农业院校《试验设计与分析》课程参考资料（特殊试验设计与分析）配料混合试验的设计和分析（1/2）

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of Yan 州大学学与生合科》配料混合试验的设计和分析莫惠栋 (场州大学数量传研究室，江苏杨州，225009) 摘要：系统地介绍了配料混合试验的基本极念，指出了混合试验与常规因子试验的区别。提出配料混合试验的3种设计，即顶点和边界点设计，矩心设计和极顶设计，以2个实例演示了混合试验资料的统计方法，包括回归和方差分析，驻点分析和等值线分析关键词：混合试验，顶点和边界点设计，矩心设计，极顶设计，驻点分析，等值线分析中图分类号：0212.615816.31 文献标识码：A 文章编号：161-4652(2004)01-0001-04 Design and Analysis for Experiments with Mixtures MO Hui-dong (Lab of Quantitative Genetics.Yangzhou Univ.Yangzhou,225009.China) ABSTRACT:The basic concepton mixture experiments of ingredients was systematically introduced,and the distinetion wasshowed between the mixture and factor experiments.Three basic designs for mixture experiments apexand boundary point designc KEY WORDS:mixture experiments;apex and boundary point design centroid desig extreme vertex design station ary point analysis,contours analysi 1混合试验的意义许多产品都是由若干种配料混合而成的。例如：各种合金钢都是以铁为基础再加适量的镶、铬、锰碳等成分组成：氛灯灯炮中含有氢、氛、氢、氙等情性气体；汽油由燃油和若干种添加剂混合而成：饮料则可能含有多种果汁：药品、酒类、复合饲料和肥料等产品，也都有着类似情况在这些产品中，各种配料成数(proportions),即配比或比率，常常是其内在质量的重要保证，也是厂家的重要技术机密。配料混合试验是将每种配料看作一个试验因子，将不同比率看作该因子的试验水平，通过比较它们对产品质量的影响，求得最佳质量所需的各种配料的合适成数，这种试验，当然也可能类推于研究有关产品的成本利润等经济学问题，或配料比率对任何其他指示物的效应，例如硝态氮，铵态氮的不同比事对植物生长的效应等，设某产品含p种配料，各配料的成数为X,(=1,2,…,p),则配料混合试验的最基本特征为： 0≤X。≤1， x+x+…+x,=x=1j (1) 即对每一产品，每种配料的成数可以从0（产品中缺此种配料）到1（产品完全由该配料制成），但各种配 E-mail:qtls@yzu.edu.en 万方数据

第25卷第1期 2004年3月扬州大学学报(农业与生命科学版) Journal of Yangzhou University(Agricultural and Life Science Edition) V01．25 No．1 Mar．2004 配料混合试验的设计和分析莫惠栋 (扬州大学数量遗传研究室，江苏扬州，225009) 摘要：系统地介绍了配料混合试验的基本概念，指出了混合试验与常规因子试验的区别。提出配料混合试验的3种设计，即顶点和边界点设计、矩心设计和极顶设计。以2个实例演示了混合试验资料的统计方法，包括回归和方差分析，驻点分析和等值线分析。关键词：混合试验；顶点和边界点设计；矩心设计；极顶设计；驻点分析；等值线分析中图分类号：0 212．6；S 816．31 文献标识码：A 文章编号；1671—4652(2004)01—0001一04 Design and Analysis for Experiments with Mixtures Mo Hui-dong (Lab of Quantitative Genetics．