作物学报ACTA AGRONOMICA SINICA2008,39y1489-1493 http://www.chinacrops.org/zwxb/ SSN 0496-3490:CODEN TSHPA9 E-mail:xbzw@chinajournal.net.cn D0L10.3724/SPJ.1006.2008.01489 田间试验的一种新设计一数独方 莫惠栋许如根 (江苏省作物速传和生理学重点实验室/扬州大学，江苏扬州225009) 摘要：数独是近年流行的一种益智游戏，其最常见模式是在一个9行×9列又再分成9区共81个小格的方中，填 入适当的数字，使每一行、每一列、每一区都含有数字19，不重复。通过一般化地研究数独方的构成、设计、数学 模型和统计分析方法，使之成为田间试验的一种新设计。这种设计能够安排重复k次的k个处理或一个试验因素的k 个水平，能在行、列、区3个方向控制土壤环境的变异性，其处理平均数之间的比较将比拉丁方设计更为精确。 关键词：数独方，设计与分析；田间试验 Sudoku Square-A New Design in Field Experiment MO Hui-Dong and XU Ru-Gen (Jiangsu Provincial Key Laboratory of Crop Gcnetics and Physiology/Yangzhou University,Yangzhou) Abstract:Sudoku is a game with incremental intelligence and is popularizing in many countries of Asia,Europe,and America Its most common pattem is to fill the digits I through9intoasquare with9 rows by9columns and subdivided 9 boxes,so that each digit appears once,and only once,in every row,column,and box.In the present paper,we investigated the basic properties of Sudoku in the general sense,and then make it a new design in field experiment. A necessary condition for constructing a Sudoku square is k po and p.g2 2.where k number of rows,columns,and boxes in a k x k square,p=number of box-rows (the row consists of boxes)and g=number of box-columns (the column con- sists of boxes).Therefore.only non-prime number k can construct a Sudoku square and the prime number k can not.Table I lists 15 Sudoku squares in the case of 20. To design a Sudokusquare,4steps e required as follows:(1)To write akk Sudoku sq stricted randomizatio he p m numbers of p or 4 sets ea through ith no repea and the Ny appe st be shifted to the numbers if it ha (3)To rand nd o with n.④To the k n ents or k levels of a fact Above mention indicates that a Sudoku squar an layout and column)soil The linear model of data from a Sudoku squre desig is Y+ +B+p+y+,,m=l,2,…,k) whereY is bserv ed valu row and mth col n,subjected to the ith treatment and /th box,u is th mcan,.p以 m are th box,/th row, ctively,and the fron ngly,the d than tha of and he fects of the fad s.In such desig effects and i thogonal e the estimate o main effect is not infuenced by the other main 基金项日：国家高技术研究发展计863计划项目(206AA10 国家自然科学茶金项日( 家科技支撑计刻项日2006BAD02B0 ped接受日期20006.i 研究方向： 生物统计学和数量传学。E
作物学报 ACTA AGRONOMICA SINICA 2008, 34(9): 1489−1493 http://www.chinacrops.org/zwxb/ ISSN 0496-3490; CODEN TSHPA9 E-mail: xbzw@chinajournal.net.cn DOI: 10.3724/SP.J.1006.2008.01489 田间试验的一种新设计——数独方 莫惠栋 许如根 (江苏省作物遗传和生理学重点实验室 / 扬州大学, 江苏扬州 225009) 摘 要: 数独是近年流行的一种益智游戏, 其最常见模式是在一个 9 行×9 列又再分成 9 区共 81 个小格的方中, 填 入适当的数字, 使每一行、每一列、每一区都含有数字 1~9, 不重复。通过一般化地研究数独方的构成、设计、数学 模型和统计分析方法, 使之成为田间试验的一种新设计。这种设计能够安排重复 k 次的 k 个处理或一个试验因素的 k 个水平, 能在行、列、区 3 个方向控制土壤-环境的变异性, 其处理平均数之间的比较将比拉丁方设计更为精确。 