第20卷第3期 四川农业大学学报 Vol.20 No.3 2002年9月 Journal of Sichuan Agricultural University Sep.2002 3×3交叉试验结果分析的最小二乘法 明道绪，刘永建 (四川农业大学数量遗传研究室，四川雅安625014) 摘要：提出了3个处理、3个时期交叉设计试验结果分析的最小二乘法。在将试验个体分为6组时，不要求6组个 体数相同。 关键词：3×3交叉设计：结果分析；最小二乘法 中图分类号：S11 文献标识码：A 文章编号：1000-2650(2002)03-0216-05 交叉设计(Cross-over design),亦称交变试验 表13×3交叉试验结果 (Change-over experiment)适用于来源较困难、个体 Table1 Experimental result of 3×3 cross-over design 差异较大的动物（牛、猴等）或人类医学、心理学等试 时期(Stage) C C2 C3 d=C1-2G2+C3 验。该设计方法可以消除个体差异、试验时期差异 处理 (Treatment) Ai A2 Ai dir 对试验结果的影响，用较少的试验个体达到较高的 B X111 X212 X113 diu 精确度。本文在分析了3个处理、3个时期的交叉 B1组 (Group B12 X121 X222 X123 d12 设计（简记为3×3交叉设计）试验结果数据结构式 B1) : BIr Xirl X22 X1r3 dir 的特点后，提出了3×3交叉试验结果分析的最小二 处理 乘法(3×2交叉试验结果分析的最小二乘法作者已 (Treatment) A2 AI A2 dzis 在另文阐述)。该法在将试验个体分为6组时，不要 B2组 B21 X211 X112 X213 d2 B22 X122 X223 d22 求6组的个体数相同。 (Group X221 B2) : B2s X2sl X1s2 X23 d2s 13×3交叉试验结果分析的最小二乘法 处理 (Treatment) Ai A3 Ai dis 设试验有3个处理：A1、A2、A3,3个时期：C1、 B3组 B31 X312 X113 di C2、C3。在交叉设计中，1个试验个体只接受其中的 (Group B32 X121 X322 X123 d32 B3) 两个处理。如果把试验个体在C1、C2C33个时期 B3t Xid X312 XI3 d3t 接受的两个处理所有可能的顺序表示出来，则共有 处理 (Treatment) A3 Ai A3 di 以下6种： B组 B41 X311 X112 X313 d41 A1-A2-A1,A2-A1-A2,A1-A3-A1 (Group B42 X321 X122 X323 d42 B4) : : : A3-A1-A3,A2-A3-A2,A3-A2-A3 Biu X3ul X1 X3u3 d4u 所以，至少要有6个试验个体参与试验。将参与试 处理 (Treatment) A2 A3 A2 dsis 验的个体分为6组，B1组包含r个个体(r≥1)：B、 B组 B5I X211 X312 X213 dsi B12,…,B1:B2组包含s个个体(s≥1)：B21,B22,…, (Group B52 X221 X322 X223 d52 : : B2:B3组包含t个个体(t≥1)：B51,B32,,B3t:B4 B5) Bv X2vl X3v2 X2v3 d5v 组包含u个个体(u≥1)：B41,B42,,B4u:B5组包含 处理 (Treatment) A3 A2 A3 deis v个个体(v≥1)：B51,B52,…,B5:B6组包含w个个 B组 B61 X311 X212 X313 d61 体(w≥1)：B61,B62,…,B6w。这6组试验个体在C1、 (Group B62 X321 X222 X323 d C2、C33个时期分别按上述6种顺序实施处理，试验 B6) Bow X3wl X2w2 X3w3 dow 结果见表1。 假设处理因素、时期、个体间交互作用可以忽 收稿日期：2002-01-04 数据 基金项目：四省科技厅应用基础研究项目