Yangzhou Univ，Yangzhou，225009，China) ABSTRACT：The basic concept on mixture experiments of ingredients was systematically introduced．and the distinction was showed between the mixture and conventional factor experiments．Three basic designs for mixture experiments， i．e．，apex and boundary point design，centroid design and extreme vertex design，were presented．Two real examples were given to demonstrate the statistical method for the data from mixture experiments，including the analyses of re— gression and variance，stationary point and contours． KEY WORDS：mixture experiments；apex and boundary point design；centroid design；extreme vertex design；stationary point analysis；contours analysis 1混合试验的意义许多产品都是由若干种配料混合而成的。例如：各种合金钢都是以铁为基础再加适量的镍、铬、锰、碳等成分组成；氖灯灯炮中含有氦、氖、氩、氙等惰性气体；汽油由燃油和若干种添加剂混合而成；饮料则可能含有多种果汁；药品、酒类、复合饲料和肥料等产品，也都有着类似情况。在这些产品中，各种配料的成数(proportions)，即配比或比率，常常是其内在质量的重要保证，也是厂家的重要技术机密。配料混合试验是将每种配料看作一个试验因子，将不同比率看作该因子的试验水平，通过比较它们对产品质量的影响，求得最佳质量所需的各种配料的合适成数。这种试验，当然也可能类推于研究有关产品的成本、利润等经济学问题，或配料比率对任何其他指示物的效应，例如硝态氮、铵态氮的不同比率对植物生长的效应等。设某产品含P种配料，各配料的成数为Xj(i一1，2，…，户)，则配料混合试验的最基本特征为： 0≤x q’ 三 ' (1) x，+x。+…+Xp一≥：x，=1．J 即对每一产品，每种配料的成数可以从0(产品中缺此种配料)到1(产品完全由该配料制成)，但各种配收稿日期基金项目作者简介 E—mail： 2003—08一08 国家自然科学基金资助项目(39670391) 莫惠栋(1934一 )，男，浙江温岭人．扬州大学教授、博导，主要从事数量遗传学和生物统计学研究。 qtls@yzu．edu．cn 万方数据

扬州大学学报（农业与生命科学板】第25卷料的成数之和必等于1 配料混合试验在设计和分析上都有着不同于常规因子试骏的特殊性，本文将予详细研讨，以供应用。 2混合试验的因子空间由于式(1)限制，试验因子X的空间不是都可利用的。一般而言，混合试验的因子空间，要比相应常规试验的因子空间减少一维，可说明于下】 2.12种配料试验 (1.0) 2个试验因子X,和X:的空间本来是一个平面。现由于有 0≤(X:或X:)≤1和X1十X=1的限制，因子空间变为仅仅是该平面第1象限内点(X1,X》 =(0,1)和(1,0)之间的相连自 (Xj-1-X) 线。任何处理组合都可表示为该线段上的一个点，其取值为 (X,,1一X,)或(1一X,,X)。见图1。 2.23种配料试验 X、X:和X,的因子空间是立方体：当0≤X≤1时是正等边立方体，由下而上、由前而后和由左而右依次为从0~1的 12种配料的试验因子空间 X1、X2和X,平面[图2(a)].在X1+X:+X,=1的限制下，因子 Flg.1 dient 空间变为二维的等边三角形。该三角形的3个顶点是(X1,X2, X)=(1,0,0),(0,1,0)和(0,0,1)：任何处理组合都可以表示为该三角形边线上或边线内的一个点[图 2(b)门.