一案线性电隋分轿盖逊要点复习羽 §1-1:魏性电路分析号 P集中假设、甚本方法、基本参、基本术语 参考方向、基本定律0cL,KL,voR 《电路分析原理》 光_认真孰着新 §1-2:常见线性电路元件及其約束方程 元件分类、电阻元件、独立源、受源、动态元件 第二章:拉氏分析 单口)网络的等效 口等效的概念、源的转移、就文宁定理、诺额定理 第一讲 1-4:典型源 15:性定常网络的时城分析(一阶动态电路分析 2009.10.13地(二刻) 2初始状态、初值、时城分析、三要囊法 2-2(135), 电路分析(电路的复微解法) c定义、复与相量、相量法与复败法、阻抗与导纳 2-3(1,357) 正弦稳态功率、网络的稳定性 2-4 口传递函数、频率响应、一阶滤波、二阶滤波 方法定带? 基本定律和参考方向 戴文宁和诺顿定理(线性、含源) 电荷守恒定律高斯定理):心=0∑v(iw)=0 时域形式、 基尔霍夫第一定律:(电流定律、KCL定律) 复数形 文宁源电路 任一集中参数电路中的任一节点,在任一时刻,流入 s城形式 (或是流出)该节点的电流的代数和为零 记为:∑(t)=0 loc w) 势守恒定律环路定理):10∑x(w)=0 诺顿源电路 基尔霍夫第二定律:(电压定律、KⅥL定律 任一集中参数电路中的任一回路,在任一时刻,沿该 回路所有支路的电压升(或电压降)的代数和为零 复数形式 记为:∑yf(to=0 各单位信号及响应之间的关系 衰羽 正弦稳态电路分析-相量法(复数法) 复 含N个独立的动态元件的电路建立的微分方程: r(D)=l() n()=(1) 考虑x()=4ee时的稳态响应y()=y"e P(0)=1c0--)50N (a(0)y+a()y-+…+4()y+4e"2x=4 推理 limP(t)=8(0) P(t)hat 传递函数H(jo) FGo) XGo) inh△(t)=h() h(t)=s'(t) Y0)=HG)·x0的)
1 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 第 ？讲： 复习 北京大学 wwhu 北京大学 《电路分析原理》 第二章：拉氏分析 第一讲 2009.10.13 兴趣 认真 执著 创新 作业(下周二课前交)： 2-2(1,3,5)， 2-3(1,3,5,7), 2-4 作业(下周二课前交)： 2-2(1,3,5)， 2-3(1,3,5,7), 2-4 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 第一章：线性电路分析基础--要点复习 §1-1：线性电路分析导论 集中假设、基本方法、基本参数、基本术语 参考方向、基本定律(KCL,KVL,VCR) §1-2：常见线性电路元件及其约束方程 元件分类、电阻元件、独立源、受控源、动态元件 §1-3：线性二端（单口）网络的等效 等效的概念、源的转移、戴文宁定理、诺顿定理 §1-4：典型源信号 §1-5：线性定常网络的时域分析（一阶动态电路分析） 初始状态、初值、时域分析、三要素法 §1-6：正弦稳态电路分析(电路的复数解法) 定义、复数与相量、相量法与复数法、阻抗与导纳 正弦稳态功率、网络的稳定性 §1-7：传递函数、滤波器 传递函数、频率响应、一阶滤波器、二阶滤波器 复习 方法?概念?定律？ 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 基本定律和参考方向 基尔霍夫第二定律：（电压定律、KVL定律） 任一集中参数电路中的任一回路，在任一时刻，沿该 回路所有支路的电压升（或电压降）的代数和为零。 记为：∑vj (t0)=0 电势守恒定律(环路定理)： ∫E•dl=0 *** 基尔霍夫第一定律：（电流定律、KCL定律） 任一集中参数电路中的任一节点，在任一时刻，流入 （或是流出）该节点的电流的代数和为零。 记为：∑ij (t0)=0 电荷守恒定律(高斯定理)：∫∫J•dS=0 复习 ∑Vi(jw) = 0 ∑Ii(jw) = 0 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 Zeq(jw) VOC(jw) + - 戴文宁源电路 诺顿源电路 ISC Zeq(jw) (jw) Ns Ns 等效 Ns Ns V(jw)=0 ISC(jw) + - Ns Ns I(jw)=0 VOC(jw) + - 时域形式、 复数形式、 S域形式。。。 *** 戴文宁和诺顿定理(线性、含源) 复习 复数形式 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 各单位信号及响应之间的关系 r t ut '( ) ( ) = 复习 [ ( ) ( )] 1 ( ) − − Δ Δ PΔ t = u t u t limP ( )t ( ) Δ Δ 0 = δ t → N u(t) s(t) N δ(t) h(t) h (t) Δ P ( ) t Δ NN 定义: ht s t ( ) '( ) = 推理: ut t '( ) ( ) = δ limh ( )t ( ) Δ Δ 0 = h t → 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 ( ... ) ( ) ( ) 1 1 0 ( 1) 1 ( ) a y t x t dt d a dt d a dt d a n n n n n n + + + + = − − − 考虑 时的稳态响应 则： j j t x t A e e ϕ0 ω 0 ( ) = j t j j t n j n n n a j a j a j a Y e e A e e ϕ y ω ϕ ω ω ω ω 0 0 0 0 1 1 1 1 ( ( ) + ( ) +...