!"!交叉试验结果分析的最小二乘法! 明道绪，刘永建 （四川农业大学 数量遗传研究室，四川 雅安 #$%&’(） 摘要：提出了!个处理、!个时期交叉设计试验结果分析的最小二乘法。在将试验个体分为#组时，不要求#组个 体数相同。 关键词：!"!交叉设计；结果分析；最小二乘法 中图分类号：)’’ 文献标识码：* 文章编号：’&&&+$#%&（$&&$）&!+&$’#+&% 交叉设计（,-.//0.12-32/456），亦称交变试验 （,786520.12-29:2-4;26个个体（>"’）：=(’，=($，…，=(>；=% 组包含 1个个体（1"’）：=%’，=%$，…，=%1；=# 组包含 ?个个 体（?"’）：=#’，=#$，…，=#?。这#组试验个体在,’、 ,$、,!!个时期分别按上述#种顺序实施处理，试验 结果见表’。 表’ !"!交叉试验结果 @8AB2’ C9:2-4;26B: =’） =’’ =’$ # =’- 9’’’ 9’$’ # 9’-’ 9$’$ 9$$$ # 9$-$ 9’’! 9’$! # 9’-! 3’’ 3’$ # 3’- 处理 （@-28: =$） =$’ =$$ # =$/ 9$’’ 9$$’ # 9$/’ 9’’$ 9’$$ # 9’/$ 9$’! 9$$! # 9$/! 3$’ 3$$ # 3$/ 处理 （@-28: =!） =!’ =!$ # =!: =(） =(’ =($ # =(> 9!’’ 9!$’ # 9!>’ 9’’$ 9’$$ # 9’>$ 9!’! 9!$! # 9!>! 3(’ 3($ # 3(> 处理 （@-28: =%） =%’ =%$ # =%1 9$’’ 9$$’ # 9$1’ 9!’$ 9!$$ # 9!1$ 9$’! 9$$! # 9$1! 3%’ 3%$ # 3%1 处理 （@-28: =#） =#’ =#$ # =#? 9!’’ 9!$’ # 9!?’ 9$’$ 9$$$ # 9$?$ 9!’! 9!$! # 9!?! 3#’ 3#$ # 3#? 假设处理因素、时期、个体间交互作用可以忽 第$&卷 第!期 $&&$年J月 四川农业大学学报 K.>-68B.D)4E7>86*5-4E>B<>-8BL6412-/4<M N.BO$&P.O! )2:O$&&$ !收稿日期：$&&$+&’+&( 基金项万方数据 目：四川省科技厅应用基础研究项目
190 四川农业大学学报 第20卷 略，则表1中的数据有如下结构式： （Y1-2Y2+Y3)+(e2,1-2e2+e23), x,=+a1+月，D+Y+e, j2=1,2,…,s: x22=+a2+月0+2+e22y d3,=x1,1-2x3,2+xy,3=2(a1-a3）+ xp=+e1+月++ep （1-22+Y3)+(e1,1-2e32+e5), j1=12,…r j3=1,2,…,t: r2g=u+a2+月，2+X1te2g d4.=t3,l-2x2+x33=2(a3-a1)+ 2=+a1+月，2》+72+eg2 （Y1-2Y2+Y3)+(e31-2e,2+e33), x2,=+a2+月，2+Y+e2,3 j4=1,2,…,u:(2) j2=1,2,…,s d5,=x2,1-2x3,2+x2,3=2a2-a3） x=μ+a1+月，3+Y1+e, (y1-2y2+Y3)+(e2,1-2e,2+e2,3） x2=+a3+月，3》+2+e32 j5=1,2,…,v: x厚=+a1+月，)+3+e, d6.=I3w1-2x2,2+x3=2(a3-a2)+ j3=1,2,…,t:(1) (Y1-2Y2+Y3)+(e。1-2e2,2+e3.3） x31=μ+a3+月，+Y1+e, j6=12,…,0. xw2=g+a+月.w+2+ew2 若令y=1-22+Y3:e,=e,1-2e2,2 1,3e22=221-2e,2+e223e3,=e,1-2e3,2 x3=μ+a3+月，4+Y3+e3 +e,3:e4.=.1-2e1,2+e3,35,=2, j4=1,2,…,u 2e3,2+e2,3e6,=e3.1-2e2,2+e3,6:则（2)可改 x2,l=+a2+月，5+1+e2, 写为： x3,2=μ+a3+月，5+Y2+e,2 d,=y+2a1-2a2te,'j1=1,2,r x2g=+a2+月，59+为+e2,3” d4,=y-2a1+2a2teg'2=1,2,s: j5=1,2,…,0时 d,=y+2a1-2a3+ey'j3=1,2,,t: xw=+a+月.+Y+e d4,=y-2a1+2a3+e,'j4=1,2,…,u:(3) x2w2=r+a2+月o+2+e22 d4,=y+2a2-2a3+e,'js=1,2,…: xw=r+a+月o+为+e3 d6。