其中，3条边线是一种配料为0时另2种X,不为0配料组合的亚空间（例如，三角形的底线是 X1=0时X2和X,不为0配料的亚空间，满足X2+X,-1)边线内的试验域(domair)则是X1、X2和X,均不为0或1的亚空间。注意：由于三角形平面上的任何一点都满足X,十X十X,=1,故在图示处理点（试验点)位登时，只要确定2种配料比率的坐标交点，第3种配料的比率也就被惟一地确定了例如在图2(c),点1是X1=0.4和X2=0.3的交点，其X3必为1-(0.4十0.3)=0.3，即(X1,X,X)=(0.4 1.0.01 X1= (0,0, 0.0.1 在(e)中，点1和点2分别是(X1,X,X=（0.4,0.3.03)和(0.2.0.30.5) 0.3,0.3),同理，点2是X1=0.2和X=0.3的交点，亦即(X1,X,X)=(0.2,0.3,0.5). 2.34种配料试验 4种配料混合试验的因子空间是由4个等边三角形组成的正四面体(tetrahedron)；4个顶点分别是 (X1,XX,X,)=(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0)和(0,0,0,1)，见图3.其中，6条棱边是2种配料为 0时另2种不为0配料不同组合的亚空间（如：边AB是X,=X=0时X1和X的不同组合，边AC是X X,=0时X,和X,的不同组合，…等)：4个三角形平面是1种配料为0（平面BCD、ACD、ABD和ABC依次为X1=0,X2=0、X,=0和X,=0)时另3种配料不同组合的亚空间；4种配料均不为0或1的处理组合则不在四面体的外表面，而在四面体内万方数据

2 扬州大学学报(农业与生命科学版) 第25卷料的成数之和必等于1。配料混合试验在设计和分析上都有着不同于常规因子试验的特殊性，本文将予详细研讨，以供应用。 2混合试验的因子空间由于式(1)限制，试验因子X的空间不是都可利用的。规试验的因子空间减少一维，可说明于下。 2．1 2种配料试验一般而言，混合试验的因子空间，要比相应常 2个试验因子X，和X：的空间本来是一个平面。现由于有 o≤(X，或X。)≤1和X，十X。一1的限制，因子空间变为仅仅是该平面第1象限内点(X，，X。)一(o，1)和(1，O)之间的相连直线。任何处理组合都可表示为该线段上的一个点，其取值为 (X，，1一X1)或(1一X2，X2)，见图1。 2．2 3种配料试验 X，、X。和X。的因子空间是立方体；当o<x；≤1时是正等边立方体，由下而上、由前而后和由左而右依次为从0～1的 x¨X。和x。平面[图2(a)]。在x。十x。十X。一1的限制下，因子空间变为二维的等边三角形。该三角形的3个顶点是(X，，X。，图1 2种配料的试验因子空间 Fig．1 Space of experimental factor for 2 ingredients Xs)=(1，o，o)，(o，1，o)和(o，0，1)；任何处理组合都可以表示为该三角形边线上或边线内的一个点[图 2(b)]。其中，3条边线是一种配料为0时另2种X；不为0配料组合的亚空间(例如，三角形的底线是 X，一。时X：和X。不为0配料的亚空间，满足X。+X。一1)；边线内的试验域(domain)贝I]是X。、X。和X。均不为0或1的亚空间。注意：由于三角形平面上的任何一点都满足X，+X。+X。=1，故在图示处理点(试验点)位置时，只要确定2种配料比率的坐标交点，第3种配料的比率也就被惟一地确定了。例如在图2(c)，点1是X1—0．4和X2—0．3的交点，其X3必为1一(o．4+0．3)一0．3，即(X1，X2，X3)一(O．4， 0 X3 1 (0，1，O) (O，X2，X 图2 3种配料的试验因子空间 Fig．2 Space of experimental factor for 3 ingredients 在(c)中，点l和点2分别是(X1，x2，X3)=(0．4，0．3，0．3)和(o．2，0．3，0．5) 0．3，0．3)；同理，点2是X1—0．2和X2=0．3的交点，亦即(X1，Xz，X3)一(O．2，0．3，0．5)。 2．3 4种配料试验 4种配料混合试验的因子空间是由4个等边三角形组成的正四面体(tetrahedron)；4个顶点分别是 (X1，X2，X3，X。)一(1，0，0，O)，(o，1，0，0)，(o，0，1，o)和(O，0，0，1)，见图3。其中，6条棱边是2种配料为 0时另2种不为0配料不同组合的亚空间(如：边AB是X。一X。=0时X。和X：的不同组合，边AC是X：= Xt=0时x。和x。的不同组合，…等)；4个三角形平面是1种配料为0(平面BCD、ACD、ABD和ABC依次为X。一o、X。=0、X。=0和X。=o)时另3种配料不同组合的亚空间；4种配料均不为0或1的处理组合则不在四面体的外表面，而在四面体内。万方数据

