上定义的线性泛函,p(x)是X上次线性泛函,满足f(x)|≤ P(x),xZ,问是否存在X上定义的线性泛函手,使在上成立 子(x)=f(r),片且满足(f(x)|≤p(x),xX? 定理l(Hahn- Banach泛函延拓定理)设x是实线性空间, p(x)是X上次线性泛函若∫是X的子空间Z上的实线性泛函, 且被P(x)控制,即满足 f(x)≤p(x),x∈z, 则存在X上的实线性泛函子使当c∈名时,有f(x)=f(x),并且 在整个空间X上仍被P(x)控制, 子(x)≤p(ax),x∈X 证明我们一维一维地逐步延拓,不妨设z为X的真子空间 否则结论是乎凡的.因名÷X,存在xX,但x∈Z.记Y为由z 和x0所张成的线性子空间,则y中任何元素3,可以被唯一地表 示成为犭=x+txo,其中r∈名,t是实数.事实上,若又有y=x1+ t1x0,x1∈么,t为实数,则有x-x1=(t1-t)x,但x-x1∈名,x0÷0, 且x0∈Z,所以必须t1一t=0,因而t1=t,x1=x0,我们首先把Z 上的泛函∫延拓到Y上.如果线性泛函g是f在Y上的延拓,则 对Y中任意向量y=x+tx,x∈Z,t为实数,有 g(3)=f(x)+t9(x) 其中f(x)是已知的(因x∈Z),给定后,也唯一确定了,因此要 确定g在y的值,只要确定与x和都无关的实数值g(xo),使对 任何y∈Y,都有g(3)≤卩(y),即只要寻找实数c,使不等式f(x) +tc≤p(x+1x0)对一切x∈Z和一切实数E成立,为此,只要寻找 实数6,使对一切x∈X和一切t>0,不等式 c≤p(x+txl)-f(x) 和对一切x∈X,t<0,不等式45