+ ( ) + ) = − − j t j y t Y e e ϕ y ω 0 ( ) = * 含Ｎ个独立的动态元件的电路建立的微分方程： 正弦稳态电路分析--相量法(复数法) 取： F(jw) Y(jw) X(jw) 引入： = Y(jω) X(jω) 传递函数 H(jω) = F(jω) 1 复习 H(j H(j ωω)) X(j ω) Y(j ω) 频域描述 输入信号 （激励） 输出信号 （响应） Y(j ω ) = H(j ω ) · X(j ω ) H(j H(j ωω)) X(j ω) Y(j ω) 频域描述 输入信号 （激励） 输出信号 （响应） Y(j ω ) = H(j ω ) · X(j ω )
传递函数的幅频特性与相频特性 拉氏分析:内容提要 可以筒写为 最性电路的任意输入信号的响应 2变换娘分析和拉氏变换的引入 52-2拉普拉斯 Ha)=响应的复数形式Ya) 激励的复数形式XG jo) /o/eJo(o) 定义2本性质3.常用变换 2-3用拉氏变换求解绕性电路 1.本定律的变换〔运算形式)2支路的变换0a,IRLQ 为自变量 3.无源单口网络的变换 HG@)|:网络的幅频特性 幅频特性曲线 一广义欧定律的运算形式0((8)1() 4有源单口网络的变换 (c):网络的相频特性 为自变量 相频特性曲线 一文宁佯领定的运算形式o(8),lno(8),Zaq(8) 5求解:变换与反变换 频率响应曲线 52-4周络画微的描述 1.定义0H(8=(8)/F(8))2.性 本讲内容提要 第一章:线性电路分析基础举例 §2-1引言 稳求1:H(ja)=o/Va=? 1线性电路的任意输入信号的响应 02F,稳求2:ve=oa(at),vo= 2变换域分析和拉氏变换的引入 暂求4:V8=u(t §2-2拉普拉斯变换 暂求5:Va=8〔t 暂求6:Vs=f(t 8:; 定义2基本性质3常用变换 yt)sRxt),h(e)y 0)-HG)·x0 一章:线性电路分析基础举例 第一章:线性电路分析基础举例 求1:H(j)=Vo/N=? 求1:H(jc)=o/s=? 求2:a=cos(ot),Vo=? 求2:V=oos(ot),vo=?(取=l V求3: 求3: 求4 :8 求4 5 求6;Va=f(t 符号电路(相量横型)1j0C Vs(t)=oos(ot) Vs(o)=1 H0o)=io)24+1a-1lvo(l)=1/4 ①还原 HOo\ ys(o) 4+j(0-1/o
2 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 H(jω) =响应的复数形式 激励的复数形式 X(jω) Y(jω) = jΦ(ω) = |H(jω)|· e 可以简写为： ∠Φ 可以简写为： ∠Φ (ω) |H(jω)|：网络的幅频特性 Φ(ω) : 网络的相频特性 ω为自变量 ω为自变量 + = 频率响应曲线 相频特性曲线 幅频特性曲线 传递函数的幅频特性与相频特性 复习*** 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 §2－1 引言 1.线性电路的任意输入信号的响应 2.变换域分析和拉氏变换的引入 §2－2 拉普拉斯变换 1.定义 2.基本性质 3.常用变换 §2－3 用拉氏变换求解线性电路 1.基本定律的变换（运算形式） 2.支路的变换(Vs,Is,R,L,C) 3.无源单口网络的变换 --广义欧姆定律的运算形式(V(S)=Z(S)I(S)) 4.有源单口网络的变换 --戴文宁/诺顿定理的运算形式(Voc(S),Isc(S),Zeq(S)) 5.求解：变换与反变换 §2－4 网络函数的 s 域描述 1. 定义(H(S)=Y(S)/F(S)) 2. 特性 第二章：拉氏分析：内容提要 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 本讲内容提要 §2－1 引言 1.线性电路的任意输入信号的响应 2.变换域分析和拉氏变换的引入 §2－2 拉普拉斯变换 1.定义 2.基本性质 3.常用变换 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 第一章：线性电路分析基础—举例 + - Vs ~ 0.1F 5Ω 10Ω 0.2F + - Vo 求1：H(jω)=Vo/Vs=？ 求2：Vs=cos(ωt)，Vo=？ 求3：Vs=1，Vo=？ 求4：Vs=u(t)，Vo=？ 求5：Vs=δ(t)，Vo=？ 求6：Vs=f(t)，Vo=？ Ns Ns NL NN NL N x(t) y(t) 简化表示 输入 （激励） 输出 （响应） 稳 稳 稳 暂 暂 暂 H(j H(j ωω)) X(j ω) Y(j ω) 频域描述 输入信号 （激励） 输出信号 （响应） h(t) h(t) x(t) y(t) 输入信号 （激励） 输出信号 （响应） 时域描述 y(t) = F{ x(t), h(t) } Y(j ω ) = H(j ω ) · X(j ω ) H(j H(j ωω)) X(j ω) Y(j ω) 频域描述 输入信号 （激励） 输出信号 （响应） h(t) h(t) x(t) y(t) 输入信号 （激励） 输出信号 （响应） 时域描述 y(t) = F{ x(t), h(t) } Y(j ω ) = H(j ω ) · X(j ω ) 稳?暂? 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 第一章：线性电路分析基础—举例 + - Vs ~ 0.1F 5Ω 10Ω 0.2F + - Vo 求1：H(jω)=Vo/Vs=？ 求2：Vs=cos(ωt)，Vo=？ 求3：Vs=1，Vo=？ 求4：Vs=u(t)，Vo=？ 求5：Vs=δ(t)，Vo=？ 求6：Vs=f(t)，Vo=？ 符号电路(相量模型) 1/jωC + - Vs(jω) 10/jω ~ 5 10 + - 5/jω Vo(jω) 4 ( 1/ ) 1 ( ) ( ) ( ) ω ω ω ω ω + − = = Vs j j Vo j H j 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 第一章：线性电路分析基础—举例 + - Vs ~ 0.1F 5Ω 10Ω 0.2F + - Vo 求1：H(jω)=Vo/Vs=？ 求2：Vs=cos(ωt),Vo=？ 求3：Vs=1，Vo=？ 求4：Vs=u(t)，Vo=？ 求5：Vs=δ(t)，Vo=？ 求6：Vs=f(t)，Vo=？ Vs(t)=cos(ωt) Vs(jω)= 4 ( 1/ ) 1 ( ) ( ) ( ) ω ω ω ω ω + − = = Vs j j Vo j H j Vo(jω)=1/4 Vo(t)=cos(ωt)/4 还原 1 (取ω=1)
线性电路分析基础举例 第一章:线性电路分析基础举例 求1:H(jc)=Vo/s=? 求2;Ve=coa(ot),vo=? ).2F 0.1F 4 BVs c0.1F H(o)= Vs(jo) 4+j(e-l/e) 带通滤波:co 0.2F 0.2F 0.2F OIF 。w恐 解:Vo=0 章:线性电路分析基础举例 第一章:线性电路分析基础举例 稳求1:H(ja)=o/V=? 求1:H(jc)=Vo/N 0.2F 稳求2;Ws=coa(ot),Vo=? 求2:Wa=cos(ot),Vo=? 稳求3:V=1,Vo=? w0s'求4Ye=e),ye=? [02v OIF 5求4:v=u(t) 暂求5;Vs=8(t),Vo=? 求5;Va=8(t), 暂求6;V=f(t),Vo=? 求6;a=f(t a2v2(t)+a1v(1)+a0V(1)=A4 z(o)() v(0+)=K2 →1n()=…⑧ 一章:线性电路分析基础举例 第一章:线性电路分析基础举例 求1:H(jc)=Vo/Ne=? 求1:H(jQ)=Vo/Ne=? 求2:a=cos(ot),Vo=? 22: Vs=cos(ot), Vo=? /8 v。=? 求3:V=1,Vo=? 求4:Ve=u(t),Vo= ),vo= 求5;Va=8(t),Vo=? 求6;Va=f(t 8(t)=du(t)]/d N阶线性电路 h(t=d[s(t)]/dt 任意输入信号.的响应问题 y(u)=R x(, h(u)y 暂态+稳态
3 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 第一章：线性电路分析基础—举例 + - Vs ~ 0.1F 5Ω 10Ω 0.2F + - Vo 求1：H(jω)=Vo/Vs=？ 求2：Vs=cos(ωt)，Vo=？ 求3：Vs=1，Vo=？ 求4：Vs=u(t)，Vo=？ 求5：Vs=δ(t)，Vo=？ 求6：Vs=f(t)，Vo=？ + - Vs ~ 0.1F 5Ω 10Ω 0.2F + - Vo 直流：ω=0 解:Vo=0 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 第一章：线性电路分析基础—举例 + - Vs ~ 0.1F 5Ω 10Ω 0.2F + - Vo + - Vs ~ 0.1F 5Ω 10Ω 0.2F + - Vo + - Vs ~ 0.1F 5Ω 10Ω 0.2F + - Vo 直流：ω=0 极高频：ω=∞ 解:Vo=0 带通滤波器: ωo=1 4 ( 1/ ) 1 ( ) ( ) ( ) ω ω ω ω ω + − = = Vs j j Vo j H j 解:Vo=0 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 第一章：线性电路分析基础—举例 + - Vs ~ 0.1F 5Ω 10Ω 0.2F + - Vo 求1：H(jω)=Vo/Vs=？ 