=y-2a2+2a3+e6,'j6=l,2,…,w. j6-1,2,…,w. 根据d的数据结构式(3)，利用最小二乘 其中：u为总平均数：a1小a2a3为处理A1A2A的 法2-4，可求出7、a1a2a3:求出SSAdfASS.df 效应：月.1j1=1,2,…,r),月，2(j2=1,2,…,s), 进行F检验：若F检验显著，还可进行3个处理效 月3j3=1,2,…,t),月4(j4=1,2,…,u),月.5 应估计值a1、a2、a3差异显著性检验。注意，此时不 (j5=1,2,…,),86(j6=1,2,…,世)分别表示6 仅能求出7，即时期效应Y1Y2Y3的线性比较： 个组中各个试验个体的效应：12Y⅓为时期C 一2Y2+Y3的估计值，还能对7的显著性进行检验。 C2C的效应：e是相互独立、且都服从N(0,子)的2实例 随机变量。于是，可得出： 研究3种饲料A、A2、A3对奶牛产奶量的影 d,=,1-2x22+x,3=2a1-a2)+ 响，试哈分3个时期，采用3×3交叉设计。选用条 (1-2Y2+Y3)+(e1-2e22+e3), 件相近的奶牛12头，分为6组，每组2头，试验结果 j1=1,2,…,r 见表2。试检验3种饲料奶牛平均日产奶量差异是 d2,为教据2x,2+x23=2(a2-a1)+ 否显著
略，则表!中的数据有如下结构式： !!"! !"!#"!##"! （!） #$!#%!"! !， !$"! $"!#"$##"! （!） #$$#%$"! $， !!"! %"!#"!##"! （!） #$%#%!"! %， "!"!，$，…，#； !$"$ !"!#"$##"$ （$） #$!#%$"$ !， !!"$ $"!#"!##"$ （$） #$$#%!"$ $， !$"$ %"!#"$##"$ （$） #$%#%$"$ %， "$"!，$，…，$； !!"% !"!#"!##"% （%） #$!#%!"% !， !%"% $"!#"%##"% （%） #$$#%%"% $， !!"% %"!#"!##"% （%） #$%#%!"% %， "%"!，$，…，%；（!） !%"& !"!#"%##"& （&） #$!#%%"& !， !!"& $"!#"!##"& （&） #$$#%!"& $， !%"& %"!#"%##"& （&） #$%#%%"& %， "&"!，$，…，&； !$"’ !"!#"$##"’ （’） #$!#%$"’ !， !%"’ $"!#"%##"’ （’） #$$#%%"’ $， !$"’ %"!#"$##"’ （’） #$%#%$"’ %， "’"!，$，…，’； !%"( !"!#"%##"( （(） #$!#%%"( !， !$"( $"!#"$##"( （(） #$$#%$"( $， !%"( %"!#"%##"( （(） #$%#%%"( %， "("!，$，…，() 其中：!为总平均数；"!、"$、"%为处理)!、)$、)%的 效应；#"! （!（） "!"!，$，…，#），#"$ （$（） "$"!，$，…，$）， #"% （%（） "%"!，$，…，%），#"& （&（）"&"!，$，…，&），#"’ （’） （"’"!，$，…，’），#"( （(（） "("!，$，…，(）分别表示( 个组中各个试验个体的效应；$!、$$、$% 为时期*!、 *$、*%的效应；%*"+ ,是相互独立、且都服从 +（,，!$）的 随机变量。于是，可得出： -!"!"!!"! !-$!$"! $#!!"! %"$（"!-"$）# （$!-$$$#$%）#（%!"! !-$%$"! $#%!"! %）， "!"!，$，…，#； -$"$"!$"$ !-$!!"$ $#!$"$ %"$（"$-"!）# （$!-$$$#$%）#（%$"$ !-$%!"$ $#%$"$ %）， "$"!，$，…，$； -%"%"!!"% !-$!%"% $#!!"% %"$（"!-"%）# （$!-$$$#$%）#（%!"% !-$%%"% $#%!"% %）， "%"!，$，…，%； -&"&"!%"& !-$!!"& $#!%"& %"$（"%-"!）# （$!-$$$#$%）#（%%"& !-$%!"& $#%%"& %）， "&"!，$，…，&；（$） -’"’"!$"’ !-$!%"’ $#!$"’ %"$（"$-"%）# （$!-$$$#$%）#（%$"’ !-$%%"’ $#%$"’ %）， "’"!