1490 作物学报 第34卷 Keywords:Sudokusquare,Design and analysis,Field experiment 近年在亚、欧、美洲许多国家流行一种益智填 1.2构成数独方的必要条件 数游戏，称为“数独”(Sudoku)-。该词已作为 一个k×k方要能再分成k个区，就必须满足条 个热门新词人选美国2007年版的《韦氏大词典》)。 件k=pg而p或g如果为1，就退化为行或列，也 数独的一种最常见棹式是：在一个别分成9行.9 不能构成数独方中的区。所以，构成一个数独方的 列、9区(bx)共81小格的方中，填入适当的数字，使 必要条件是 每一行每列和每一区都含有数字1~9（不重复）。 k■pg(p,g≥2) (1) 图1就是一个植成的数种方其中知体字是口知数 在自然数中.所有质数.如2、3、5、7、11、 字，其余是玩家填入的数字。数独方的基本特征，如 13等，仅有因子1和其自身而所有非质数则除了】 果加以一般化，完全可能应用于田间试验，成为可 和其自身外，至少还能被另外一个≥2的因子整除。 从行、列、区三向控制土壤环境变异性的新设计。 因此.所有非质数的k都能构成数独方.有此还能 构成两种或更多种数独方：而质数的k都不可能构 成数独方。 6】8 1.3数独方中区的组成 792168543 区的组成是指区的大小和小区（试验单元）的面 1 2 643 752918 518349267 置方式，可用区所包含的行数×列数，即区行内的 451687329 行数×区列内的列数表示。例如3×3表示每区包含 425 3行3列，共9个小区，正方形（图），3×2表示每区 含3行2列.共6个小风。直长方形：2×3表示每凤 2 8 含2行3列，也是6个小区，但为横长方形（图2）。3 325896471 ×2和2×3，区的容量相同但小区配置方式不同。 图1一个9行、9列、9区（粗线国成）的数独方及共 2 行、列、区编码 as,and bose 1数独方的定义和性质 1.1数独方的基本概念 351 624 一个行×k列的方，再分成k个形状和面积相同 246513 的区，填入自然数1k若任一数字在每一行、每 图2，一个6,一3.一2的有限随机化数独方 列和每一区都出现1次，且仅出现1次，就称该方为 Fig.2 数独方。以试验设计用语则可表述为：个试验单 元（小区）分为k行、列和k区，使每行、每列和每☒ 由于k=p,故当数独方的区行数为p时，其每 都含有k个试验单元，可安排处理1-k。该设计就称 区行数一定是p=4,列数一定是g=P,又，在同 为数独方设计，它的每一处理都是k次重复。 k下，若P≠g,则p和q的互换即形成小区的不 为便于一般化措述，对数独方的行、列、区进 同配置方式。表1列出k≤20的15种数独方设计及 行编码。定义行序为从上而下记作1k列序为从左 其区的组成，供选择使用。 到右记作1-k并引入新词“区行”(bo 0w)和“区 2数独方的设计和分析 列”(box-column),区行是指由区组成的“行" 上而下记序为1严：区列是指由区组成的“列”，从 2.1设计 左到右记序为19。这样，k、P、9就成为数独方的 设计一个数独方需经4个步骤：(1)根据试验处 3个基本参数，例如，图1即具有k=9,p=q=3。 理数k和区行数p(这时q亦已被决定，因为k=Pq,1490 作 物 学 报 第 34 卷 Keywords: Sudoku square; Design and analysis; Field experiment 近年在亚、欧、美洲许多国家流行一种益智填 数游戏, 称为“数独”(Sudoku)[1-2]。该词已作为一 个热门新词入选美国 2007 年版的《韦氏大词典》[3]。 数独的一种最常见模式是：在一个划分成 9 行、9 列、9 区(box)共 81 小格的方中, 填入适当的数字, 使 每一行、每一列和每一区都含有数字 1~9(不重复)。 图 1 就是一个填成的数独方, 其中粗体字是已知数 字, 其余是玩家填入的数字。数独方的基本特征, 如 果加以一般化, 完全可能应用于田间试验, 成为可 从行、列、区三向控制土壤-环境变异性的新设计。 图 1 一个 9 行、9 列、9 区(粗线围成)的数独方及其 行、列、区编码 Fig. 1 A Sudoku square with 9 rows, 9 columns, and 9 boxes surrounded by thick lines, and the codes of the rows, columns, and boxes 1 数独方的定义和性质 1.1 数独方的基本概念 一个k行×k列的方, 再分成k个形状和面积相同 的区, 填入自然数 1~k; 若任一数字在每一行、每一 列和每一区都出现 1 次,且仅出现 1 次, 就称该方为 数独方。以试验设计用语则可表述为：k2 个试验单 元(小区)分为k行、k列和k区, 使每行、每列和每区 都含有k个试验单元, 可安排处理 1~k。该设计就称 为数独方设计, 它的每一处理都是k次重复。 为便于一般化描述, 对数独方的行、列、区进 行编码。定义行序为从上而下记作 1~k, 列序为从左 到右记作 1~k; 并引入新词“区行”(box-row)和“区 列”(box-column), 区行是指由区组成的“行”, 从 上而下记序为 1~p; 区列是指由区组成的“列”, 从 左到右记序为 1~q。这样, k、p、q 就成为数独方的 3 个基本参数, 例如, 图 1 即具有 k = 9, p = q =3。 1.2 构成数独方的必要条件 一个 k×k 方要能再分成 k 个区, 就必须满足条 件 k = pq; 而 p 或 q 如果为 1, 就退化为行或列, 也 不能构成数独方中的区。所以, 构成一个数独方的 必要条件是: k = pq (p, q ≥ 2) (1) 在自然数中, 所有质数, 如 2、3、5、7、11、 13 等, 仅有因子 1 和其自身; 而所有非质数则除了 1 和其自身外, 至少还能被另外一个≥2 的因子整除。 因此, 所有非质数的 k 都能构成数独方, 有些还能 构成两种或更多种数独方; 而质数的 k 都不可能构 成数独方。 1.3 数独方中区的组成 区的组成是指区的大小和小区(试验单元)的配 置方式, 可用区所包含的行数×列数, 即区行内的 行数×区列内的列数表示。例如 3×3 表示每区包含 3 行 3 列, 共 9 个小区, 正方形(图 1); 3×2 表示每区 含 3 行 2 列, 共 6 个小区, 直长方形; 2×3 表示每区 含 2 行 3 列, 也是 6 个小区, 但为横长方形(图 2)。3 ×2 和 2×3, 区的容量相同但小区配置方式不同。 图 2 一个 k=6, p=3, q=2 的有限随机化数独方 Fig. 2 A Sudoku square with restricted randomization in k=6, p=3, q=2 由于 k = pq, 故当数独方的区行数为 p 时, 其每 区行数一定是 k/p = q, 列数一定是 k/q = p; 又, 在同 一 k 下, 若 p≠q, 则 p 和 q 的互换即形成小区的不 同配置方式。表 1 列出 k≤20 的 15 种数独方设计及 其区的组成, 供选择使用。 2 数独方的设计和分析 2.1 设计 设计一个数独方需经 4 个步骤：(1)根据试验处 理数 k 和区行数 p (这时 q 亦已被决定, 因为 k = pq)