求2：Vs=cos(ωt)，Vo=？ 求3：Vs=1，Vo=？ 求4：Vs=u(t)，Vo=？ 求5：Vs=δ(t)，Vo=？ 求6：Vs=f(t)，Vo=？ tt≥≥00 稳 稳 稳 暂 暂 暂 + - Vs 5 ~ 10 5/jω + - Vo 10/jω V ( jω) = Z( jω)I( jω) 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 第一章：线性电路分析基础—举例 + - Vs ~ 0.1F 5Ω 10Ω 0.2F + - Vo 求1：H(jω)=Vo/Vs=？ 求2：Vs=cos(ωt)，Vo=？ 求3：Vs=1，Vo=？ 求4：Vs=u(t)，Vo=？ 求5：Vs=δ(t)，Vo=？ 求6：Vs=f(t)，Vo=？ 2 1 ' 0 0 ' 1 '' 2 (0 ) (0 ) ( ) ( ) ( ) v K v K a v t a v t a v t A o o o o o + = + = + + = ( ) ... v0 t = 初始状态 换路 初始值 通解 待定系数 特解 / 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 第一章：线性电路分析基础—举例 求1：H(jω)=Vo/Vs=？ 求2：Vs=cos(ωt)，Vo=？ 求3：Vs=1，Vo=？ 求4：Vs=u(t)，Vo=？ 求5：Vs=δ(t)，Vo=？ 求6：Vs=f(t)，Vo=？ δ(t)=d[u(t)]/dt h(t)=d[s(t)]/dt + - Vs ~ 0.1F 5Ω 10Ω 0.2F + - Vo 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 第一章：线性电路分析基础—举例 + - Vs ~ 0.1F 5Ω 10Ω 0.2F + - Vo 求1：H(jω)=Vo/Vs=？ 求2：Vs=cos(ωt)，Vo=？ 求3：Vs=1，Vo=？ 求4：Vs=u(t)，Vo=？ 求5：Vs=δ(t)，Vo=？ 求6：Vs=f(t)，Vo=？ h(t) h(t) x(t) y(t) 输入信号 （激励） 输出信号 （响应） 时域描述 y(t) = F{ x(t), h(t) } h(t) h(t) x(t) y(t) 输入信号 （激励） 输出信号 （响应） 时域描述 y(t) = F{ x(t), h(t) } ？ N阶线性电路 任意输入信号…的响应问题 暂态+稳态
引言一线性电路的任意输入信号的响应 引盲一线性电路的任意输入信号的响应 1.线性电路的任意输入响应 口例:均匀分段线性信号的表示 复习概念: u(t) 单位阶跃响应 单位脉冲响应 P(t)L h(t) 单位冲激响应 =[ut)-u(t-△=ls(t)-s(t-△j 正弦稳态响应 h(t=s(t) 天磁号 cos(ot fe=utut-akut2△) 任意偷号? Xj)凵yfja) uetA2-)-ut-2A)+3ut-2△)ut-3△ 2分段模、分段性2x1Ny △P(t)+2△P2(t-△)+3△P△(t-2△ 引言一线性电路的任意输入信号的响应 引盲一线性电路的任意输入信号的响应* 任意信号(有始信号)的处理:分段模拟 任意信号(有始信号)的处理:分段模拟 t)f1(t)=fO△)Pa(t△ f2(t)=f(1△)P(t-1△)△ f(t)=lim∑f,(t) f,(t)=f(kA)P△t-k△)△ yt)=im∑yk(t △=t/N 1-m△nw i∑f(k△)h2(-kA,△ ◇yx()=∑hs)hn、t-k△)△ )y.-.(+)h(-+ y(t=()h(t) 引盲一变换域分析和拉氏变换的引入 引盲一线性电路的任意输入信号的响应 *拉氏变换的数学问题 Y()=H)·X〔0)信号 物出信号 响应) →严格的数学推导和证明是数学课的任务 Ho a) 我们这里的任务就是会进行简单的拉氏变 换与反变换一筒单的积分计算 找一种变换方法 *拉氏变换引入电路分析 使得Y(2)=F?)H?) →明白它是如何成为分析电路的工具的 *学习拉氏变换的要求 f(t)h(t)y(t).y()=r(r).h(t-T)d →会用拉氏变换分析网络、求解电路响应 本课程不特别训练同学们在数学的海洋里 y(t)=f(t)+h()卷积 越游
4 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 引言--线性电路的任意输入信号的响应 1.线性电路的任意输入响应 复习概念： 单位阶跃响应 单位脉冲响应 单位冲激响应 正弦稳态响应 NN u(t) s(t) h (t) Δ P ( ) t Δ NN δ( ) t h( ) t = s'(t) NN X( ) jω Y( ) jω NN cos( ) ω t0 X( ) jω Y( ) jω NN ∑cos( ) ω ti 周期信号 正弦信号 任意任意信号信号？？ ÆÆ分段模拟、分段线性 分段模拟、分段线性 * 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 引言--线性电路的任意输入信号的响应 f(t) = u(t)+u(t − Δ)+u(t −2Δ) 0 t 1 2 3 Δ 2Δ 例：均匀分段线性信号的表示 = ΔPΔ (t)+2ΔPΔ (t − Δ) () +3ΔPΔ t −2Δ +L = [u(t)−u(t − Δ)]+2[u(t − Δ)( ) −u t −2Δ ]+3[ ] u( ) t −2Δ −u(t −3Δ) +L h ( ) t PΔ (t) Δ NN [ ] s() ( ) t s t Δ Δ 1 [ ] u() ( ) t u t Δ = − − Δ 1 = − − 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 引言--线性电路的任意输入信号的响应 0 Δ t f(t) 分段模拟 f1 (t) = f(0Δ)⋅PΔ (t)⋅Δ f2 (t) = f(1Δ)⋅PΔ (t -1Δ)⋅Δ fk+1 (t) = f(kΔ)⋅PΔ (t -kΔ)⋅Δ • • • • • • • • • • ＋ f () ( ) ( ) t f kΔ PΔ t -kΔ Δ N 1 k 0 N 1 k 0 k 1 ∑ = ∑ • • − = − = + y () ( ) ( ) t f kΔ h t -kΔ Δ N 1 k 0 Δ N 1 k 0 k 1 ∑ = ∑ ⋅ ⋅ − = − = + Δ 2 t Δ=t/N 响应响应 任意信号（有始信号）的处理： 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 引言--线性电路的任意输入信号的响应 0 Δ Δ2 3Δ t f(t) f() () t lim f t N 1 k 0 k 1 Δ 0 ∑ − = + → = 0 t () () ∑ − = + → = N 1 k 0 k 1 Δ 0 y t lim y t lim f() ( ) kΔ h t -kΔ Δ N 1 k 0 Δ Δ 0 = ∑ ⋅ ⋅ − = → () ( ) ∫ = ⋅ − ⋅ t 0 f τ h t τ dτ Δ=t/N y(t) () () = f t ∗h t 卷积 积分 卷积积分h(t) h(t) f(t) y(t) 分段模拟 * 任意信号（有始信号）的处理： 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 引言--变换域分析和拉氏变换的引入 y( )t = f(t) () ∗h t 卷积 卷积积分h(t) h(t) f(t) y(t) H(j H(jωω)) X(jω) Y(jω) 输入信号 （激励） 输出信号 （响应） Y(jω) = H(jω) · X(jω) () ( ) ( ) ∫ = ⋅ − ⋅ t 0 y t f τ h t τ dτ 找一种变换方法 使得Æ Y() () () ? =F ? ⋅H ? 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 引言--线性电路的任意输入信号的响应 * 拉氏变换的数学问题 * 拉氏变换引入电路分析 * 学习拉氏变换的要求 Æ严格的数学推导和证明是数学课的任务 我们这里的任务就是会进行简单的拉氏变 换与反变换—简单的积分计算 Æ明白它是如何成为分析电路的工具的 Æ会用拉氏变换分析网络、求解电路响应 本课程不特别训练同学们在数学的海洋里 遨游
本讲内容提要 拉普拉斯变换一定义 §2-1引言 拉氏变换 有始信号 1线性电路的任意输入信号的响应 F(s)=f(tle"dt 像函数 2.变换域分析和拉氏变换的引入 m F(s)=f(t) §2一2拉普拉斯变换 Cf(tedt 1定义2.基本性质3常用变换 拉氏反变换 原函 (t)=F(s)e ds m f(t)=F(s) 一对应 拉普拉斯变换一定义 Tea break/ 拉氏变换Fs)=ftet-fte"tF(s)ft 拉氏反变换ft)=nFse"ds f(t)=F(s) 口例:b(t)u(t)e的拉氏变换(像函数) bte"t=e"l。=1 b(t)=1 C ulte"dt=[e*dt= u(t)= edt soldt= e:1 拉普拉斯变换一基本性质 拉普拉斯变换一基本性质 唯一性Fs)4ft)二者一对应 唯一性F(s)f(t)二者一对应 选加性af1(t)+a2f2(t)与QF1(s)+aF2(s) 选加性af1(t)+a2f2(t)aF(s)+aF2(s) l:已烟cm 求 cost, sin(t的像函数 欧姆定律的拉氏变换 v(n)=.(s)()=I(s)Ba(n):R() v()=R1(1)=(s)=R(s 例3:KCL、KⅥL定律的拉氏变换 假设L1(t)=I1(s)(t)=2(s)… 性》∑()∑工(s) s-10s ∑1(t)=0[一性》∑工()=0