，$，…，’； -("("!%"( !-$!$"( $#!%"( %"$（"%-"$）# （$!-$$$#$%）#（%%"( !-$%$"( $#%%"( %）， "("!，$，…，() 若令$"$!-$$$#$%；%!"!"%!"! !-$%$"! $# %!"! %；%$"$"%$"$ !-$%!"$ $#%$"$ %；%%"%"%!"% !-$%%"% $ #%!"% %；%&"& "%%"& !-$%!"& $#%%"& %；%’"’ "%$"’ !- $%%"’ $#%$"’ %；%("("%%"( !-$%$"( $#%%"% (；则（$）可改 写为： -!"!"$#$"!-$"$#%!"! ， "!"!，$，…，#； -$"$"$-$"!#$"$#%$"$ ， "$"!，$，…，$； -%"%"$#$"!-$"%#%%"% ， "%"!，$，…，%； -&"&"$-$"!#$"%#%&"& ， "&"!，$，…，&；（%） -’"’"$#$"$-$"%#%’"’ ， "’"!，$，…，’； -("("$-$"$#$"%#%("( ， "("!，$，…，() 根据 -*"* 的数据结构式（%），利 用 最 小 二 乘 法［$-&］，可求出.$、."!、."$、."%；求出..)、/0)，..1、/01， 进行/ 检验；若/ 检验显著，还可进行%个处理效 应估计值."!、."$、."%差异显著性检验。注意，此时不 仅能求出.$，即时期效应$!、$$、$% 的线性比较：$! -$$$#$%的估计值，还能对.$的显著性进行检验。 $ 实 例 研究%种饲料 )!、)$、)% 对奶牛产奶量的影 响，试验分%个时期，采用%2%交叉设计。选用条 件相近的奶牛!$头，分为(组，每组$头，试验结果 见表$。试检验%种饲料奶牛平均日产奶量差异是 否显著。 !3, 四川农业大学学报 第$,卷 万方数据
第2期 明首结（等）：3×3交叉试哈结果分析的最小二乘法 191 表23种饲料3×3交叉试验结果 y 2 “0 2 kg 2-2 时期(Sge) C3 d=G-2G+G 1 2 0 处理 2 4 d -2 1 12222 0 1-2 X= 1-4 处理 -2 A 1 2 0 4 -2 0 1 0 2 44 处理 1 0-2 -2-4 0-2 11-2 -4 因为结构矩阵X是列不满秩的，利用a1十a2 外迎 a3-0,即a3=-(a1+a2)这一约束条件，将X阵中 04 3列×(-1)加到a1、2列上，得到列满秩的简缩 结构矩阵X,。从而得出简缩数据结构式： (Trentment)A A3 A d D=XB.+8 (6) 此时，B,=(Y,a1,a2'。由最小二乘法得： B=(XX,)(XD) (7) (Treatment) A: 其中：B=(7,a1a2) 00 12007-1 2.1求7、1a2a 此例(XX,)1=09648 0 此例各d.（i=1,2,…,6)的数据结构式为： 4 L04896 -0.68=y+2a1-2a2 十E11 0 品制 -0.77=y+2a1-2a2 -14.75 -1.95=y-2a1+2a2 +21 XD= 12.08 -1.55=y-2a1+2a2 +2 L0.40 -1.31=y+2a1 -2a3+E31 所以7=-14.75/12=-1.2292，a1=12.08/72+ -086=y+2a -2a3+t2 0.40/(-144)=0.1650,a2=12.08/(-144) -2.63=y-2a1 +2a3+e41 (4) 0.40/72=-0.0783,进而求得a3=-(a1+a2)= -1.45=y-2a1 +2a3+e42 -0.0867. -0.28=y +2a2-2a3+e51 2.2求SSA、dfa,SS.、df进行F检验 -1.41=y +2a2-2a3+e52 「cc1'ra1 -1.22=y -2a2+2a3+e6l =( C"2 -0.64=y -2a2+2a3+e6 写成矩阵形式为： =(0.1650,-0.0783) D=X邓+ (5 品 其中：D=(-0.68,-0.77,-1.95,-1.55,-1.31, 「0.16507 -0.86,-2.63,-1.45,-0.28,-1.41 1-0.0783 -122,-0.64) 9%4810.1650 B=（ya1a2'a3） =(0.1650,-0.0783 4896-1-0.0783 E=（e1112e21E22E31E2e414251E52 =1.9619 石在粉 da=3-1=2:
