证明(→)设1,B2,…,B也是W的基,设矩阵A=(a1),(k,k2,……,kr)是齐次线性方程组 XA=0的一个解,即 (k1k2…kr)A k11+k22+…+k月=(k1…kr)A 因为1,B2,……,B线性无关,所以k1=k2 kr=0.即XA=0只有零解所以|4≠0 ()设 k1/1+k2B2+…+krBx=0 因为a1,a2,……,ar线性无关,所以 )A=0 由于|4≠0,故齐次线性方程组只有零解,即k1=k2 kr=0.于是1,B2,…,B线性无关.又 因 所以1,B2,…,B是W的基 3.设V为数域K上的n维向量空间.证明:对任何大于n的自然数m,一定存在由V的m个向量 组成的向量组,使其中任何n个向量都构成V的基 证明由习题3-44的结果可以知道,V不可能表示成它的有限多个真线性子空间的并集.对 m≥n施行数学归纳法.当m=n时结论成立.假设已经找到满足条件的m-1≥n个向量的向量组 1,…:,am-1.把其中任意n-1的向量生成的线性子空间记为W(=1,……,s),则因V≠∪W,存在 向量 am EUw1(i=1,…,s)·则向量组a1,…,am也满足条件 习题36 1.A取何值时,方程组 (入+3)x1+ 2 r (入-1)x2+ 3(X+1)x1+x2+(+3)x3=3A 有解?在有解的情况下,求出一般解 解:系数行列式等于2(A-1).当A≠0,1时,方程组有唯一解 当λ=0时,一般解为:x1=-x3,x2=x3,x3是自由未知量; 当λ=1时,原方程组无解: (⇒)  β1, β2, · · · , βr g W z, ]^ A = (aij ), (k1, k2, · · · , kr) Ht&@AB XA = 0 Hf-,  (k1 k2 · · · kr)A = 0. J k1β1 + k2β2 + · · · + krβr = (k1 · · · kr)A   α1 . . . αr   = 0. !" β1, β2, · · · , βr t&,*, #$ k1 = k2 = · · · = kr = 0,  XA = 0 {Go-. #$ |A| 6= 0. (⇐)  k1β1 + k2β2 + · · · + krβr = 0, J (k1 · · · kr)A   α1 . . . αr   = 0, !" α1, α2, · · · , αr t&,*, #$ (k1 k2 · · · kr)A = 0. N< |A| 6= 0, !Ht&@AB{Go-,  k1 = k2 = · · · = kr = 0. < β1, β2, · · · , βr t&,*. Q ! dim W = r, #$ β1, β2, · · · , βr  W z. ∗3.  V " K y n F pq. ST: ￾;< n g m, H1kN V  m f B* B, '<￾ n f mu* V z. : N`a 3–4.4 ">$`, V U>c*8Gs ft&￾pqW . m > n l OPD. b m = n R"#*+. 1 j-.12 m − 1 > n f  B α1, · · · , αm−1. N<￾
n − 1  *t&￾pq" Wi (i = 1, · · · , s), J! V 6= S Wi , 1k  αm 6∈ S Wi (i = 1, · · · , s). J B α1, · · · , αm g-.12.
3–6 1. λ zR, @AB    (λ + 3)x1 + x2 + 2x3 = λ λx1 + (λ − 1)x2 + x3 = 2λ 3(λ + 1)x1 + λx2 + (λ + 3)x3 = 3λ G-? kG-!, s%H}-. : j )V< λ 2 (λ − 1). b λ 6= 0, 1 R, @ABG,H-:    x1 = λ − 3 λ − 1 x2 = λ + 3 λ − 1 x3 = 3 − λ λ − 1 , b λ = 0 R, H}-": x1 = −x3, x2 = x3, x3 gNz ; b λ = 1 R, K@AB,-. · 7 ·