微分流形上微分学—流形上的张量 谢锡麟 可引入⑧sTM上的线性结构,亦即 (a+y)(O1,…,Or;X1,…,Xs)全a∮(6 Xs +βy(61,……,0-;X1,…,Xs)∈R. 对v61,…,6-∈TM,X1,…,Xs∈TpM,可有 4(;…,0;x1,…,x。)=吗,)8… 8°(p)dm(p)8…8dr'(p) 中购(0,,)为张量分量故有张最的一般 表示 8TM3垂=如nDn(p)8D(p)dn(p)8…dr(p) 对于Rm+中的m维曲面,已澄清a()~91(xp),dr(p)~g(xp) 定义T*M上的内积 (,)x:M×GM3(0)→(,0)=(d(m,(p)全∈ 对v中∈TM=(T2M)”,按 F Riesz定理,有3!6o∈TM满足 ()=(,6M=(dx2(p,Ody(p)=90o 另有 (6)=(2dx(p)=b(dx2(P)=61, 故有g30=,以及0=9k4,由此 TM=)~dy()=91a/()~9gg()=的9( 可有 p)gk(p 2应用事例 2.1流形上的曲线 流形上曲线可以定义为 7(t):[a,b3t(t)∈M, 引入坐标卡o(x),则有 6- or(t):a, b>+0-on(t)=微分流形上微分学 微分流形上微分学 —— 流形上的张量场 谢锡麟 可引入 ⊗r,sTM 上的线性结构, 亦即 (αΦ + βΨ)(θ1, · · · , θr; X1, · · · , Xs) , αΦ(θ1, · · · , θr; X1, · · · , Xs) + βΨ(θ1, · · · , θr; X1, · · · , Xs) ∈ R. 对 ∀ θ1, · · · , θr ∈ T ∗ p M, ∀ X1, · · · , Xs ∈ TpM, 可有 Φ(θ1, · · · , θr; X1, · · · , Xs) = Φ i1···ir j1···js ∂ ∗ ∂xi1 (p) ⊗ · · · ∂ ∗ ∂xir (p) ⊗ dx j1 (p) ⊗ · · · ⊗ dx js (p) (θ1, · · · , θr; X1, · · · , Xs), 其中 Φ i1···ir j1···js , Φ ( dx i1 (p), · · · , dx ir (p); ∂ ∂xj1 (p), · · · , ∂ ∂xjs (p) ) 称为张量分量. 故有张量的一般 表示 ⊗ r,sTM ∋ Φ = Φ i1···ir j1···js ∂ ∗ ∂xi1 (p) ⊗ · · · ∂ ∗ ∂xir (p) ⊗ dx j1 (p) ⊗ · · · ⊗ dx js (p). 对于 R m+1 中的 m 维曲面, 已澄清 ∂ ∂xi (p) ∼ gi (xp), dx i (p) ∼ g i (xp). 定义 T ∗ p M 上的内积 ⟨·, ·⟩T ∗ p M : T ∗ p M × T ∗ p M ∋ {θ˜, θˆ} 7→ ⟨ θ˜, θˆ ⟩ T ∗ p M = ⟨ ˜θidx i (p), ˆθjdx j (p) ⟩ , g ij ˜θi ˆθj ∈ R. 对 ∀ ϕ ∈ T ∗∗ p M = (T ∗ p M) ∗ , 按 F.Riesz 定理, 有 ∃ ! θϕ ∈ T ∗ p M 满足 ϕ(θ) = ⟨θ, θϕ⟩ T ∗ p M = ⟨ θidx i (p), θϕ,jdx j (p) ⟩ = g ijθiθϕ,j ; 另有 ϕ(θ) = ϕ(θidx i (p)) = θiϕ(dx i (p)) = θiϕ i , 故有 g ijθϕ,j = ϕ i , 以及 θϕ,j = gjkϕ k . 由此 T ∗∗ p M ∋ ϕ = ϕ k ∂ ∗ ∂xk (p) ∼ θϕ,jdx j (p) = gjkϕ kdx j (p) ∼ gjkϕ k g j (xp) = ϕ k gk (xp), 可有 ∂ ∗ ∂xk (p) ∼ gk (p). 2 应用事例 2.1 流形上的曲线 流形上曲线可以定义为 γ(t) : [a, b] ∋ t 7→ γ(t) ∈ M, 引入坐标卡 ϕ(x), 则有 ϕ −1 ◦ γ(t) : [a, b] ∋ t 7→ ϕ −1 ◦ γ(t) =   γ 1 (t) . . . γ m(t)   , 5