第29次课 教学内容(或课题):§1.泛函延拓定理 目的要求:掌握泛函延拓定理 教学过程: 第九章巴拿赫空间中的基本定理 本章将介绍 Banach空间中的四个著名定理:Hahn- Banach 泛函延拓定理,一致有界性定理,逆算子定理和闭图象定理,这些 定理充分显示了泛函分析的威力及其广泛应用 §1.泛函廷拓定理 本节所讨论的问题是任何非零赋范空间上是否有非零线性 连续泛函?如果有,是否有足够多?这些问题与下面的泛函延拓 问题有关,即在个子空间(那怕是有限维子空间)上线性连续泛 函是否可以延拓成为整个空间上的线性连续泛函而保持范数不 变?这些都是泛函分析中的最基本问題 我们把问题提得更具体一些,设X是线性赋范空间,Z是X的 子空闾,f是Z上线性连续泛函,令1g=supf(x)|,则∫z< 1 ∞,于是当xZ时,有f(x)|≤∫!划,现在问:是否存在整个空 间X上的线性连续泛函f,使当x∈z时,有f(x)=f(x),并且 lx=|升z,即对任何x∈X,成立|f(x)≤∫2l? 为了解决这个问题,我们令P(x)=fE础,则p(x)是在整个 x上有定义的泛函,并且满足 1°p(ax)-=|a|p(x),x∈H,a为数 2°p(x+y)≤P(x)÷?(3),x,y∈x 称X上满足条件1°和2°的泛函为次线性泛函.这样,前面所提 问题可以化成下面更一般的问题:设f是线性空间x的子空间44 第 29 次课 教学内容(或课题)： §1.泛函延拓定理 目的要求： 掌握泛函延拓定理. 教学过程：