第9期 草惠体等：田间试验的一种新设计一数独方 1491 表1≤0的数独方设计及区的组成 化的数独方于图3，将6个试验处理随机编码为16， Table l Design of Sudoku squares in k=20 and the 此数独方设计即告完成。 box composition 设计参数Design para 区的组成（行数×列数） 315462 2 6 2×3 3×2 642 135 2×4 4×2 13 3×3 53 1 624 2x5 3× 6 3 2×6 6×2 3×7 7x2 例2设k=12,p=3,g=4,写出一个有限随机 5 3x5 5x3 化的数独方。以随机数列8、10、5、2、12、9、6 6 1、4、11、3、7循环写出区行1，以随机数列7、5 8 2×8 8x2 12、8、1、3、9、10、6、4、11、2循环写出区行2（在 3×6 6×3 第5行上，当写至第4列时上方已有“8”，故“8” 9 2×9 9x2 被移至数列末而填“1”：当写至第5列时上方已有 4×5 “3”故“3”又被移至数列未而植“9”·依出举 20 10 2×10 10×2 推。这样，依次被移到数列末尾的随机数共有8：3；6 ·由p和g互换得到。·Obtained from p and exchange. 8)以随机数列5、7、3、10、8、9、12、4、6、1、 抽取D组各含随机数1-k(不重复)的数列，用每一组 11、2循环写出区行3（依次移至数列末的随机数有9、 随机数数列循环地写出 个区行。在用第1组随机 12、4,1、11、2,1211、2,11)。由此得到图4的结 数写第1区行时，都可以按随机数的出现顺序依次 直接录入：但用第2组及以后各组随机数写第2及 以后各区行时，就可能遇到某随机数与列上已写入 29 的数字相同.这时必须将该随机数移至随机数列的 113802120614 末尾.延后再写。这样就得到一一个有限随机化的k 751219104112368 行、k列、k区的数独方。如果g<P,则可以抽取g 191041123687512 组随机数，用每组数列写出 个区列，方法类同 411 68 5121910 但较为简便。(2)以有限随机化数独方为基础，随机 3 910411 排列区行和区行内的行(3)随机排列区列和区列内 41■1221 的列：(4)将k个处理随机编码为1k,设计完成。 上述(2(4)的随机化与通常设计，特别是与拉 122115731086941 丁方设计的随机化4相似，()侧是数独方设计所特 有的，下面用例子详加说明。 Fig.4 A Sudoku squar 有限机化方上 例1设k=6,p=3,q=2,抽取g■2组16 estrictr 的随机数为5.4,1,6,3,2：2.1,4,3,65。将其直接 2.2 分析 写入第1、第2区列，即得到有限随机化的数独方 数独方设计试验结果的线性数学模型为 图2。此例在写第2区列时.没有碰到与第一区列相 Y7g=μ+tn+B1+p+ym+so(G,,1,m=l,2,…,k)(2) 同的数字。 式中，Y为第行第m列的小区观察值，属于第处 设以随机数3、2、1作区行随机化，2、L,1、2 理第区；为总平均数：、B、p,和依次为第处理 1、2作区行内的行随机化：1、2作区列随机化，1、3、 第区、第行和第m列的主效应，可以是周定或随机 2,2、3、1作区列内的列随机化（图2），则得到随机 的【固定模型时具有限制∑=∑B 第 9 期 莫惠栋等: 田间试验的一种新设计——数独方 1491 表 1 k≤20 的数独方设计及区的组成 Table 1 Design of Sudoku squares in k≤20 and the box composition 设计参数 Design parameters k p q 区的组成(行数×列数) Box composition (rows× columns) 4 2 2 2×2 6 3 2 2×3 3×2* 8 4 2 2×4 4×2* 9 3 3 3×3 10 5 2 2×5 5×2* 12 4 3 3×4 4×3* 12 6 2 2×6 6×2* 14 7 2 2×7 7×2* 15 5 3 3×5 5×3* 16 4 4 4×4 16 8 2 2×8 8×2* 18 6 3 3×6 6×3* 18 9 2 2×9 9×2* 20 5 4 4×5 5×4* 20 10 2 2×10 10×2* * 由p和q互换得到。