第1期莫惠栋：配料湿合试骏的设计和分析 3 2.45种或更多种配料斌验 A(1.0,0,0) 5种配料混合试验的因子空间是4维的，难以用图解展示。但可以设想，它由一系列大小递减的正四面体组成，其 (1,0,0,X 中最大的一个是X,=0:而后四面体体积逐渐变小，X则逐新增大，直到X=1时的顶点(X1,X2,X,X,X)=(0,0, (1.X.0.0) 0,0,1). (0,0,0. 0.0X5 由上述结果可以建立混合试验处理空间的一般性类推 0.X,.X.0) 原则，即：边（棱）线（一维）可用以表示2种比率均不为1或0 0.110.00 的配料的任何组合，具有图1特征：平面（二维）可用以表示 3种比率均不为1或0的配料的任何组合，具有图2特征；四围34种配料的试验因子空间 Fig.3 Spa e of exper 面体（三维）可用以表示4种比率均不为1或0的配料的任【or4 ingredients 何组合，具有图3特征；…；(p一1)维空间可用以表示p种比率均不为1或0的配料的任何组合.所以，尽管5种以上配料混合试验的因子空间非常抽象，其试验设计和统计分析并不存在实际困难， 3混合试验的设计 3.1顶点和边界点设计(apex and oundary points design) 顶点是一种配料的比率为1，其余配料的比率均为0的处理点，顶点间的连线称为边界线.顶点和边界点设计就是设计的处理点由顶点和均匀分布于边界线上的边界点组成，简称顶点设计，它是混合试验中最简单的设计，常用符号M(9}表示。这里的M指混合试验，P指试验因子数，即配料种数，g指边长的等分数(quantitles)。例如： M(3,2}设计：表示该试验有 3种配料，边长为二等分，故试验的处理组合为(X1,X,X)=(1 0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1/2 1/2.0),(1/2.0,1/2)和(0,1/2. 1/2),共6个.这里前3个组合顶点，后3个组合为二等分边界点，参见图4(a). M《3,3}设计：表示该试验3 国43种配料混合的处建点分布种配料的边长为3等分，故处理组 Fig.4 Distribution of experimental points for 3 ingredients (a)M{3,2)设计：(6)M{3,3}设计合为(X1,X2,X)=(1,0,0),(0, 1,0)(0,0,1),(2/3,1/3,0),(1/3,2/3,0),(2/3,0,1/3),(1/3,0,2/3),(0,2/3,1/3)和(0,1/3,2/3) 共9个。参见图4b) 同理，M{4.2}设计：处理组合为(X,X,XX)=(1.0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1), (1/2,1/2,0,0),(1/2,0,1/2,0),(1/2,0,0,1/2),(0,1/2,1/2,0),(0,1/2,0,1/2)和(0,0,1/2,1/2)，共 10个。前4个组合为顶点，余为边界点，参见图5 M{4,3}设计：处理组合为(X,X2,X,X)■(1,0,0,0)，(0,1,0,0)，(0,0,1,0)，(0,0,0,1)，(2/3 1/3,0,0),(1/3,2/3,0,0),(2/3,0,1/3.0),(1/3,0,2/3,0),(2/3,0,0,1/3),(1/3,0,0,2/3),(0,2/3 1/3,0),(0,1/3,2/3,0),(0,2/3,0,1/3),(0,1/3,0,2/3),(0,0,2/3,1/3)和(0,0,1/3,2/3)，共16个 p≥5，g≥4的M《p,a}设计均可以此类推得出. 在儿何学上，由式(1)定义的b维平面称为单纯形(simplex)平面.试验的处理组合则是将该平面试验域均分为若干格子[参见图4(a)门.故上述设计又称为单纯形格子设计(simplex-attice design))。万方数据