5 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 本讲内容提要 §2－1 引言 1.线性电路的任意输入信号的响应 2.变换域分析和拉氏变换的引入 §2－2 拉普拉斯变换 1.定义 2.基本性质 3.常用变换 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 拉普拉斯变换--定义 ( ) () ∫ ∞ −∞ − F s = f t e dt st 拉氏变换 ( ) ( ) ∫ + ∞ − ∞ = σ j σ j st f t F s e ds 2πj 1 拉氏反变换 有始信号 f (t ) = f (t ) () ⋅u t F( ) s = f(t) f( ) t =F(s) ( ) ∫ ∞ − − = 0 f t e dt st 像函数 像函数 原函数 原函数 tt域域 SS域域 f(t) F(s) 一一对应 *** 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 拉普拉斯变换--定义 ( ) () () ∫ ∫ ∞ − − ∞ −∞ − = = 0 F s f t e dt f t e dt 拉氏变换 st st ( ) ( ) ∫ + ∞ − ∞ = σ j σ j st f t F s e ds 2πj 1 拉氏反变换 F( ) s = f(t) f( ) t =F(s) 例： 的拉氏变换（像函数） () () αt δ t ,u t ,e ( ) s 1 u t e dt e dt st 0 st = = ∫ ∫ ∞ − ∞ − − 0 ( ) s 1 u t = δ( ) t e dt e 1 t 0 st 0 st = = = − ∞ − ∫ − δ( ) t =1 ( ) s-α 1 e e dt e dt 0 s-α t 0 αt st = = ∫ ∫ ∞ − ∞ − − s-α 1 eαt = *** 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 Tea break！ Tea break！ 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 拉普拉斯变换--基本性质 例1：已知 求 的像函数 , s α 1 eαt − Q = ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = − = + jωt -jωt jωt -jωt e e 2j 1 sinωt e e 2 1 cosωt ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − − = + =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + − = ∴ 2 2 2 2 s ω ω s jω 1 s jω 1 2j 1 sinωt s ω s s jω 1 s jω 1 2 1 cosωt 唯一性 F( ) () s ↔ f t 二者一一对应 迭加性 α1 f1 () () ( ) ( ) t + α2 f2 t = α1F1 s + α2F2 s s jω ω − = j t 1 e cosωt,sinωt *** 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 拉普拉斯变换--基本性质 例2：欧姆定律的拉氏变换 唯一性 F(s)↔ f(t) 二者一一对应 迭加性 α1 f1 (t )+ α2 f2 (t ) () () = α1F1 s + α2F2 s v t Ri t () () = vt V s () ( ) = it I s () ( ) = 例3：KCL、KVL定律的拉氏变换 假设 it Is 1 1 ( ) = ( ) it Is 2 2 ( ) = ( ) …… 迭加性 ∑it Is i i ( ) =∑ ( ) ∑it 0 i ( ) = 唯一性 ∑Ii(s) = 0 Ri t RI s () ( ) = 迭加性 迭加性 V s RI s () () = 唯一性 唯一性 ***
拉普拉斯变换一基本性质 拉普拉斯变换一基本性质 微分性f(t)=sF(s)-f(0 微分性f(t)=sF(s)-f(0.) 明:6f(te"t=le"df(t) 变换 CsV(s)-cv(o e-f(to-of(tX-se-tldt o-f(0_)+s f(t)e-dt O。变 网络的初始状态,换路信息 Hh+e-o 拉普拉斯变换一基本性质 拉普拉斯变换一基本性质 微分性f(t)=sF(s)-f(0.) 积分性 f(tdt Fs) 证明略 变换V(s)=Lsr(s)-Lr0.) 例::t÷,ut)= j8(t)dt=r(t)=ju 延迟定理 f(t-T)÷F(s)e 证明略 例:∵u( )'==e ① I0) 变换 位移定理f(teM与F(s-A) 证期略 s) )=1(0)+vl (t≥0) (尾此骂 拉普拉斯变换一基本性质 拉普拉斯变换一基本性质 f(t)*h(t)=F(s)H(s) f(t)*h(t)=F(s)H(s) ()h()-r()a(-)dxc“d定自x0)h()=.r(h(;)rca o drr(t)-h(t-T) “找到了! S dt.r(). h(u )e (r+udu(t Y(?)=F(?)H? r(r)e"dt[ h(t)e""dt f. r(r)e"dth h(u)e"du 6