关键词: 数独方; 设计与分析; 田间试验 Sudoku Square—A New Design in Field Experiment MO Hui-Dong and XU Ru-Gen (Jiangsu Provincial Key Laboratory of Crop Genetics and Physiology / Yangzhou University, Yangzhou 225009, Jiangsu, China) Abstract: Sudoku is a game with incremental intelligence and is popularizing in many countries of Asia, Europe, and America. Its most common pattern is to fill the digits 1 through 9 into a square with 9 rows by 9 columns and subdivided 9 boxes, so that each digit appears once, and only once, in every row, column, and box. In the present paper, we investigated the basic properties of Sudoku in the general sense, and then make it a new design in field experiment. A necessary condition for constructing a Sudoku square is k = pq and p, q ≥ 2, where k = number of rows, columns, and boxes in a k × k square, p = number of box-rows (the row consists of boxes) and q = number of box-columns (the column consists of boxes). Therefore, only non-prime number k can construct a Sudoku square and the prime number k can not. Table 1 lists 15 Sudoku squares in the case of k ≤ 20. To design a Sudoku square, 4 steps are required as follows: (1) To write a k×k Sudoku square with restricted randomization , the procedure is to draw the random numbers of p or q sets each contains every number from 1 through k with no repeat, and then write down cyclically the first set numbers according to the order they appear into the first box-row or box-column, the second one into the second box-row or box-column, and so on and so forth. Note that any number must be shifted to the end of the series of random numbers if it has appeared in the column or row. (2) To randomize the order of box-rows and rows within each box-row. (3) To randomize the order of box-columns and columns within each box-column. (4) To assign randomly the k numbers to k treatments or k levels of a factor. Above mention indicates that a Sudoku square can layout k treatments with k replications and control 3-way (box, row, and column) soil-environment variations. The linear model of data from a Sudoku square design is Y i (ij)lm i j l m (ij)lm =μ ++ + τ β ργ ε + + ( , , , =1, 2, ... , ), j l m k where Y(ij)lm is an observed value of the plot in the lth row and mth column, subjected to the ith treatment and jth box; µ is the overall mean; τi, βj, ρl, and γm are the main effects to the ith treatment, jth box, lth row, and mth column, respectively, and they may be fixed or randomized; ε(ij)lm is random error and ε(ij)lm ~ N (0, 2 σ e ). Sudoku square can remove three sources of variation from experiment error. Accordingly, the mean of treatment should be more precise