第十三章向量分析 然后各式两端分别对于从1到k求和注意到在求和的过程中,各 片曲面S的边界曲线中不属于的那些曲线要先后沿其正反两个 方向分别积分一次因而互相抵消.于是就得到 fx++2h=∑∫(xF)=(xF) 于是 Stokes公式得证 以上用到向量场 F(x,y,z)=X(x,y,)i+Y(x,y,z)j+Z(x,y,)k k 的旋度算子:V×F Ox oy 0= 8-1(21(2 5-5-2旋度及其物理意义 设M为固定点,而0为单位向量,丌是通过点M且以为法向量的 (有向)平面在x上取一个以M为中心,以为半径的圆盘S其边界为 L.积分Fd是向量场沿L的环流量 在圆盘S上单位面积的平均环流量就是积分 由 Stokes公式得到 V×F 在上式中令r>0,由被积函数的连续性就得到 F.d=(×F(M 这就是说,在点M处,向量VxF在方向的投影等于,向量场 F沿圆周L的环流量当r→0时的极限.它反映了向量场F环绕向 量n0的旋转强度 因此V×F是这样一个向量,它在某个方向,比如n0方向的投影 第十三章向量分析第十三章 向量分析 第十三章 向量分析 然后各式两端分别对于 i 从 1 到 k 求和.注意到在求和的过程中, 各 片曲面 Si 的边界曲线中不属于 S 的那些曲线要先后沿其正反两个 方向分别积分一次,因而互相抵消. 于是就得到 ( ) ( )    + + =    =    = S k S i S Xdx Ydy Zdz F dS F dS i      于是 Stokes 公式得证. 以上用到向量场 F x y z X x y z i Y x y z j Z x y z k     ( , , ) = ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) 的旋度算子： X Y Z x y z i j k F             = = k y X x Y j x Z z X i z Y y Z              −    +        −   +           −   5-5-2 旋度及其物理意义 设 M 为固定点, 0 n  为单位向量, 是通过点 M 且以 0 n  为法向量的 (有向)平面.在  上取一个以 M 为中心, 以 r 为半径的圆盘 Sr 其边界为 Lr . 积分   Lr F dl   是向量场沿 Lr 的环流量. 在圆盘 Sr 上单位面积的平均环流量就是积分   Lr F dl r   2 1  由 Stokes 公式得到    =   S F dS r L F dl r r r     2 2 1 1   在上式中令 r →0,由被积函数的连续性就得到 ( ( )) . 1 lim 2 0 0   =   → L F dl F M n r r r      这就是说, 在点 M 处, 向量 F   在 0 n  方向的投影等于, 向量场 F  沿圆周 Lr 的环流量当 r →0 时的极限. 它反映了向量场 F  环绕向 量 0 n  的旋转强度. 因此 F   是这样一个向量, 它在某个方向，比如 0 n  方向的投影