表! "种饲料"#"交叉试验结果 $%&’(! )*+(,-.(/0%’,(12’034"#"5,311637(,8(1-9/340:,((4((81 ;9 时期（ =! =" 8?=>@!=!A=" 处理 （$,(%0.(/0） B> B! B> 8>C> D>组 （E,32+D>） D>> D>! >FGHI >JGFF >KGHF >HGIH >!GI" >FGHL 8>>?@LGHM 8>!?@LGJJ 处理 （$,(%0.(/0） B! B> B! 8!C! D!组 （E,32+D!） D!> D!! IGMI >FGIJ >LGMK >FG!L IGMK >!GMM 8!>?@>GIF 8!!?@>GFF 处理 （$,(%0.(/0） B> B" B> 8"C" D"组 （E,32+D"） D"> D"! !!G>M >"GJI !>G!J >"G"M >IGLF >!G>> 8">?@>G"> 8"!?@LGMH 处理 （$,(%0.(/0） B" B> B" 8KCK DK组 （E,32+DK） DK> DK! >KGI! IGJ> >FGL> IGIM >!GKJ MGML 8K>?@!GH" 8K!?@>GKF 处理 （$,(%0.(/0） B! B" B! 8FCF DF组 （E,32+DF） DF> DF! >LG"K >>GHH IGF" >>GMK MGKK >LGH> 8F>?@LG!M 8F!?@>GK> 处理 （$,(%0.(/0） B" B! B" 8HCH DH组 （E,32+DH） DH> DH! >>GF! >"GIJ >>GJI >"G!I >LGMK >>GIJ 8H>?@>G!! 8H!?@LGHK !G> 求!!、!">、!"!、!"" 此例各"#$# （#?>，!，…，H）的数据结构式为： @L%HM?!A!"> @!"! A#>> @L%JJ?!A!">@!"! A#>! @>%IF?!@!">A!"! A#!> @>%FF?!@!">A!"! A#!! @>%">?!A!"> @!""A#"> @L%MH?!A!"> @!""A#"! @!%H"?!@!"> A!""A#K> （K） @>%KF?!@!"> A!""A#K! @L%!M?! A!"!@!""A#F> @>%K>?! A!"!@!""A#F! @>%!!?! @!"!A!""A#H> @L%HK?! @!"!A!""A#H! 写成矩阵形式为： !?"!A" （F） 其中：!?（@L%HM，@L%JJ，@>%IF，@>%FF，@>%">， @L%MH，@!%H"，@>%KF，@L%!M，@>%K>， @>%!!，@L%HK& ） !?（!，">，"!，""）& "?（#>>，#>!，#!>，#!!，#">，#"!，#K>，#K!，#F>，#F!， #H>，#H!）& ! "> "! "" ! "> "! ">!’K ( > ! )! L > ! )! L > )! ! L > )! ! L > ! L )! > ! L )! > )! L ! > )! L ! > L ! )! > L ! )! > L )! ! > L ) ! " # ! !$ ； ">!’" * ( > ! )! > ! )! > )! ! > )! ! > K ! > K ! > )K )! > )K )! > ! K > ! K > )! )K > )! ) ! " # K$ 因为结构矩阵" 是列不满秩的，利用">A"!A ""?L，即""?@（">A"!）这一约束条件，将" 阵中 ""列#（@>）加到">、"! 列上，得到列满秩的简缩 结构矩阵"#。从而得出简缩数据结构式： !?"#!#A" （H） 此时，!#?（!，">，"!）&。由最小二乘法得： $!?（"%#"#）@> （"%#!） （J） 其中：$!#?（!!，!">，!"!）& 此例（"%#"#）@>? >! L L L IH KM ! " # L KM IH$ @> ? > >! L L L > J! @> >KK L @> >KK > ! " # J!$ ， "%#!? @>K%JF >!%LM L% ! " # KL$ 所以!!?@>KNJF／>!?@>N!!I!，!">?>!NLM／J!A LNKL／（@>KK）?LN>HFL，!"!?>!NLM／（@>KK）A LNKL／J!?@LNLJM"，进而求得!""