with smaller error than that in Latin square. Sudoku square design may be applied to multifactor experiments. The basic method is that the rows and/or columns may be substituted by experimental factors each consists of k levels, and hence the components ρl and γm in the model become main effects of the factors. In such design, many effects and interactions have been confounded each other, but the main effects are orthogonal and hence the estimate of one main effect is not influenced by the other main effects. 基金项目: 国家高技术研究发展计划(863 计划)项目(2006AA10Z1C3); 国家自然科学基金项目(30671298); 国家科技支撑计划项目(2006BAD02B04) 作者简介: 莫惠栋(1934–), 男, 浙江温岭人, 教授, 博士生导师, 研究方向: 生物统计学和数量遗传学。E-mail: mhd28993@yahoo.com.cn Received(收稿日期): 2008-04-02; Accepted(接受日期): 2008-06-14
1490 作物学报 第34卷 Keywords:Sudokusquare,Design and analysis,Field experiment 近年在亚、欧、美洲许多国家流行一种益智填 1.2构成数独方的必要条件 数游戏，称为“数独”(Sudoku)-。该词已作为 一个k×k方要能再分成k个区，就必须满足条 个热门新词人选美国2007年版的《韦氏大词典》)。 件k=pg而p或g如果为1，就退化为行或列，也 数独的一种最常见棹式是：在一个别分成9行.9 不能构成数独方中的区。所以，构成一个数独方的 列、9区(bx)共81小格的方中，填入适当的数字，使 必要条件是 每一行每列和每一区都含有数字1~9（不重复）。 k■pg(p,g≥2) (1) 图1就是一个植成的数种方其中知体字是口知数 在自然数中.所有质数.如2、3、5、7、11、 字，其余是玩家填入的数字。数独方的基本特征，如 13等，仅有因子1和其自身而所有非质数则除了】 果加以一般化，完全可能应用于田间试验，成为可 和其自身外，至少还能被另外一个≥2的因子整除。 从行、列、区三向控制土壤环境变异性的新设计。 因此.所有非质数的k都能构成数独方.有此还能 构成两种或更多种数独方：而质数的k都不可能构 成数独方。 6】8 1.3数独方中区的组成 792168543 区的组成是指区的大小和小区（试验单元）的面 1 2 643 752918 518349267 置方式，可用区所包含的行数×列数，即区行内的 451687329 行数×区列内的列数表示。例如3×3表示每区包含 425 3行3列，共9个小区，正方形（图），3×2表示每区 含3行2列.共6个小风。直长方形：2×3表示每凤 2 8 含2行3列，也是6个小区，但为横长方形（图2）。3 325896471 ×2和2×3，区的容量相同但小区配置方式不同。 图1一个9行、9列、9区（粗线国成）的数独方及共 2 行、列、区编码 as,and bose 1数独方的定义和性质 1.1数独方的基本概念 351 624 一个行×k列的方，再分成k个形状和面积相同 246513 的区，填入自然数1k若任一数字在每一行、每 图2，一个6,一3.一2的有限随机化数独方 列和每一区都出现1次，且仅出现1次，就称该方为 Fig.2 数独方。以试验设计用语则可表述为：个试验单 元（小区）分为k行、列和k区，使每行、每列和每☒ 由于k=p,故当数独方的区行数为p时，其每 都含有k个试验单元，可安排处理1-k。该设计就称 区行数一定是p=4,列数一定是g=P,又，在同 为数独方设计，它的每一处理都是k次重复。 k下，若P≠g,则p和q的互换即形成小区的不 为便于一般化措述，对数独方的行、列、区进 同配置方式。表1列出k≤20的15种数独方设计及 行编码。定义行序为从上而下记作1k列序为从左 其区的组成，供选择使用。 到右记作1-k并引入新词“区行”(bo 0w)和“区 2数独方的设计和分析 列”(box-column),区行是指由区组成的“行" 上而下记序为1严：区列是指由区组成的“列”，从 2.1设计 左到右记序为19。这样，k、P、9就成为数独方的 设计一个数独方需经4个步骤：(1)根据试验处 3个基本参数，例如，图1即具有k=9,p=q=3。 理数k和区行数p(这时q亦已被决定，因为k=Pq
1490 作 物 学 报 第 34 卷 Keywords: Sudoku square; Design and analysis; Field experiment 近年在亚、欧、美洲许多国家流行一种益智填 数游戏, 称为“数独”(Sudoku)[1-2]。该词已作为一 个热门新词入选美国 2007 年版的《韦氏大词典》[3]。 数独的一种最常见模式是：在一个划分成 9 行、9 列、9 区(box)共 81 小格的方中, 填入适当的数字, 使 每一行、每一列和每一区都含有数字 1~9(不重复)。 图 1 就是一个填成的数独方, 其中粗体字是已知数 字, 其余是玩家填入的数字。数独方的基本特征, 如 果加以一般化, 完全可能应用于田间试验, 成为可 从行、列、区三向控制土壤-环境变异性的新设计。 图 1 一个 9 行、9 列、9 区(粗线围成)的数独方及其 行、列、区编码 Fig. 1 A Sudoku square with 9 rows, 9 columns, and 9 boxes surrounded by thick lines, and the codes of the rows, columns, and boxes 1 数独方的定义和性质 1.1 数独方的基本概念 一个k行×k列的方, 再分成k个形状和面积相同 的区, 填入自然数 1~k; 若任一数字在每一行、每一 列和每一区都出现 1 次,且仅出现 1 次, 就称该方为 数独方。