F(2)为G内的解析函数,且 f(t, S)dt ds .[如94]= 根然这个结论据复于/f(),这时应当要求C是分段光滑曲线,当t在C上变连, z∈石时,f(t,2)是t和z的连续函数.证明的方法与上通同Wu Chong-shi ￾✁✂ (✄) Cauchy ☎✆✝✞ ✟ 5 ✠ ✵✛ Cauchy ✭✿✳✰❥❡➃➪➠ ✶✷✸✛✜✚✬✹✺ ❄ ✻✼ 4.2 ✤ 1. f(t, z) î t ✽ z ò✾✿õö✰ t ∈ [a, b] ✰ z ∈ G ✰ 2. ❀❁ [a, b] ❂ò❃❄ t ❅ ✰ f(t, z) î G ❂ò❆❅óôõö✰ ✽ F(z) = Z b a f(t, z)dt ❆ G ✺✥✬✭✩ ✰➧ F 0 (z) = Z b a ∂f(t, z) ∂z dt. ❅ ❣✹ f(t, z) ❆ G ① ✬✭✰❞♥♦ G ✺✩➴➷✻✼ z ✰ Cauchy ✿✳➌➍➭➯✰ f(t, z) = 1 2π i I C f(t, ζ) ζ − z dζ. ❇❈ F(z) ✩◆❉ ✰❐❊❋✿✳●❍ (❣✹ f(t, z) ▲á) ✰❧ F(z) = Z b a dt 2π i I C f(t, ζ) ζ − z dζ = 1 2π i I C 1 ζ − z "Z b a f(t, ζ)dt # dζ. ➈ ✥✻➂ Cauchy ✭✿✳✰ Z b a f(t, z)dt ▲á✰❞ F(z) ✹ G ✺✩✬✭✮✯✰➧ F 0 (z) = 1 2π i I C 1 (ζ − z) 2 "Z b a f(t, ζ)dt # dζ = Z b a  1 2π i I C f(t, ζ) (ζ − z) 2 dζ  dt = Z b a ∂f(t, z) ∂z dt. ■→✰➈ ➂ ❭➘❏❑✛♦ Z C f(t, z)dt ❄ ➈ ❻ ❫➔q➟ C ✥✳✴✵✶ ✷✸✰➔ t ❆ C ① ë▲✰ z ∈ G ❻ ✰ f(t, z) ✥ t ➊ z ✩ ▲á✮✯❄ ❦ Ù✩❽Ü❴① ✞▼è ❄