?@（!">A!"!）? @LNLMHJ。 !%! 求++,、"-,，++.、"-.进行/ 检验 ++, ?（!">，!"!）0"> "> 0"> "! ［0"! "> 0"! "! ］ @> !"> ［!"］ ! ?（L%>HFL，@L%LJM"） > J! @> >KK @> >KK > ! " # J!$ @> L%>HFL ［@L%LJM"］ ?（L%>HFL，@L%LJM"）IH KM ［KM IH］ L%>HFL ［@L%LJM"］ ?>%IH>I "-,?"@>?!； 第!期 明道绪（等）："#"交叉试验结果分析的最小二乘法 >I> 万方数据
192 四川农业大学学报 第20卷 S5.-(X'D) 本例因F检验不显著，不必进行a1、a2、a;间 的多重比较。为说明进行多重比较的方法，仍以此 =[(-0.682+(-0.72+…+(-0.64]- 例的有关数据进行多重比较。 (-1.2292)×(-14.75)-0.1650×12.08- 下面采用Duncan法进行a1、a2、a;间的多重 (-0.0783)×0.40=2.6073 比较。 df.=2j,-3=12-3=9. 先求列a3列、a3行的高斯乘数： C= C=-(C91+C1)= （F0.052,9)=4.256) 下检验结果表明：3种饲料奶牛日平均产奶量 C=品C=克 C9=-(C9+C)=品 差异不显著。 2.3进行a1、a2a3间的多重比较 3种饲料AAA的最小二乘均数AP22 应分别为a+a1,a+a2,a+a3。由于本文提出的 多重比较结果表明：a1、a2a两两间差异不显 著，即3种饲料奶牛平均日产奶量间差异不显著。 分析方法不能求出，因而不能求得各处理的最小 二乘均数。但最小二乘均数间的多重比较等价于各 3讨论 处理效应的多重比较： 1-2=（n+a1)-（n+a2)=a1-a2 3.1本文提出的分析方法，只要求至少有6个试验 1-3=（n+a1)-(n+a3)=a1-a3 个体参与试验，不要求各组试验个体数相等。 p2-3=（+a2)-（n+a3)=a2-a3 3.2本文提出的分析方法能求出Y=Y1-2Y2+ 所以，进行a1、a2、a3间的多重比较，相当于进行了 Y3的估计值：氵。利用t=/S,S=√CmMS,df 最小二乘均数1小23间的多重比较。 =dfe可对7是否显著，即3个时期效应差异是否 表3a1、c2a;多重比较表(Duncan法) Tbale 3 Multiple-comparisons of(Duncan's procedure) 比较 秩次距 SSRdte Comparison) D/SE the range) a=0.05a=0.01 a1-a2 =0.1650-(-0.0783) 41与2 2 =0.2433 分+元-2×量×260 3.1313=3.204.60 =0.0777 a1-a3 .16 -(-0.0867 与4 =0.251 3.2394m3.344.86 =0.0777 √/+9-2C西x√/s 783-(-0.0867) ,与： -0.00 克-x品x2 0.1081=3.204.60 =0.0777 万方数据
!!" !! " #!#! $ $#!# %$ #$# %!!"# （$"#%） !［（%&&"’）$(（%&&))）$(…(（%&&"*）$］% （%#&$$+$）,（%#*&)-）%&&#"-&,#$&&’% （%&&&)’.）,&&*&!$&"&). %’"!! " #!# $#%.!#$%.!+& (!)!* )!" !!!*／%’* !!" ／%’" !#&+"#+／$ $&"&).／+!.&.’"#/0 （(&&&-（$，+）!*&$-"） ( 检验结果表明：.种饲料奶牛日平均产奶量 差异不显著。 $&. 进行+!#、+!$、+!.间的多重比较 .种饲料1#、1$、1.的最小二乘均数+"#、+"$、+". 应分别为+"(+!#，+"(+!$，+"(+!.。由于本文提出的 分析方法不能求出+"，因而不能求得各处理的最小 二乘均数。但最小二乘均数间的多重比较等价于各 处理效应的多重比较： "+#%+"$!（+"(+!#）%（+"(+!$）!+!#%+!$ +"#%+".!（+"(+!#）%（+"(+!.）!+!#%+!. +"$%+".!（+"(+!$）%（+"(+!.）!+!$%+!. 所以，进行+!#、+!$、+!. 间的多重比较，相当于进行了 最小二乘均数+"#、+"$、+".