以试验设计用语则可表述为：k2 个试验单 元(小区)分为k行、k列和k区, 使每行、每列和每区 都含有k个试验单元, 可安排处理 1~k。该设计就称 为数独方设计, 它的每一处理都是k次重复。 为便于一般化描述, 对数独方的行、列、区进 行编码。定义行序为从上而下记作 1~k, 列序为从左 到右记作 1~k; 并引入新词“区行”(box-row)和“区 列”(box-column), 区行是指由区组成的“行”, 从 上而下记序为 1~p; 区列是指由区组成的“列”, 从 左到右记序为 1~q。这样, k、p、q 就成为数独方的 3 个基本参数, 例如, 图 1 即具有 k = 9, p = q =3。 1.2 构成数独方的必要条件 一个 k×k 方要能再分成 k 个区, 就必须满足条 件 k = pq; 而 p 或 q 如果为 1, 就退化为行或列, 也 不能构成数独方中的区。所以, 构成一个数独方的 必要条件是: k = pq (p, q ≥ 2) (1) 在自然数中, 所有质数, 如 2、3、5、7、11、 13 等, 仅有因子 1 和其自身; 而所有非质数则除了 1 和其自身外, 至少还能被另外一个≥2 的因子整除。 因此, 所有非质数的 k 都能构成数独方, 有些还能 构成两种或更多种数独方; 而质数的 k 都不可能构 成数独方。 1.3 数独方中区的组成 区的组成是指区的大小和小区(试验单元)的配 置方式, 可用区所包含的行数×列数, 即区行内的 行数×区列内的列数表示。例如 3×3 表示每区包含 3 行 3 列, 共 9 个小区, 正方形(图 1); 3×2 表示每区 含 3 行 2 列, 共 6 个小区, 直长方形; 2×3 表示每区 含 2 行 3 列, 也是 6 个小区, 但为横长方形(图 2)。3 ×2 和 2×3, 区的容量相同但小区配置方式不同。 图 2 一个 k=6, p=3, q=2 的有限随机化数独方 Fig. 2 A Sudoku square with restricted randomization in k=6, p=3, q=2 由于 k = pq, 故当数独方的区行数为 p 时, 其每 区行数一定是 k/p = q, 列数一定是 k/q = p; 又, 在同 一 k 下, 若 p≠q, 则 p 和 q 的互换即形成小区的不 同配置方式。表 1 列出 k≤20 的 15 种数独方设计及 其区的组成, 供选择使用。 2 数独方的设计和分析 2.1 设计 设计一个数独方需经 4 个步骤：(1)根据试验处 理数 k 和区行数 p (这时 q 亦已被决定, 因为 k = pq)
第9期 草惠体等：田间试验的一种新设计一数独方 1491 表1≤0的数独方设计及区的组成 化的数独方于图3，将6个试验处理随机编码为16， Table l Design of Sudoku squares in k=20 and the 此数独方设计即告完成。 box composition 设计参数Design para 区的组成（行数×列数） 315462 2 6 2×3 3×2 642 135 2×4 4×2 13 3×3 53 1 624 2x5 3× 6 3 2×6 6×2 3×7 7x2 例2设k=12,p=3,g=4,写出一个有限随机 5 3x5 5x3 化的数独方。以随机数列8、10、5、2、12、9、6 6 1、4、11、3、7循环写出区行1，以随机数列7、5 8 2×8 8x2 12、8、1、3、9、10、6、4、11、2循环写出区行2（在 3×6 6×3 第5行上，当写至第4列时上方已有“8”，故“8” 9 2×9 9x2 被移至数列末而填“1”：当写至第5列时上方已有 4×5 “3”故“3”又被移至数列未而植“9”·依出举 20 10 2×10 10×2 推。这样，依次被移到数列末尾的随机数共有8：3；6 ·由p和g互换得到。·Obtained from p and exchange. 8)以随机数列5、7、3、10、8、9、12、4、6、1、 抽取D组各含随机数1-k(不重复)的数列，用每一组 11、2循环写出区行3（依次移至数列末的随机数有9、 随机数数列循环地写出 个区行。在用第1组随机 12、4,1、11、2,1211、2,11)。由此得到图4的结 数写第1区行时，都可以按随机数的出现顺序依次 直接录入：但用第2组及以后各组随机数写第2及 以后各区行时，就可能遇到某随机数与列上已写入 29 的数字相同.这时必须将该随机数移至随机数列的 113802120614 末尾.延后再写。这样就得到一一个有限随机化的k 751219104112368 行、k列、k区的数独方。如果g<P,则可以抽取g 191041123687512 组随机数，用每组数列写出 个区列，方法类同 411 68 5121910 但较为简便。(2)以有限随机化数独方为基础，随机 3 910411 排列区行和区行内的行(3)随机排列区列和区列内 41■1221 的列：(4)将k个处理随机编码为1k,设计完成。 上述(2(4)的随机化与通常设计，特别是与拉 122115731086941 丁方设计的随机化4相似，()侧是数独方设计所特 有的，下面用例子详加说明。 Fig.4 A Sudoku squar 有限机化方上 例1设k=6,p=3,q=2,抽取g■2组16 estrictr 的随机数为5.4,1,6,3,2：2.1,4,3,65。将其直接 2.2 分析 写入第1、第2区列，即得到有限随机化的数独方 数独方设计试验结果的线性数学模型为 图2。此例在写第2区列时.没有碰到与第一区列相 Y7g=μ+tn+B1+p+ym+so(G,,1,m=l,2,…,k)(2) 同的数字。 式中，Y为第行第m列的小区观察值，属于第处 设以随机数3、2、1作区行随机化，2、L,1、2 理第区；为总平均数：、B、p,和依次为第处理 1、2作区行内的行随机化：1、2作区列随机化，1、3、 第区、第行和第m列的主效应，可以是周定或随机 2,2、3、1作区列内的列随机化（图2），则得到随机 的【固定模型时具有限制∑=∑B