6 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 拉普拉斯变换--基本性质 微分性 () ( ) ( ) 0- f' t = sF s − f () () ( ) ( )( ) ( ) () f ( ) () 0 sF s 0 f 0 s f t e dt e f t f t - se dt f' t e dt e df t 0 st 0 st 0 st 0 st 0 st = − + = − + = − = − ∞ − − ∞ − ∞ − ∞ − ∞ − ∫ ∫ ∫ ∫ − − − − − 证明： 网络的初始状态，换路信息 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 拉普拉斯变换--基本性质 ＋ CS － I( ) s V( ) s ( ) s V 0- ＋ － () () ( ) I s = CsV s − CV 0- ＋ － I( ) s V( ) s CS ( ) CV 0- 微分性 ( ) ( ) ( ) 0- f' t = sF s − f 变换变换 变换变换 等 效 等 效 ( ) ( ) dt dV t I t = C ＋ － V(t) I(t ) ( ) V 0- C ＋ － I(t) ( ) V 0- ＋ － V(t) C 等 效 等 效 *** ∫ = + t i t d t C v t v 0 ( ) ( ) 1 ( ) (0) （t≥0） 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 拉普拉斯变换--基本性质 ( ) ( ) dt dI t V t = L ＋ － V( ) t I( ) t ( ) I 0- L ＋ V( ) t － I( ) t ( ) I 0- L 等 效 等 效 ＋ － ( ) s I 0- I( ) s LS V( ) s () () ( ) V s = LsI s −LI 0- ＋ LS － I( ) s ( ) LI 0- V( ) s － ＋ 变换变换 微分性 () ( ) ( ) 0- f' t = sF s − f 变换变换 等 效 等 效 *** ∫ = + t v t d t L i t I 0 ( ) ( ) 1 ( ) (0) （t≥0） 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 拉普拉斯变换--基本性质 积分性 ( ) ( ) s F s f t dt t 0 = ∫ 证明略 例： () () () s 1 δ t =1, ∴u t = δ t dt = Q ∫ ( ) 2 s 1 ∴r(t) = u t dt = ∫ 延迟定理 ( ) () s τ f t - τ F s e − = 证明略 例： ( ) ( ) 0 -st 0 es 1 , u t - t s 1 Q u t = ∴ = 位移定理 f (t ) () e F s - λ λt = 证明略 例： ( ) s-λ 1 , e s 1 u t λt Q = ∴ = 补充作业： 推导a<0时的尺度变换定理，解释定理的物理意义。 补充作业： 推导a<0时的尺度变换定理，解释定理的物理意义。 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 拉普拉斯变换--基本性质 卷积定理 f () () ( ) ( ) t ∗ h t = F s ⋅ H s 证明： () ( ) ∫ ∫ ∞ ∞ − = ⋅ 0 τ st d τ f τ h t - τ e dt ( ) () = F (s) ⋅ H (s) = ∫ ∫ ∞ ∞ − − 0 0 s τ s f τ e d τ h t e d t t () () ( ) ∫ ∫ ∞ ∞ − + = ⋅ 0 0 s τ u d τ f τ h u e du (取 u = t − τ ) f () () ( ) ( ) t h t f τ h t - τ d τ e dt st 0 t 0 − ∞ ∫ ∫ L{ ∗ } = ⋅ . * ( ) 当t - τ < 0时，h(t - τ) = 0 (根据定义) (根据定义) 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 拉普拉斯变换--基本性质 卷积定理 f (t )∗ h (t ) = F (s ) () ⋅ H s 证明： () ( ) ∫ ∫ ∞ ∞ − = ⋅ 0 τ st d τ f τ h t - τ e dt () () = F (s) ⋅ H (s) = ∫ ∫ ∞ ∞ − − 0 0 s τ su f τ e d τ h u e du () () ( ) ∫ ∫ ∞ ∞ − + = ⋅ 0 0 s τ u d τ f τ h u e du f () () ( ) ( ) t h t f τ h t - τ d τ e dt st 0 t 0 − ∞ ∫ ∫ L{ ∗ } = ⋅ . * 找到了！ Y(?) () () =F ? ⋅H ? 找到了！ Y(?) () () =F ? ⋅H ?
