拉普拉斯变换一基本性质 拉普拉斯变换一基本性质 微分性f(t)=sF(s)-f(0 微分性f(t)=sF(s)-f(0.) 明:6f(te"t=le"df(t) 变换 CsV(s)-cv(o e-f(to-of(tX-se-tldt o-f(0_)+s f(t)e-dt O。变 网络的初始状态,换路信息 Hh+e-o 拉普拉斯变换一基本性质 拉普拉斯变换一基本性质 微分性f(t)=sF(s)-f(0.) 积分性 f(tdt Fs) 证明略 变换V(s)=Lsr(s)-Lr0.) 例::t÷,ut)= j8(t)dt=r(t)=ju 延迟定理 f(t-T)÷F(s)e 证明略 例:∵u( )'==e ① I0) 变换 位移定理f(teM与F(s-A) 证期略 s) )=1(0)+vl (t≥0) (尾此骂 拉普拉斯变换一基本性质 拉普拉斯变换一基本性质 f(t)*h(t)=F(s)H(s) f(t)*h(t)=F(s)H(s) ()h()-r()a(-)dxc“d定自x0)h()=.r(h(;)rca o drr(t)-h(t-T) “找到了! S dt.r(). h(u )e (r+udu(t Y(?)=F(?)H? r(r)e"dt[ h(t)e""dt f. r(r)e"dth h(u)e"du 66 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 拉普拉斯变换--基本性质 微分性 () ( ) ( ) 0- f' t = sF s − f () () ( ) ( )( ) ( ) () f ( ) () 0 sF s 0 f 0 s f t e dt e f t f t - se dt f' t e dt e df t 0 st 0 st 0 st 0 st 0 st = − + = − + = − = − ∞ − − ∞ − ∞ − ∞ − ∞ − ∫ ∫ ∫ ∫ − − − − − 证明： 网络的初始状态，换路信息 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 拉普拉斯变换--基本性质 ＋ CS － I( ) s V( ) s ( ) s V 0- ＋ － () () ( ) I s = CsV s − CV 0- ＋ － I( ) s V( ) s CS ( ) CV 0- 微分性 ( ) ( ) ( ) 0- f' t = sF s − f 变换变换 变换变换 等 效 等 效 ( ) ( ) dt dV t I t = C ＋ － V(t) I(t ) ( ) V 0- C ＋ － I(t) ( ) V 0- ＋ － V(t) C 等 效 等 效 *** ∫ = + t i t d t C v t v 0 ( ) ( ) 1 ( ) (0) （t≥0） 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 拉普拉斯变换--基本性质 ( ) ( ) dt dI t V t = L ＋ － V( ) t I( ) t ( ) I 0- L ＋ V( ) t － I( ) t ( ) I 0- L 等 效 等 效 ＋ － ( ) s I 0- I( ) s LS V( ) s () () ( ) V s = LsI s −LI 0- ＋ LS － I( ) s ( ) LI 0- V( ) s － ＋ 变换变换 微分性 () ( ) ( ) 0- f' t = sF s − f 变换变换 等 效 等 效 *** ∫ = + t v t d t L i t I 0 ( ) ( ) 1 ( ) (0) （t≥0） 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 拉普拉斯变换--基本性质 积分性 ( ) ( ) s F s f t dt t 0 = ∫ 证明略 例： () () () s 1 δ t =1, ∴u t = δ t dt = Q ∫ ( ) 2 s 1 ∴r(t) = u t dt = ∫ 延迟定理 ( ) () s τ f t - τ F s e − = 证明略 例： ( ) ( ) 0 -st 0 es 1 , u t - t s 1 Q u t = ∴ = 位移定理 f (t ) () e F s - λ λt = 证明略 例： ( ) s-λ 1 , e s 1 u t λt Q = ∴ = 补充作业： 推导a<0时的尺度变换定理，解释定理的物理意义。 补充作业： 推导a<0时的尺度变换定理，解释定理的物理意义。 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 拉普拉斯变换--基本性质 卷积定理 f () () ( ) ( ) t ∗ h t = F s ⋅ H s 证明： () ( ) ∫ ∫ ∞ ∞ − = ⋅ 0 τ st d τ f τ h t - τ e dt ( ) () = F (s) ⋅ H (s) = ∫ ∫ ∞ ∞ − − 0 0 s τ s f τ e d τ h t e d t t () () ( ) ∫ ∫ ∞ ∞ − + = ⋅ 0 0 s τ u d τ f τ h u e du (取 u = t − τ ) f () () ( ) ( ) t h t f τ h t - τ d τ e dt st 0 t 0 − ∞ ∫ ∫ L{ ∗ } = ⋅ . * ( ) 当t - τ < 0时，h(t - τ) = 0 (根据定义) (根据定义) 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 拉普拉斯变换--基本性质 卷积定理 f (t )∗ h (t ) = F (s ) () ⋅ H s 证明： () ( ) ∫ ∫ ∞ ∞ − = ⋅ 0 τ st d τ f τ h t - τ e dt () () = F (s) ⋅ H (s) = ∫ ∫ ∞ ∞ − − 0 0 s τ su f τ e d τ h u e du () () ( ) ∫ ∫ ∞ ∞ − + = ⋅ 0 0 s τ u d τ f τ h u e du f () () ( ) ( ) t h t f τ h t - τ d τ e dt st 0 t 0 − ∞ ∫ ∫ L{ ∗ } = ⋅ . * 找到了！ Y(?) () () =F ? ⋅H ? 找到了！ Y(?) () () =F ? ⋅H ?