rV=0 (13.7) t 外加终端条件 V(T,x)=f(x),(因为(T,S)=f(S)) (13.8) 只要求得此方程的解(1,x),就得到了未定权益∫(S)在时刻t<T的价格V(t,S) 而在时刻t=0贴水为F(0,S0) 2. Black-Scholes微分方程的求解 先令=T一t将终值问题化成初值问题,再令x'=logx,(t',x)=V(t,x),并利用 Vr=xkVrr'=(xVr=x(xD=xvx+xv, v 把方程(13.7)化为 Vr-rv=0 (13.9 (0.,x)=(V(T,x)=f(x)=)f(e2) (13.10) 此方程的系数不依赖x,是常系数偏微分方程然后作变换 ar'+B-1 (13.11) 只要在此变换中选取合适的常数α,B,就可以消灭方程中含U和含Ux的项即 (1)置U的系数为0,得到 (2)再置U的系数为0,得到 (13.13) 这时(13.9),(13.10)就简化为传热方程的初值问题 (13 U(0,x (13.15) 由此可以用初等偏微分方程中的经典方法,即用 Gauss核( Brown运动的转移密度函数也称 为 Gauss核)的积分给出其解U(r,x") 376376 0 2 1 2 2 2 2 - = ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ rV x V rx x V S t V s t , (13. 7) 外加终端条件 V(T , x) = f (x) ，（因为 ( , ) ( ) T ST V T S = f ）． (13. 8) 只要求得此方程的解V(t, x), 就得到了未定权益 ( ) ST f 在时刻 t < T 的价格 ( , ) St V t . 而在时刻t = 0 贴水为 (0, ) V S0 . ２． Black-Scholes 微分方程的求解 先令t'= T -t 将终值问题化成初值问题, 再令x'= log x , ( ', ') ( , ) ~ V t x =V t x ， 并利用 x x x xx x x x x V x = xV V = xV = x xV = x V + xV 2 ' ' ' ~ ' ~ , ( ) ( ) , t V t ' = -V ~ , 把方程（１３．７）化为 ) 0 2 ( 2 1 ~ ' 2 ~ ' ' ~ 2 ~ -Vt' + V x x + r - V x - rV = s s , (13. 9) (0, ') ( ( , ) ( ) ) ( ) ' ~ x V x = V T x = f x = f e ． (13. 10) 此方程的系数不依赖 x' , 是常系数偏微分方程. 然后作变换 ( ', ') ( ', ') ' ' ~ V t x e U t x x + ×t = a b . (13. 11) 只要在此变换中选取合适的常数a, b , 就可以消灭方程中含U 和含U x'的项,即 （１）置U x'的系数为 0, 得到 2 2 2 2 2 1 s s s a r r = - - = - , (13. 12) （２）再置U 的系数为 0, 得到 ) 2 1 ( 2 2 b = - s a + r . (13. 13) 这时（１３．９），（１３．１０）就简化为传热方程的初值问题 ' ' 2 ' 2 Ut U x x s = (13. 14) (0, ') ( ) x' x' U x e f e -a = . (13. 15) 由此可以用初等偏微分方程中的经典方法，即用 Gauss 核 (Brown 运动的转移密度函数也称 为 Gauss 核) 的积分给出其解U (t', x')