间的多重比较。 本例因( 检验不显著，不必进行+!#、+!$、+!. 间 的多重比较。为说明进行多重比较的方法，仍以此 例的有关数据进行多重比较。 下面采用 ,-./0. 法进行+!#、+!$、+!. 间的多重 比较。 先求列+!.列、+!.行的高斯乘数： +!# +!$ +!. !# !$ 1!#!#! # )$ 1!$!#!%# #** 1!#!$!%# #** 1!$!$! # )$ 1!#!.!%（1!#!#(1!#!$）!%# #** 1!$!.!%（1!$!#(1!$!$）!%# #** !. 1!.!#!%# #** 1!.!$!%# #** 1!.!.!%（1!.!#(1!.!$）! # )$ 多重比较结果表明：+!#、+!$、+!. 两两间差异不显 著，即.种饲料奶牛平均日产奶量间差异不显著。 . 讨 论 .&# 本文提出的分析方法，只要求至少有"个试验 个体参与试验，不要求各组试验个体数相等。 .&$ 本文提出的分析方法能求出#!##%$#$( #.的估计值：+#。利用2!+#／!+#，!+#!"1##)!"，23 !234可对+#是否显著，即.个时期效应差异是否 表. +!#、+!$、+!.多重比较表（56/78/法） 9:8;4. ?;4@7AB?8C>0A/0A3+!#、+!$、+!. （56/78/’0?CA7426C4） 比较 （DAB?8C>0A/） 秩次距E （F6B:4C A3>=4B0>/ =G4C8/H4） 差数5 （5>334C4/74） 标准误IJ （I=8/28C24CCAC） 5／IJ IIK! （234，L） !!&M&- !!&M&# !N#与N!$ $ N!#%N!$ !&M#"-&%（%&M&)’.） !&M$*.. 1!#!#(1!$!$%$1!#!$ " $ ,")!" ! # )$(# )$%$,%# #** $ , " $&"&). + !&&&))) .M#.#./0 .M$& *M"& N!#与N!. . N!#%N!. !&M#"-&%（%&M&’")） !&M$-#) 1!#!#(1!.!.%$1!#!. " $ ,")!" ! # )$(# )$%$,%# #** $ , " $&"&). + !&&&))) .M$.+*/0 .M.* *M’" N!$与N!. $ N!$%N!. !%&M&)’.%（%&M&’")） !&M&&’* 1!$!$(1!.!.%$1!$!. " $ ,")!" ! # )$(# )$%$,%# #** $ , " $&"&). + !&&&))) &M#&’#/0 .M$& *M"& #+$ 四川农业大学学报 第$&卷 万方数据
第2期 明道绪（等）：3×3交叉试验结果分析的最小二乘法 193 显著进行检验。本文实例中：氵=-1.2292，S,= A3-A-A3A3-A2-A3A-A-A3 √×√20-0.154.4=7/S-7.9w9w.由 A-A-AA-A-AA-A-A 所以，至少应有12个个体参与试验。将参与试验的 df=dfe=9查临界t值，得：to.og)=3.250,因为 试验个体分为12组（每组试验个体数可以不相同）， |t|=7.9099>t0.019)=3.250,Pt0.0m9)=3.250” 应为：“1=1.81620.05” 二处“差异极显著 应为：“差异不显著” 万方数据
显著进行检验。本文实例中：!!!"#$%%&%，"!!! # !#%’ %#()*+ !& !)$#,,-，$!!!／"!!!"*$&)&&，由 ./!./0!&查临界$值，得：$)#)#（&）!+$%,)，因为 "$"!*$&)&&#$)#)#（&）!+$%,)，%$)$)#，表明第一、 三两个时期效应与第二个时期效应的线性比较极显 著，即第一、三两个时期与第二个时期奶牛平均日产 奶量差异极显著，这里表现为前者极显著低于后者。 +1+ 对于-个处理：2#、2%、2+、2-，+个时期：3#、 3%、3+的-’+交叉设计，若把试验个体在3#、3%、3+ +个时期接受处理的所有可能的顺序表示出来，则 共有以下#%种： 2#—2%—2#，2#—2+—2#，2#—2-—2#， 2%—2#—2%，2%—2+—2%，2%—2-—2%， 2+—2#—2+，2+—2%—2+，2+—2-—2+， 2-—2#—2-，2-—2%—2-，2-—2+—2-， 所以，至少应有#%个个体参与试验。