第 9 期 莫惠栋等: 田间试验的一种新设计——数独方 1491 表 1 k≤20 的数独方设计及区的组成 Table 1 Design of Sudoku squares in k≤20 and the box composition 设计参数 Design parameters k p q 区的组成(行数×列数) Box composition (rows× columns) 4 2 2 2×2 6 3 2 2×3 3×2* 8 4 2 2×4 4×2* 9 3 3 3×3 10 5 2 2×5 5×2* 12 4 3 3×4 4×3* 12 6 2 2×6 6×2* 14 7 2 2×7 7×2* 15 5 3 3×5 5×3* 16 4 4 4×4 16 8 2 2×8 8×2* 18 6 3 3×6 6×3* 18 9 2 2×9 9×2* 20 5 4 4×5 5×4* 20 10 2 2×10 10×2* * 由p和q互换得到。* Obtained from p and q exchange. 抽取 p 组各含随机数 1~k (不重复)的数列, 用每一组 随机数数列循环地写出一个区行。在用第 1 组随机 数写第 1 区行时, 都可以按随机数的出现顺序依次 直接录入; 但用第 2 组及以后各组随机数写第 2 及 以后各区行时, 就可能遇到某随机数与列上已写入 的数字相同, 这时必须将该随机数移至随机数列的 末尾, 延后再写。这样就得到一个有限随机化的 k 行、k 列、k 区的数独方。如果 q < p, 则可以抽取 q 组随机数, 用每组数列写出一个区列, 方法类同, 但较为简便。(2)以有限随机化数独方为基础, 随机 排列区行和区行内的行; (3)随机排列区列和区列内 的列; (4)将 k 个处理随机编码为 1~k, 设计完成。 上述(2)~(4)的随机化与通常设计, 特别是与拉 丁方设计的随机化[4-5]相似, (1)则是数独方设计所特 有的, 下面用例子详加说明。 例 1 设 k = 6, p = 3, q = 2, 抽取 q = 2 组 1~6 的随机数为 5, 4, 1, 6, 3, 2; 2, 1, 4, 3, 6, 5。将其直接 写入第 1、第 2 区列, 即得到有限随机化的数独方于 图 2。此例在写第 2 区列时, 没有碰到与第一区列相 同的数字。 设以随机数 3、2、1 作区行随机化, 2、1, 1、2, 1、2 作区行内的行随机化; 1、2 作区列随机化, 1、3、 2, 2、3、1 作区列内的列随机化(图 2), 则得到随机 化的数独方于图 3。将 6 个试验处理随机编码为 1~6, 此数独方设计即告完成。 3 1 5 4 6 2 2 6 4 3 5 1 1 5 3 2 4 6 6 4 2 1 3 5 4 2 6 5 1 3 5 3 1 6 2 4 图 3 一个 k = 6, p = 3, q = 2 的数独方设计 Fig. 3 A Sudoku square design in k = 6, p = 3, q = 2 例 2 设 k = 12, p = 3, q = 4, 写出一个有限随机 化的数独方。以随机数列 8、10、5、2、12、9、6、 1、4、11、3、7 循环写出区行 1; 以随机数列 7、5、 12、8、1、3、9、10、6、4、11、2 循环写出区行 2(在 第 5 行上, 当写至第 4 列时上方已有“8”, 故“8” 被移至数列末而填“1”; 当写至第 5 列时上方已有 “3”, 故“3”又被移至数列末而填“9”; 依此类 推。这样, 依次被移到数列末尾的随机数共有 8; 3; 6; 8); 以随机数列 5、7、3、10、8、9、12、4、6、1、 11、2 循环写出区行 3(依次移至数列末的随机数有 9、 12、4; 1、11、2; 12; 11、2; 11)。由此得到图 4 的结 果。 图 4 一个 k = 12, p = 3, q = 4 的有限随机化数独方 Fig. 4 A Sudoku square with restricted randomization in k = 12, p = 3, q = 4 2.2 分析 数独方设计试验结果的线性数学模型为: Y i (ij)lm i j l m (ij)lm =μτ β ργ ε ++ + + + ( , , , =1, 2, ... , ) j l m k (2) 式中, Y(ij)lm为第l行第m列的小区观察值, 属于第i处 理第j区; µ为总平均数; τi、βj、ρl和γm依次为第i处理、 第j区、第l行和第m列的主效应, 可以是固定或随机 的 [ 固定模型时具有限制 1 1 k k i j ∑ ∑ τ β = =
492 作物学报 第34羟 ∑∑ym=0,随机模型时，假定、B、和依 当F=MS/S为显著时，处理平均数的标准误 次分别遵循N(O,)、N(O,G、NOa)和N(O, 、和处理平均数差数的标准误S,为： o小：G为随机误差，遵循N(O,o)。根据这一模 Sy=MS,Ik 型，数独方试验资料的方差分析列于表2。 S-=2MS.1k 多 表2中各SS的定义为 2.3优缺点 8,=221k-T1 与拉丁方设计56相比，数独方设计增添了一项 区效应B。即可以将区间变异从试验误差中分离出 S,=∑1k-(T1k 来。因而可期望，数独方应用于田间试验，将比拉丁 (3) 方更能控制土壤环境变异，从而使处理平均数间的 S,=2k-T1 比较更为精确。在具有团块状变异的试验地上做较 8.=k-T1 为精密的试验，数独方设计将特别值得推荐。 但是数种方设计也存在缺占。除了与拉丁方 Ss,-Σ石h-T1k 设计共有的缺点（如试验地要方整、处理数不宜太多 或太少等)外，还有另外一个限制，即质数的k能够 、各区、各行 构成拉丁方，却不能构成数独方。所以数独方只能 各列和全试验的总和数。 是某些情况下的一种备择设计。 doku square design 变异来源 EMS oure of variation 固定Fixed 随机Randomized 处理Treatments K-1 55 S a+k∑1k-1 :+ka: 区Boxes MS, a+∑1k-l 行Row k-1 SS, a2+k∑1k-1 a2+ka 列Columns k-1 S a2+k>21k-1 o:+ka2 误差Error -1-3) s 总Total , 3数独方设计应用于多因素试验 任何部分实施的试验，都会带来效应间、互作 数独方设计亦可应用于多因素试验，其基本方 间、效应和互作间的混杂6刀。