第1期莫惠栋：配料混合试验的设计和分析 3 2．4 5种或更多种配料试验 5种配料混合试验的因子空间是4维的，难以用图解展示。但可以设想，它由一系列大小递减的正四面体组成，其中最大的一个是X。=0；而后四面体体积逐渐变小，X。则逐渐增大，直到X。一1时的顶点(X，，X。，X。，X。，X。)=(o，0， 0，0，1)。由上述结果可以建立混合试验处理空间的一般性类推原则，即：边(棱)线(一维)可用以表示2种比率均不为1或0 的配料的任何组合，具有图1特征；平面(二维)可用以表示 3种比率均不为1或0的配料的任何组合，具有图2特征；四面体(三维)可用以表示4种比率均不为1或0的配料的任何组合，具有图3特征；…；(p一1)维空间可用以表示P种 B (0，1，o，O) C ．o，1，0) 图3 4种配料的试验因子空间 Fig．3 Space of experimental factor for 4 ingredients 比率均不为1或0的配料的任何组合。所以，尽管5种以上配料混合试验的因子空间非常抽象，其试验设计和统计分析并不存在实际困难。 3混合试验的设计 3．1顶点和边界点设计(apex and boundary points design) 顶点是一种配料的比率为1、其余配料的比率均为0的处理点，顶点间的连线称为边界线。顶点和边界点设计就是设计的处理点由顶点和均匀分布于边界线上的边界点组成，简称顶点设计。它是混合试验中最简单的设计，常用符号M{P，g)表示。这里的M指混合试验，P指试验因子数，即配料种数，q指边长的等分数(quantities)。例如： M{3，2)设计：表示该试验有 3种配料，边长为二等分，故试验的处理组合为(X，，x。，X。)=(1， 0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，(1／2， 1／2，0)，(1／2，0，1／2)和(0，1／2， 1／2)，共6个。这里前3个组合为顶点，后3个组合为二等分边界点，参见图4(a)。 M{3，3)设计：表示该试验3 种配料的边长为3等分，故处理组合为(X1，X2，X3)一(1，0，o)，(o， (0。l，O) (0，1／2．1，2) (0,0，1) (a) (0．J，0)《O，2／3，i／3)(O，113，2／3)(0．0，” (b) 图4 3种配料混合的处理点分布 Fig．4 Distribution of experimental points for 3 ingredients (a)M{3，2}设计；(b)M{3，3}设计 1，O)，(0，0，1)，(2／3，1／3，0)，(1／3，2／3，0)，(2／3，0，1／3)，(1／3，0，2／3)，(O，2／3，1／3)和(0，1／3，2／3)，共9个。参见图4(b)。同理，M{4，2)设计：处理组合为(X1，X2，X3，X。)一(1，0，0，o)，(o，1，0，O)，(o，0，1，o)，(o，0，0，1)， (1／2，1／2，0，o)，(1／2，0，1／2，o)，(1／2，0，0，1／2)，(o，1／2，1／2，O)，(O，1／2，0，1／2)和(O，0，1／2，l／2)，共 10个。前4个组合为顶点，余为边界点，参见图5。 M{4，3)设计：处理组合为(x1，x2，X3，x4)=(1，0，0，o)，(o，1，0，o)，(o，0，1，o)，(o，0，0，1)，(2／3， 1／3，0，O)，(1／3，2／3，0，O)，(2／3，0，1／3，0)，(1／3，0，2／3，O)，(2／3，0，0，1／3)，(1／3，0，0，2／3)，(O，2／3， 1／3，O)，(O，1／3，2／3，O)，(O，2／3，0，1／3)，(0，1／3，0，2／3)，(0，0，2／3，1／3)和(O，0，1／3，2／3)，共16个。 p≥5，g≥4的M{P，q}设计均可以此类推得出。在几何学上，由式(1)定义的户维平面称为单纯形(simplex)平面。试验的处理组合则是将该平面试验域均分为若干格子[参见图4(a)]。故上述设计又称为单纯形格子设计(simplex—lattice design)[1]。万方数据