* Obtained from p and q exchange. 抽取 p 组各含随机数 1~k (不重复)的数列, 用每一组 随机数数列循环地写出一个区行。在用第 1 组随机 数写第 1 区行时, 都可以按随机数的出现顺序依次 直接录入; 但用第 2 组及以后各组随机数写第 2 及 以后各区行时, 就可能遇到某随机数与列上已写入 的数字相同, 这时必须将该随机数移至随机数列的 末尾, 延后再写。这样就得到一个有限随机化的 k 行、k 列、k 区的数独方。如果 q < p, 则可以抽取 q 组随机数, 用每组数列写出一个区列, 方法类同, 但较为简便。(2)以有限随机化数独方为基础, 随机 排列区行和区行内的行; (3)随机排列区列和区列内 的列; (4)将 k 个处理随机编码为 1~k, 设计完成。 上述(2)~(4)的随机化与通常设计, 特别是与拉 丁方设计的随机化[4-5]相似, (1)则是数独方设计所特 有的, 下面用例子详加说明。 例 1 设 k = 6, p = 3, q = 2, 抽取 q = 2 组 1~6 的随机数为 5, 4, 1, 6, 3, 2; 2, 1, 4, 3, 6, 5。将其直接 写入第 1、第 2 区列, 即得到有限随机化的数独方于 图 2。此例在写第 2 区列时, 没有碰到与第一区列相 同的数字。 设以随机数 3、2、1 作区行随机化, 2、1, 1、2, 1、2 作区行内的行随机化; 1、2 作区列随机化, 1、3、 2, 2、3、1 作区列内的列随机化(图 2), 则得到随机 化的数独方于图 3。将 6 个试验处理随机编码为 1~6, 此数独方设计即告完成。 3 1 5 4 6 2 2 6 4 3 5 1 1 5 3 2 4 6 6 4 2 1 3 5 4 2 6 5 1 3 5 3 1 6 2 4 图 3 一个 k = 6, p = 3, q = 2 的数独方设计 Fig. 3 A Sudoku square design in k = 6, p = 3, q = 2 例 2 设 k = 12, p = 3, q = 4, 写出一个有限随机 化的数独方。以随机数列 8、10、5、2、12、9、6、 1、4、11、3、7 循环写出区行 1; 以随机数列 7、5、 12、8、1、3、9、10、6、4、11、2 循环写出区行 2(在 第 5 行上, 当写至第 4 列时上方已有“8”, 故“8” 被移至数列末而填“1”; 当写至第 5 列时上方已有 “3”, 故“3”又被移至数列末而填“9”; 依此类 推。这样, 依次被移到数列末尾的随机数共有 8; 3; 6; 8); 以随机数列 5、7、3、10、8、9、12、4、6、1、 11、2 循环写出区行 3(依次移至数列末的随机数有 9、 12、4; 1、11、2; 12; 11、2; 11)。由此得到图 4 的结 果。 图 4 一个 k = 12, p = 3, q = 4 的有限随机化数独方 Fig. 4 A Sudoku square with restricted randomization in k = 12, p = 3, q = 4 2.2 分析 数独方设计试验结果的线性数学模型为: Y i (ij)lm i j l m (ij)lm =μτ β ργ ε ++ + + + ( , , , =1, 2, ... , ) j l m k (2) 式中, Y(ij)lm为第l行第m列的小区观察值, 属于第i处 理第j区; µ为总平均数; τi、βj、ρl和γm依次为第i处理、 第j区、第l行和第m列的主效应, 可以是固定或随机 的 [ 固定模型时具有限制 1 1 k k i j ∑ ∑ τ β = =