微分流形上微分学—一流形上的张量场 谢锡麟 13张量 定义1.3(张量).如果映照 M×…×TM×TnMx…XTM{61,…,6 更(61,…,r;X Xs)∈R 具有对各个变元的线性性,即 (61,…,2,…,θr +(61,…,θ1,…,θ-;X1,……,Xs),1 更 6;X Xi+Bx X a更(61 X +P(61 Xj,…,X),1≤j≤ 则称更为张量,记为φ∈⑧,TM 下面研究更的表示,由 更(61,…,6r;X1 dn(p),…,dn'(m);(n)..0(p)(h…4)(x2…x)∈R, 0x) 1=dm(p)(X1),…,X3=dm3(Xs) 对于余切空间TM,可进一步考虑其对偶空间T*M,可引入 Ozi (p): pMs0- dri (p)(e)=d(p)(, dz(p))=BER 易见an:(p)∈TpM,满足a(p)(dn(p)=2.由此可有 11 (p)(61) p)(0) 引入简单张量a1(p)8…8rp)dnn…8dm TMx…× TpMXTPM X…×TM3{61,…,6n;X1,…,Xs} (p)8…8n-(p)adry18…drl'(61,…,6, X ari(p)(e1) r()(-)["(x1 ∈R,微分流形上微分学 微分流形上微分学 —— 流形上的张量场 谢锡麟 1.3 张量 定义 1.3 (张量). 如果映照 Φ : T ∗ p M × · · · × T ∗ p M | {z } r重 × TpM × · · · × TpM | {z } s重 ∋{θ1, · · · , θr; X1, · · · , Xs} 7→ Φ(θ1, · · · , θr; X1, · · · , Xs) ∈ R 具有对各个变元的线性性, 即 Φ(θ1, · · · , αθ˜ i + βθˆ i , · · · , θr; X1, · · · , Xs) = αΦ(θ1, · · · , θ˜ i , · · · , θr; X1, · · · , Xs) + βΦ(θ1, · · · , θˆ i , · · · , θr; X1, · · · , Xs), 1 6 i 6 r; Φ(θ1, · · · , θr; X1, · · · , αX˜ j + βXˆ j , · · · , Xs) = αΦ(θ1, · · · , θr; X1, · · · , X˜ j , · · · , Xs) + βΦ(θ1, · · · , θr; X1, · · · , Xˆ j , · · · , Xs), 1 6 j 6 s, 则称 Φ 为张量, 记为 Φ ∈ ⊗r,sTM. 下面研究 Φ 的表示, 由 Φ(θ1, · · · , θr; X1, · · · , Xs) = Φ ( θ1,i1 dx i1 (p), · · · , θr,ir dx ir (p); X j1 1 ∂ ∂xj1 (p), · · · , Xjs s ∂ ∂xjs (p) ) = Φ ( dx i1 (p), · · · , dx ir (p); ∂ ∂xj1 (p), · · · , ∂ ∂xjs (p) ) (θ1,i1 · · · θr,ir )(X j1 1 · · · Xjs s ) ∈ R, 已有 X j1 1 = dx j1 (p)(X1), · · · , Xjs s = dx js (Xs), 对于余切空间 T ∗ p M, 可进一步考虑其对偶空间 T ∗∗ p M, 可引入 ∂ ∗ ∂xi (p) : T ∗ p M ∋ θ 7→ ∂ ∗ ∂xi (p)(θ) = ∂ ∗ ∂xi (p)(θjdx j (p)) = θi ∈ R. 易见 ∂ ∗ ∂xi (p) ∈ T ∗∗ p M, 满足 ∂ ∗ ∂xi (p)(dx j (p)) = δ j i . 由此可有 θ1,i1 = ∂ ∗ ∂xi1 (p)(θ1), · · · , θr,ir = ∂ ∗ ∂xir (p)(θr). 引入简单张量 ∂ ∗ ∂xi1 (p) ⊗ · · · ⊗ ∂ ∗ ∂xir (p) ⊗ dx j1 ⊗ · · · ⊗ dx js : T ∗ p M × · · · × T ∗ p M | {z } r重 × TpM × · · · × TpM | {z } s重 ∋ {θ1, · · · , θr; X1, · · · , Xs} 7→ ∂ ∗ ∂xi1 (p) ⊗ · · · ⊗ ∂ ∗ ∂xir (p) ⊗ dx j1 ⊗ · · · ⊗ dx js (θ1, · · · , θr; X1, · · · , Xs) , [ ∂ ∗ ∂xi1 (p)(θ1)· · · ∂ ∗ ∂xir (p)(θr) ] [ dx j1 (X1)· · · dx js (Xs) ] = θ1,i1 · · · θr,irX j1 1 · · · Xjs s ∈ R, 4