4 扬州大学学报（农业与生命科学板）第25卷 3.2矩心设计() 矩心是指试验空间的中心或重心，以矩心为处理点的设计称 4(10.0.0 为矩心设计。一般而言，任何中维空间都有一个矩心，其坐标为 (X1,X,,X,)=(1/p,1/p,,1/p),可由所有顶点坐标平均而得。但为了详细了解指示物在p维空间的响应，可再添加若干 2.120. (1/2.01/2,00 次级矩心以组成试验空间。说明如下： b■3：三角形矩心为(X,X,,X,)=(1/3,1/3,1/3):尚可 0.20.2) 加次级矩心(X,X,X)=(2/3,1/6,1/6),(1/6,2/3,1/6)和 B0.1.0.00.1/212.00 c0.01.0 (1/6,1/6,2/3),共4个组合。这里的次级矩心依次为三角形平面上一个上小三角形和两个下小三角形的中心，参见图6(a). 54种配料混合的处理点分 p=4:四面体矩心为(X1,X2,X,X)=(1/4,1/4,1/4, points for 4 ingredients 1/4),可添加的次级矩心为4个三角形平面的矩心：(X,X2,X” M14,2设计 X,)=(1/3,1/3,1/3,0),(1/3,1/3,0,1/3),(1/3,0,1/3,1/3)和 (0,1/3,1/3,1/3)。还可再添加各个三角形平面的次级矩心(X,X,X,X) 0.0 (2/3,1/6,1/6,0),(1/6,2/3,1/6,0), (1/6,1/6,2/3,0),(2/3,1/6,0,1/6), 12.0.1/2 (1/6,2/3,0,1/6),(1/6,1/6,0,2/3) 03,23,0 /3.02/3 共12个处理组合， b=5：矩心为(X,X,,X,X,X,)= (1/5,1/5,1/5,1/5,1/5). 可添加的5个 t0101 四面体矩心为(X,X,X,X,X) (1/4.1/4.1/4.1/4.0).(1/4.1/4.1/4.0. Fig.6 围6 ingredients 1/4),(1/4,1/4,0,1/4,1/4),(1/4,0, 代表心 1/4,1/4,1/4)和(0,1/4,1/4,1/4,1/4).还可考虑添加20个三角形矩心(X1,X,X,X,X)=(1/3 1/3,1/3,0,0),(1/3,1/3,0,1/3,0),(1/3,0,1/3,1/3,0),(0,1/3,1/3,1/3,0),…等. P>6的情形可以类推，相对于顶点设计，矩心设计的优点是明显的。前者，由于所有处理点都位于因子空间的顶点和边线上，所以不论P为何值，每一处理组合实际上都最多只可能是2种配料的混合，这是直线因子空间所快定的，而矩心设计，可获得力种配料混合的直接信息，对正确推断配料混合的最适比率将极有帮助，但矩心设计的实验实施比顶点设计麻须。在实践上，结合顶点设计和矩心设计的优点是理想的。例如，M{3,2}加(X1,X2,X)=(1/3,1/3, 1/3),(2/3,1/6,1/6),(1/6,2/3,1/6)和(1/6,1/6,2/3)[图6(a)],或M{3,3}加(X1,X,X,)=(1/3, 1/3,1/3)[图6(b)门的处理点分布，比之M{3,2)或M{3,3)(图4)，显然更为均匀，更能代表试验域。这种结合又称为单纯形格子-矩心设计(simplex lattice-centroid design)a。 3.3极顶设计(extreme vertex design) 许多混合试验的因子空间往往有某些限制，最常见的情形是不需要或不应该包含X一0或1的水平 (严格地说，0或1水平不能构成混合试验)，因而不存在顶点处理组合，这里又分2种情形：一是X具有下限1>0或上限U<1:二是X同时具有不为0的下限和不为1的上限，即有0<L≤X≤U,<1.这时的试险设计，首先要确定极顶（以极顶代棒顶点），然后骑定极顶诈线上的一些边界点（一毅用连线的中点)和/或矩心点，由于边界中点和矩心均可由极顶直接导出，放称之为极顶点设计或极顶设计 (来完待续) 万方数据