将参与试验的 试验个体分为#%组（每组试验个体数可以不相同）， 分别按上述#%种顺序接受处理，其试验结果亦可采 用本文提出的最小二乘法进行分析。 参考文献： ［#］ 吉田 实［日］1畜牧试验设计［4］1关彦华，王 平译1北京： 农业出版社，#&5-1 ［%］ 67890:; ?@AB780>2C7D:>E>F/G7?7HE?IBC0AB7D@BJK LD7>>MBNJ08> ［4］12，@ELIB7C2S8ELBD?B87DTCE908>E?:，U77C(%,)#-，@ELIB7C，3IEC7） 0>&’+%?’：VI0=07>?K>AB780>N0?IF.F/7C7D:>E>F/?I00WO08EN0C?7D80>BD?F/38F>>KF908.0>ESCHE?I?I800?807?K N0C?>7C.?I800>?7S0>780O80>0C?0.1;I0C0WO08EN0C?7DEC.E9E.B7D>780.E9E.0.EC?F>EWS8FBO>，?I0CBNJ08>F/ EC.E9E.B7D>F/07LIS8FBON7:CF?J080AB0>?0.?FJ00AB7D1 @#3A-+.&：+’+3<X@@KXYZ<GZ@[RM；2M2=U@[@X\<Z@T=V；=Z2@VK@QT2<Z@4ZV6XG1 （本文审稿黄玉碧） 更正：本文作者对在本刊%))%年第%期上发表的文章“+’%交叉试验结果分析的最小二乘 法”作出如下更正： %))%年第%期第&,页+1%一节中变动内容 “"!!!&!!!’"(” 应为：“"!!!!&!!’"(” “"!!!# #%’ %#*)*& !& !)$)-,*” 应为：“"!!! %#*)*& !#%’&!)$#,5+” “$!!!／"!!!(#%5*(” 应为：“$!!!／"!!!##5#(%” “$)#)#（&）!+$%,)” 应为：“$)#),（&）!%$%(%” “$!(#%5*(#$)#)#（&）!+$%,)” 应为：“$!##5#(%$$)#),（&）!%#%(%” “%$)#)#” 应为： %#)#),” 二处“差异极显著” 应为：“差异不显著” 第%期 明道绪（等）：+’+交叉试验结果分析的最小二乘法 #&+ 万方数据
3×3交叉试验结果分析的最小二乘法 日万方煎据文款线转 作者： 明消，刘水建 作者单位： 四川衣业大学，数量造传研究室，四川，雅安，625014 刊名： 英文刊名 四川农业大学学报P可 SICHUAN AGRICULTURAL UNIVERSITY ,20(3) 引用次起 1次 者文献) 1.吉田实，关意华王平畜牧试验设计1984 2.Harvey WR Least Squares Analysis of Data with unequal Subelass Numbers 1975 3.明道绪重复数不等资料的最小二乘分析1985 4.明道绪，黄玉碧，刘永建重复数不等资料估计固定效应的简便方法1991（②） 相包文献0条) 引证文献红条) 1,李利明道绪张红平.刘水建，朱肠建设《生物统计附试验设计》精品课程的实践与思考[期刊论文]一四川农业大 学学报2004(z1) 本文链接：http:/gwanfangdata.coo.cn/Periodical_scnydh200203008.asp 下载时间：2010年3月5日
3×3交叉试验结果分析的最小二乘法 作者： 明道绪， 刘永建 作者单位： 四川农业大学,数量遗传研究室,四川,雅安,625014 刊名： 四川农业大学学报 英文刊名： JOURNAL OF SICHUAN AGRICULTURAL UNIVERSITY 年，卷(期)： 2002，20(3) 引用次数： 1次 参考文献(4条) 1.吉田实.关彦华.王平 畜牧试验设计 1984 2.Harvey W R Least Squares Analysis of Data with unequal Subclass Numbers 1975 3.明道绪 重复数不等资料的最小二乘分析 1985 4.明道绪.黄玉碧.刘永建 重复数不等资料估计固定效应的简便方法 1994(2) 相似文献(0条) 引证文献(1条) 1.李利.明道绪.张红平.刘永建.朱砺 建设《生物统计附试验设计》精品课程的实践与思考[期刊论文]-四川农业大 学学报 2004(z1) 本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_scnydxxb200203008.aspx 下载时间：2010年3月5日