微分流形上微分学—流形上的张量 谢锡麟 此处d-1。(t)∈Rm可理解为“拉回至”参数域中的曲线进一步可以定义 d(oon (t) ∈R", i"(t) 为此曲线的切向量.由此可以引入切向量的另一种定义 定义21(切向量的变化率定义)设(t)∈M为M上曲线,其在点p的切向量为 d-1o(0)=E∈Rm,则可定义切向量 ():3f→()at(°)()∈R, 它满足: 1.线性性:对Vf,g∈,有 (f+9)=4(+9)1()=a(。)(0)+a(。)(0 =￡(f)+E(9)∈R; 2. Leibniz性:对vf,g∈,有 s(/()≈d d (fg)o(0) dt (f。)(0)9(p)+f(P)|x(g)(0) E(9(p)+f(p)E(g) 按计算可有 ∈(f)()()=(f。7)≈9(。g d dri(p)i(0) sazi (p)(), 故有 6=m(P)∈TpM (0) 考虑到按映照观点的切向量定义,有 (P),X=X(c-xp)2) 对确定的X∈R(1≤i≤m),可作 Rn om+Xmt微分流形上微分学 微分流形上微分学 —— 流形上的张量场 谢锡麟 此处 ϕ −1 ◦ γ(t) ∈ R m 可理解为 “拉回至” 参数域中的曲线. 进一步可以定义 d(ϕ −1 ◦ γ) dt (t) =   γ˙ 1 (t) . . . γ˙ m(t)   ∈ R m, 为此曲线的切向量. 由此可以引入切向量的另一种定义. 定义 2.1 (切向量的变化率定义). 设 γ(t) ∈ M 为 M 上曲线, 其在点 p 的切向量为 ˙ ϕ−1 ◦ γ(0) = ξ ∈ R m, 则可定义切向量 ξ(f) : C ∞ p ∋ f 7→ ξ(f) , d dt (f ◦ γ)(0) ∈ R, 它满足: 1. 线性性: 对 ∀ f, g ∈ C ∞ p , 有 ξ(f + g) = d dt (f + g) ◦ γ(0) = d dt (f ◦ γ)(0) + d dt (g ◦ γ)(0) = ξ(f) + ξ(g) ∈ R; 2. Leibniz 性: 对 ∀ f, g ∈ C ∞ p , 有 ξ(fg) = d dt (fg) ◦ γ(0) = [ d dt (f ◦ γ)(0)] g(p) + f(p) [ d dt (g ◦ γ)(0)] = ξ(f)g(p) + f(p)ξ(g). 按计算可有 ξ(f) = d dt (f ◦ γ)(0) = d dt (f ◦ ϕ ◦ ϕ −1 ◦ γ)(0) = ∂(f ◦ ϕ) ∂xi (xp) ˙γ i (0) = ξ i ∂ ∂xi (p)(f), 故有 ξ = ξ i ∂ ∂xi (p) ∈ TpM, ξi := ˙γ i (0). 考虑到按映照观点的切向量定义, 有 X = Xi ∂ ∂xi (p), Xi = X((x − xp) i ). 对确定的 Xi ∈ R(1 6 i 6 m), 可作   γ 1 (t) . . . γ m(t)   =   x 1 p + X1 t . . . x m p + Xmt   ∈ R m, 6