4 扬州大学学报(农业与生命科学版) 第25卷 3．2矩心设计(centroid design) 矩心是指试验空间的中心或重心，以矩心为处理点的设计称为矩心设计。一般而言，任何P维空间都有一个矩心，其坐标为 (X。，X2，…，Xp)=(1ip，1／p，…，l／p)，可由所有顶点坐标平均而得。但为了详细了解指示物在P维空间的响应，可再添加若干次级矩心以组成试验空间。说明如下：户=3：三角形矩心为(Xl，X2，X3)一(1／3，1／3，1／3)；尚可添加次级矩心(Xl，X2，X。)一(2／3，1／6，1／6)，(1／6，2／3，1／6)和 (1／6，1／6，2／3)，共4个组合。这里的次级矩心依次为三角形平面上一个上小三角形和两个下小三角形的中心，参见图6(a)。 P一4：四面体矩心为(X1，X2，X。，X。)一(1／4，1／4，1／4， I／4)。可添加的次级矩心为4个三角形平面的矩心：(X，，X。，X。， X4)一(1／3，1／3，1／3，O)，(1／3，1／3，0，1／3)，(1／3，0，1／3，1／3)和 (o，1／3，1／3，1／3)。还可再添加各个三角 B(O…1 0 O)(O，1／2，112，O) C(0,0，I，0) 图5 4种配料混合的处理点分布 Fig．5 Distribution of experimental points for 4 ingredients M{4，2}设计 (1／5，1／5，1／5，1／5，115)。可添加的5个(o，1，o) (o，1／2，1／2) (o，0．1) (o，1，o)(o，2／3，113)(o，1／3，2J，3)(0，0，1) 四面体矩心为(X，，X2，X3，Xt，X5)一图6 3种配料的单纯．形格子一矩心设计 (1／4，114，I／4，1／4，O)，(1／4，I／4，1／4，0， Fig．6 Simplex iattice—controid design for 3 ingredients 1／4)，(1／4，1／4，0，1／4，1／4)，(1／4，0， O代表矩心 1／4，1／4，1／4)和(O，1／4，114，1／4，1／4)。还可考虑添加20个三角形矩心(X1，X2，X。，墨，X。)=(1／3， 113，1／3，0，O)，(1／3，1／3，0，1／3，0)，(1／3，0，1／3，1／3，O)，(0，1／3，1／3，1／3，O)，…等。 p≥6的情形可以类推。相对于顶点设计，矩心设计的优点是明显的。前者，由于所有处理点都位于因子空间的顶点和边界线上，所以不论P为何值，每一处理组合实际上都最多只可能是2种配料的混合。这是直线因子空间所决定的。而矩心设计，可获得P种配料混合的直接信息，对正确推断配料混合的最适比率将极有帮助。但矩心设计的实验实施比顶点设计麻烦。在实践上，结合顶点设计和矩心设计的优点是理想的。例如，M{3，2)加(X，，X。，X。)=(1／3，1／3， 1／3)，(2／3，1／6，1／6)，(1／6，2／3，1／6)和(1／6，1／6，2／3)[图6(a)]，或M{3，3)加(x1，X2，X3)=(1／3， 1／3，1／3)[图6(b)]的处理点分布，比之M{3，2)或M{3，3)(图4)，显然更为均匀，更能代表试验域。这种结合又称为单纯形格子一矩心设计(simplex lattice—centroid design)[2】。 3．3极顶设计(extreme vertex design) 许多混合试验的因子空间往往有某些限制，最常见的情形是不需要或不应该包含Xt一0或1的水平 (严格地说，0或1水平不能构成混合试验)，因而不存在顶点处理组合。这里又分2种情形：一是Xr具有下限厶>o或上限U，<1；二是五同时具有不为0的下限和不为1的上限，即有o<厶≤X，≤Ui<1。这时的试验设计，首先要确定极顶(以极顶代替顶点)，然后确定极顶连线上的一些边界点(一般用连线的中点)和／或矩心点。由于边界中点和矩心均可由极顶直接导出，故称之为极顶点设计或极顶设计[3“]。 (未完待续) 墨以∥∞ 墨．¨八，∥ ” 3 1 O r￡，叫 X ，，凡 ■ 一～～～～ K佻班旭筒 (((1 r r 心h h又的肛肛船憷巧次一心地理一级朋肛山组队矩舶柚怫色溉，Ⅲ 一一一一一一万方数据

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