但在数独方设计中，原 法是.在原试哈处理因素(k水平)的基出上再在行 试验因素的每一处理（每一水平）与任一区、任一行和 向和/域列向分别排入各具k水平的新试验因素R利 任一列都是相遇1次，且仅相遇1次。因此处理与 C。这实际上是(3个试验因素各有k个水平的缩写) 区、与行、与列都是正交的.行与列也是正交的御 试验的1实施6，但各试验因素每一水平的重复次 这就保证了原试验因素与添加试验因素的主效应者 数都仍为k。 不会彼此混杂.亦即任一因素的主效应都不受其余 例3设图2的1~6是研究6种氨素水平对付玉 因素主效应的影响。因此，在暂不考虑因素间的互 米产量效应的设计如果我们在行向按消机数字3 作时，此种设计仍可以放心应用。 2、1、6、4、5排人6种磷素水平，在列向按随机发 这一设计各试验因素每一水平的重复次数仍的 字3、1、5、4、6、2排人6种钾素水平，即成为数 为k,故试验结果的分析可直接应用表2和公式(2) 独方设计的、磷、钾3个试哈因素各6水平的试 (4),仅需将“行”和“列”分别换成试验因素R和 验（图3）。它是6试验的16实施，因为3因素各6 C即可。不过应该注意到，行间、列间的变异（如果 水平可构成6×6×6=216个处理组合，而现在只有 存在的话)已与试验因素R和C相混杂.故R和C的 62=36个处理组合。 试验精确度可能会比原试哈因素差
1492 作 物 学 报 第 34 卷 1 1 0 k k ∑ ∑ρ γ l m = , 随机模型时, 假定τi、βj、ρl和γm依 次分别遵循N (0, 2 σ t )、N (0, 2 σ b )、N (0, 2 σ r )和N (0, 2 σ c )]; ε(ij)lm为随机误差, 遵循N (0, 2 σ e )。根据这一模 型, 数独方试验资料的方差分析列于表 2。 表 2 中各 SS 的定义为: 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 ( ) 1 / (/) / (/) / (/) / (/) (/) k t t k b b k r r k c c k T ij lm e Ttbrc SS T k T k SS T k T k SS T k T k SS T k T k SS Y T k SS SS SS SS SS SS ⎫ = − ⎪ ⎪ ⎪ = − ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = − ⎪ ⎬ ⎪ = − ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = − ⎪ ⎪ = −− −− ⎪ ⎭ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ (3) 式中, Tt、Tb、Tr、Tc和T依次为各处理、各区、各行、 各列和全试验的总和数。 当F= MSt/MSe为显著时, 处理平均数的标准误 y S 和处理平均数差数的标准误 y y i i S − ′ 为： / 2 / i i y e yy e S MS k S MS − ′ = = k (4) 2.3 优缺点 与拉丁方设计[5-6]相比, 数独方设计增添了一项 区效应βj, 即可以将区间变异从试验误差中分离出 来。因而可期望, 数独方应用于田间试验, 将比拉丁 方更能控制土壤环境变异, 从而使处理平均数间的 比较更为精确。在具有团块状变异的试验地上做较 为精密的试验, 数独方设计将特别值得推荐。 但是, 数独方设计也存在缺点。除了与拉丁方 设计共有的缺点(如试验地要方整、处理数不宜太多 或太少等)外, 还有另外一个限制, 即质数的 k 能够 构成拉丁方, 却不能构成数独方。所以数独方只能 是某些情况下的一种备择设计。 表 2 k×k 数独方试验资料的方差分析 Table 2 ANOVA for the experimental data from a k×k Sudoku square design 变异来源 EMS Source of variation df SS MS 固定 Fixed 随机 Randomized 处理 Treatments K−1 SSt MSt 2 2 / 1 e i σ τ + k k ∑ − 2 2 e t σ + kσ 区 Boxes k−1 SSb MSb 2 2 / 1 e j σ β + k k ∑ − 2 2 e b σ + kσ 行 Rows k−1 SSr MSr 2 2 / 1 e l σ ρ + k k ∑ − 2 2 e r σ + kσ 列 Columns k−1 SSc MSc 2 2 / 1 e m σ γ + k k ∑ − 2 2 e c σ + kσ 误差 Error (k−1)(k−3) SSe MSe 2 σ e 2 σ e 总 Total k2 −1 SST 3 数独方设计应用于多因素试验 数独方设计亦可应用于多因素试验, 其基本方 法是：在原试验处理因素(k 水平)的基础上, 再在行 向和/或列向分别排入各具k水平的新试验因素R和 C。这实际上是k3 (3 个试验因素各有k个水平的缩写) 试验的 1/k实施[6], 但各试验因素每一水平的重复次 数都仍为k。 例 3 设图 2 的 1~6 是研究 6 种氮素水平对玉 米产量效应的设计, 如果我们在行向按随机数字 3、 2、1、6、4、5 排入 6 种磷素水平, 在列向按随机数 字 3、1、5、4、6、2 排入 6 种钾素水平, 即成为数 独方设计的氮、磷、钾 3 个试验因素各 6 水平的试 验(图 3)。它是 63 试验的 1/6 实施, 因为 3 因素各 6 水平可构成 6×6×6=216 个处理组合, 而现在只有 62 =36 个处理组合。 任何部分实施的试验, 都会带来效应间、互作 间、效应和互作间的混杂[6-7]。但在数独方设计中, 原 试验因素的每一处理(每一水平)与任一区、任一行和 任一列都是相遇 1 次, 且仅相遇 1 次。因此处理与 区、与行、与列都是正交的, 行与列也是正交的[8]。 这就保证了原试验因素与添加试验因素的主效应都 不会彼此混杂, 亦即任一因素的主效应都不受其余 因素主效应的影响[7]。因此, 在暂不考虑因素间的互 作时, 此种设计仍可以放心应用。 这一设计各试验因素每一水平的重复次数仍均 为 k, 故试验结果的分析可直接应用表 2 和公式(2)~ (4), 仅需将“行”和“列”分别换成试验因素 R 和 C 即可。不过应该注意到, 行间、列间的变异(如果 存在的话)已与试验因素 R 和 C 相混杂, 故 R 和 C 的 试验精确度可能会比原试验因素差
