(y-x)2 U(G,x) U(0, y)e e-f(e )e 2r@ dy 再作变换y-x=y,便得 (t,x)= to](+)e zro'e-atdy'=ex f(xe )e 注意积分号内指数项的分子为(y+to3a)2-t2oa2,作变换y+to2a=,就得 --Ia-a f( (B4+r) f∫( √T--(7-g De 2 d= 最后用V(,x)=(r,x)=ea+pU(t,x),得到(t,x)的明显表达式如下面定理所述 定理13.6 2 (t,x) 于是欧式未定权益∫(Sx)在时刻(<T)的价格为v(t,S,),而在合约开始时刻的贴水为 (0.s)=」fs (13.17) 而用以套期标的证券的数量,则由(13.4)式给出 定义13.7( Black-Scholes中性模型)从(13.16)可以看出,欧式未定权益的定价 不依赖风险证券的收益率μ.而代替它的则是银行利率r.这就启示我们,在利用 Black-Scholes模型求未定权益的定价时,风险证券的价格模型应该改用 dS, =S, (rdt +dB,) (13.18) 这样的模型称为 Black- Scholes风险中性模型.由于它与收益率为μ时的模型不一样,我们 把对应于这个风险中性模型所取的概率记为P'(相应的期望记为E),称为风险中性概率 在金融中,“一称为风险的市场价格 1.3风险中性概率方法 设在风险中性模型下,风险证券在t时刻的价格记为S.它对于银行利率r的折现价 377377 U y e dy t U t x t y x 2 2 2 ' ( ') (0, ) 2 ' 1 ( ', ') s p s - - ò × = e f e e dy t t y x y y 2 2 2 ' ( ') ( ) 2 ' 1 a s p s - - - ò × = ． 再作变换 y - x' = y' , 便得 U (t', x') ( ) ' 2 ' 1 ( ' ') 2 ' ' ' ' 2 2 f e e e dy t t x y y y x - + - + ò × = s a p s ( ) ' 2 ' 2 2 2 2 ' ' 2 ' ' ' ' f xe e dy t e t y t y y x s s a a p s + - - ò × = . 注意积分号内指数项的分子为 2 2 2 4 2 (y'+t's a) - t' s a , 作变换 z t y t = + ' ' ' 2 s s a , 就得 f xe e e dz e U t x z t t z t x 2 ' 2 ' ' ' 2 2 2 2 ( ) 2 ( ' , ') s a s s a a p - - - ò = f xe e dz e e z T tz T t x t rt 2 ( ) ' ( ' ') 2 2 ( ) 2 - - - - - - × + ò = s s a a b p ． 最后用 ( , ) ( ', ') ( ', ') ' ' ~ V t x V t x e U t x x + ×t = = a b ，得到V(t, x) 的明显表达式如下面定理所述. 定理１３．６ f xe e dz e V t x z T tz T t r r T t 2 ) 2 ( ) ( ( ) 2 2 2 ( ) 2 ( , ) - - - - - - - ò = s s s p ． (13. 16) 于是欧式未定权益 ( ) S N f 在时刻t(< T ) 的价格为 ( , ) St V t , 而在合约开始时刻的贴水为 f S e e dz e V S z T z T r rT 2 ) 2 ( 0 0 2 2 2 ( ) 2 (0, ) - - - - ò = s s s p ． (13. 17) 而用以套期标的证券的数量, 则由(13. 4)式给出． 定义１３．７ （Black-Scholes 中性模型） 从(13. 16)可以看出, 欧式未定权益的定价 不依赖风险证券的收益率 m . 而代替它的则是银行利率 r . 这就启示我们，在利用 Black-Scholes 模型求未定权益的定价时, 风险证券的价格模型应该改用 ( ) t t dBt dS = S rdt + . (13. 18) 这样的模型称为 Black-Scholes 风险中性模型. 由于它与收益率为m 时的模型不一样, 我们 把对应于这个风险中性模型所取的概率记为 * P (相应的期望记为 * E ), 称为风险中性概率. 在金融中， s m - r 称为风险的市场价格． １．３ 风险中性概率方法 设在风险中性模型下, 风险证券在 t 时刻的价格记为 St . 它对于银行利率 r 的折现价