2.设V为数域K上n维向量空间,判断V的下列子集W是否构成V的线性子空间 (1)设a1,a2,…,ar为V中给定的r个向量 W={∈V|a1,a2,……,ar,B线性相关}; (2)设a1,a2,……,ar为V中给定的r个向量,W是V中不能由a1,a2,…,ar线性表示的全体向量 所构成的集合 解:(1)是;(2)不是 3.设α1,a2,…,ar为K中给定的r个向量,证明 W={(c1,c2,……,cr)lc1a1+c2a2+ 组成K"的子空间 证明:显然WsK且(0,0,…,0)∈W,从而W非空 对任意的(a1,…,ar),(b1,…,b)∈W以及k∈K,有 (a1+b1)a1+…+(ar+br)ar=a1a1+…+arar+b1a1+…+bar=0+0=0 所以 ar)+(b1,……,bn)∈W (ka1)a1+(ka2)a2+…+(kar)ar=k(a1a1+a202+……+a1ar)=k.0=0. 所以 r)∈W V成为K"的子空间 设W1,W2,…,W为K的s个线性子空间.W=W1∪W2U…UW证明:W为Kn的线性 子空间的充分必要条件是,存在i(1≤i≤s),使W=W1 证明:充分性是显然的.下面证必要性.对s用归纳法.当s=1时结论显然成立.假定结论对s-1 成立,考察W=W1UW2U…∪W如果W≠W3,则可取β∈W\W对于任意的a∈Ws,必有 B+ka∈W\W(从β+ka∈W以及α∈W可以推得β∈Ws,矛盾).当k=1,…,s时,s个向量中必 有两个向量属于同一个W(1≤i≤s-1).这两个向量相减后可得a∈W.因此WssW1U…UW-1, 于是W=W1U…UW3-1.利用归纳假设,可得一个i,1≤i≤s-1使得W=W2.结论成立 习题3-5 1.求由下列向量所张成的线性子空间的基与维数 (1)a1=(2,1,11,2),a2=(1,0,4,-1),a3=(1,4,16,15),a4=(2,-1,5,-6),a5=(1,6.,22,23) (2)a1=(1,-4,15,5,-4),a2=(0,7,29,-8,7),a=(2,-1,1,1,-3),a4=(1,-4,3,5,-4 解:(1)维数2,基a1,a2 (2)维数4,基a1,a2,a3,a4 2.设W为向量空间V的子空间,a1,a2,……,ar为W的一个基,A=∑aaj,i=1,2, 证明:1,B2,…,房也是W的基的充分必要条件是 ≠0. arl ar22.  V " K y n F pq, |} V ￾ W )u* V t&￾pq. (1)  α1, α2, · · · , αr " V  r f , W = {β ∈ V | α1, α2, · · · , αr, β t&e*}; (2)  α1, α2, · · · , αr " V  r f , W  V UcN α1, α2, · · · , αr t&3 #u* T. : (1) ; (2) U. 3.  α1, α2, · · · , αr " Kn  r f , ST: W = {(c1, c2, · · · , cr) | c1α1 + c2α2 + · · · + crαr = 0} B* Kr ￾pq. :  W ⊆ Kr ? (0, 0, · · · , 0) ∈ W, C% W np. ￾
 (a1, · · · , ar),(b1, · · · , br) ∈ W $h k ∈ K, G (a1 + b1)α1 + · · · + (ar + br)αr = a1α1 + · · · + arαr + b1α1 + · · · + brαr = 0 + 0 = 0. #$ (a1, · · · , ar) + (b1, · · · , br) ∈ W. (ka1)α1 + (ka2)α2 + · · · + (kar)αr = k(a1α1 + a2α2 + · · · + arαr) = k · 0 = 0. #$ k(a1, · · · , ar) ∈ W. W *" Kr ￾pq. ∗4.  W1, W2, · · · , Ws " Kn  s ft&￾pq. W = W1 ∪ W2 ∪ · · · ∪ Ws. ST: W " Kn t& ￾pq0@&12, 1k i (1 6 i 6 s), ' W = Wi . : 0&. S@&&. s PD. b s = 1 R"#*+. 1"# s − 1 *+,  W = W1 ∪ W2 ∪ · · · ∪ Ws.  W 6= Ws, J>z β ∈ W \ Ws. <￾
 α ∈ Ws, @G β + kα ∈ W \ Ws (C β + kα ∈ Ws $h α ∈ Ws >$^P β ∈ Ws, 45). b k = 1, · · · , s R, s f @ G7f <CHf Wi (1 6 i 6 s−1). w7f e>P α ∈ Wi . !O Ws ⊆ W1 ∪ · · · ∪Ws−1, < W = W1 ∪ · · · ∪ Ws−1. 3P1, >PHf i, 1 6 i 6 s − 1 'P W = Wi . "#*+.
3–5 1. sN #.*t&￾pqzBF: (1) α1 = (2, 1, 11, 2), α2 = (1, 0, 4, −1), α3 = (1, 4, 16, 15), α4 = (2, −1, 5, −6), α5 = (1, 6, 22, 23); (2) α1 = (1, −4, 15, 5, −4), α2 = (0, 7, 29, −8, 7), α3 = (2, −1, 1, 1, −3), α4 = (1, −4, 3, 5, −4). : (1) F 2, z α1, α2. (2) F 4, z α1, α2, α3, α4. 2.  W " pq V ￾pq, α1, α2, · · · , αr " W Hfz, βi = Pr j=1 aijαj , i = 1, 2, · · · , r. ST: β1, β2, · · · , βr g W z0@&12 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a11 a12 · · · a1r a21 a22 · · · a2r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ar1 ar2 · · · arr ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 6= 0. · 6 ·