第9期 草惠陈等：田间试验的一种新设计一数独方 1493 这一设计的一种变型是在行向和/或列向也可 解因子平方和的公式完全相同，不赘述。 各排人2个试验因素。行向可有试验因素P,具P References 水平，随机排入p个区行；试验因素2，具q水平， 随机排入每一区行内的？个行。列向可有试验因素 1]DingY)Chinese players firstly attend the nd Sudoku competition.Xinmin Evening Paper (American edn)( Q,具g水平，随机排入q个区列：试验因素索P',具 民晚报-美国版)，2007-04-01(A14(in Chinese)】 p'水平，随机排入每一区列内的p个列(pp,g [2]Taylor A M ed.Dell Maximum Sudoku,Vol 5.New York:Dell 9)。在此情况下，P因素和P·因素每一水平的重复 Magazincs,2007.pp 3-4 次数均为gk,Q因素和Q'因素每水平的重复次数均 []Xinhua News Agency(新华社).100 new and popular words are 为pk,而原处理因素的重复次数则仍为k。 supplemented to Webster's Dictionary (2007 edn).Xinmin Evening Paper(American edn)(商民晚报美国版，2007-07-l2 例4设图4的数独方将用于12个大麦品系的 (A19)(in Chinese) 产量比较试验。可在区行随机排入p=3水平的播种 [4]Litle TM.Hills FJ.Agricultural Experimentation.New York: 期因素，在区行内的行随机排人q=4水平的播种量 John Wiley Sons.1978.pp77-82 5]Petersen R G Design and Analysis of Experiments.New York 因素：在区列随机排入a‘=4的施把期因素在风列 Marcel Dekker.1985.pD48-70.203-228 内的列随机排人D'=3的施肥量因素。 [6]Montgomery D C.Design and Analysis of Experiments.6th edn 这一设计有5个试验因素，但主效应仍保持正 New York:John Wiley Sons.2005.pp 1-21.136-142 交，可以帮助了解供试品系对播种、施肥时期和数 [7]Lorenzen TJ,Anderson V L.Design of Experiments:A No-na 量的响应。在分析时，原变异来源“行”的=k- Approach.New York:Marcel Dekker,1993.pp298-300. 379406 将被再分解为d=p-1,d=g-1和do=(p-1) [8]Wang J C.Wu C F J.An approach to the construction of asym (g-片“列”的d=k-l,也将被再分解为d=p-l mctrical othogonal arraysJAm Stat Assoc 1991 86:450-456 do=g-1和do=p-1)(g-1)。SS也要做相应的 [9MoH.D(莫惠栋).Agricultural Experimentation(农业试验设 )2nd edn.Shanghai:Shanghai Scientific and Technical Pub 分解，其公式与二因素试验或二裂式裂区试验中分 lishers,1992.pp207-224,246-254(in Chinese) 欢迎订阅2009年《作物学报》 《作物学报》是中国科学技术协会主管、中国作物学会和中国农业科学院作物科学研究所共同主办、科 学出版社出版的有关作物科学的全国性学术期刊，前身可追溯到1919年1月中华农学会创办的《中华农学 会丛刊》。主要刊登农作物遗传育种、耕作栽培、生理生化、生态、种质资源、谷物化学、贮藏加工以及与 农作物有关的生物技术、生物数学、生物物理、农业气象等领域以第一手资料撰写的学术论文、研究报告 简报以及专题综述、评述等。读者对象是从事农作物科学研究的科技工作者、大专院校师生和具有同等水 平的专业人士 《作物学报》从1999年起连续8年获“国家自然科学基金重点学术期刊专项基金”的资助.2006一2008 年连续3年获“中国科协精品科技期刊工程项目(B类)”资助。从2002年起连续6年被中国科技信息研究 所授予“百种中国杰出学术期刊”称号。2005年获“第三届国家期刊奖提名奖”。据北京大学图书馆编著的 《中文核心期刊要目总览(2008年版)》登载，《作物学报》被列在“农学、农作物类核心期刊表”的首位。 《作物学报》为月刊，2009年192页/期，定价：50元/册，全年600元。可通过全国各地邮局订阅，刊号： ISSN0496-3490,CN11-1809S,邮发代号 82-336。也可向编辑部直接订购。 编辑部地址：北京市海淀区中关村南大街12号中国农科院作物所《作物学报》编辑部（邯编100081） 联系电i话：010-82108548：传直：010-82105793：E-mail:xbzw@chinaiournal net cn 网址：htp:www.chinacrops,org/zwxb/(向读者免费提供最新录用、下期、当期及过刊全文，有在线投稿 在线审稿、在线查询等功能。)
第 9 期 莫惠栋等: 田间试验的一种新设计——数独方 1493 这一设计的一种变型是在行向和/或列向也可 各排入 2 个试验因素。行向可有试验因素 P, 具 p 水平, 随机排入 p 个区行; 试验因素 Q, 具 q 水平, 随机排入每一区行内的 q 个行。列向可有试验因素 Q′, 具 q′水平, 随机排入 q 个区列; 试验因素 P′, 具 p′ 水平, 随机排入每一区列内的 p 个列(p=p′, q= q′)。在此情况下, P 因素和 P′ 因素每一水平的重复 次数均为 qk, Q 因素和 Q′ 因素每水平的重复次数均 为 pk, 而原处理因素的重复次数则仍为 k。 例 4 设图 4 的数独方将用于 12 个大麦品系的 产量比较试验。可在区行随机排入 p=3 水平的播种 期因素, 在区行内的行随机排入 q=4 水平的播种量 因素; 在区列随机排入 =4 的施肥期因素, 在区列 内的列随机排入 p′ =3 的施肥量因素。 q′ 这一设计有 5 个试验因素, 但主效应仍保持正 交, 可以帮助了解供试品系对播种、施肥时期和数 量的响应。在分析时, 原变异来源“行”的df = k−1 将被再分解为dfP = p−1, dfQ = q−1 和dfP×Q = (p−1) (q−1); “列”的df = k−1, 也将被再分解为 = p−1, = q−1 和 P df ′ Q df ′ P Q df ′ ′ × = (p−1) (q−1)。SS也要做相应的 分解, 其公式与二因素试验或二裂式裂区试验中分 解因子平方和的公式[9]完全相同, 不赘述。 References [1] Ding Y(丁宜). Chinese players firstly attend the 2nd international Sudoku competition. Xinmin Evening Paper (American edn) (新 民晚报·美国版), 2007-04-01 (A14)(in Chinese) [2] Taylor A M ed. Dell Maximum Sudoku, Vol 5. New York: Dell Magazines, 2007. pp 3–4 [3] Xinhua News Agency (新华社). 100 new and popular words are supplemented to Webster’s Dictionary (2007 edn). Xinmin Evening Paper (American edn) (新民晚报·美国版), 2007-07-12 (A19) (in Chinese) [4] Little T M, Hills F J. Agricultural Experimentation. New York: John Wiley & Sons, 1978. pp 77–82 [5] Petersen R G. Design and Analysis of Experiments. New York: Marcel Dekker, 1985, pp 48–70, 203–228 [6] Montgomery D C. Design and Analysis of Experiments, 6th edn. New York: John Wiley & Sons, 2005. pp 1–21, 136–142 [7] Lorenzen T J, Anderson V L. Design of Experiments: A No-name Approach. New York: Marcel Dekker, 1993. pp 298–300, 379–406 [8] Wang J C, Wu C F J. An approach to the construction of asymmetrical othogonal arrays. J Am Stat Assoc, 1991, 86: 450–456 [9] Mo H-D (莫惠栋). Agricultural Experimentation (农业试验设 计), 2nd edn. Shanghai: Shanghai Scientific and Technical Publishers, 1992. pp 207–224, 246–254 (in Chinese) ˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇ ˇˆˇˆˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇˆˇ 欢迎订阅 2009 年《作物学报》 《作物学报》是中国科学技术协会主管、中国作物学会和中国农业科学院作物科学研究所共同主办、科 学出版社出版的有关作物科学的全国性学术期刊, 前身可追溯到 1919 年 1 月中华农学会创办的《中华农学 会丛刊》。主要刊登农作物遗传育种、耕作栽培、生理生化、生态、种质资源、谷物化学、贮藏加工以及与 农作物有关的生物技术、生物数学、生物物理、农业气象等领域以第一手资料撰写的学术论文、研究报告、 简报以及专题综述、评述等。读者对象是从事农作物科学研究的科技工作者、大专院校师生和具有同等水 平的专业人士。 《作物学报》从 1999 年起连续 8 年获“国家自然科学基金重点学术期刊专项基金”的资助, 2006—2008 年连续 3 年获“中国科协精品科技期刊工程项目(B 类)”资助。从 2002 年起连续 6 年被中国科技信息研究 所授予“百种中国杰出学术期刊”称号。2005 年获“第三届国家期刊奖提名奖”。据北京大学图书馆编著的 《中文核心期刊要目总览(2008 年版)》登载, 《作物学报》被列在“农学、农作物类核心期刊表”的首位。 《作物学报》为月刊, 2009 年 192 页/期, 定价：50 元/册, 全年 600 元。可通过全国各地邮局订阅, 刊号： ISSN 0496-3490, CN 11-1809/S, 邮发代号：82-336。也可向编辑部直接订购。 编辑部地址：北京市海淀区中关村南大街 12 号 中国农科院作物所 《作物学报》编辑部(邮编 100081) 联系电话：010-82108548；传真：010-82105793；E-mail：xbzw@chinajournal.net.cn 网址：http://www.chinacrops.org/zwxb/(向读者免费提供最新录用、下期、当期及过刊全文, 有在线投稿、 在线审稿、在线查询等功能。)