拉普拉斯变换与反变换 拉普拉斯变换与反变换 口常用变换 口常用变换 请查表。。。 请查表 口正变换 bt)=1山(t=e 口正变换 o(t)=1 ut)==es 1 基本性质 基本性质 有理多项 口反变换: 口反变换:分解定理: 回忆少 Y(s)= (s F(se"ds s-s )1 s)=f(t)e"dt 說其中有一个次重 拉普拉斯变换与反变换 拉普拉斯反变换一留数定理 口常用变换 Y M1S+…+b 请查表 (s)aNs+aNs 口正变换 8(t)=1 u(t)=e= (s-s1)∏(s-s) s· 基本性质 口反变换 书上P82详细公式 2。查常用变换 1 d(r[(s-S,Y(s)] 3。留数定理(维事德展开定理 1=(r-j 电路理论的变换域分析方法 复频域 自变量 ejut> jo 稳态十暂态 正弦稳态 稳态十暂态 信号实际情号 复我豪示 s豪示 关系yt)= f(th(t)yoro)Hl)v(s)=Fi)t 冲激响应h(t)的城形式=H(a)
7 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 常用变换 请查表。。。 ( ) s 1 δ( ) t =1 u t = s-α 1 eαt = ++基本性质 基本性质 正变换： 反变换： 拉普拉斯变换与反变换 *** 变换域分析求解代数方程 ( ) i t( ) sv t & 实际电路 时域分析求解微分方程 V j s ( ) ω & 符号电路 I( ) jω 变换 还原 V j s ( ) ω & 符号电路 I( ) jω 变换 还原 回忆Æ ( ) ( ) ∫ + ∞ − ∞ = σ j σ j st f t F s e ds 2πj 1 tt域域 SS域域 f(t) F(s) tt域域 一一对应 SS域域 f(t) F(s) 一一对应 ( ) () ∫ ∞ − − = 0 F s f t e dt st 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 常用变换 请查表。。。 ( ) s 1 δ(t) =1 u t = s-α 1 eαt = ++基本性质 基本性质 正变换： 反变换：分解定理： ( ) ( ) ( ) ( ) ... ... = = = + ++ = = + ++ =⋅ = + ∑ ∑ ∏ M M -1 M M -1 0 N N -1 N N -1 0 N r j 1j N j r j1 j1 j 1 1 j j 2 B s bs b s b Y s A s as a s a B s c c K s - s (s - s ) (s - s ) (s - s ) 有理多项式 *** 设其中有一个r次重根 拉普拉斯变换与反变换 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 拉普拉斯变换与反变换 常用变换 请查表。。。 ( ) s 1 δ( ) t =1 u t = s-α 1 eαt = ++基本基本性质性质 正变换： 反变换： 1。待定系数法 2。查常用变换表 3。留数定理（赫维塞德展开定理） *** 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 拉普拉斯反变换--留数定理 ( ) ( ) ( ) ( ) ... ... = = = + ++ = = + ++ =⋅ = + ∑ ∑ ∏ M M -1 M M -1 0 N N -1 N N -1 0 N r j 1j N j r j1 j1 j 1 1 j j 2 B s bs b s b Y s A s as a s a B s c c K s - s (s - s ) (s - s ) (s - s ) c =(s - s )Y(s)| j j s=sj 书上P82详细公式 1j (r-j) r 1 1j (r-j) s=s 1 d [(s -s ) Y(s)] c= | (r - j)! dt 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 时域 频域 复频域 自变量 t jω s = σ + jω 分析 范围 稳态＋暂态 正弦稳态 稳态＋暂态 信号 实际信号 复数表示 s 域表示 引入 jωt e 推广推广 冲激响应h(t)的s域形式 = H(s) 冲激响应h(t)的s域形式 = H(s) 关系 y() () () t = f t ∗h t Y(jω) =F(jω)⋅H(jω) Y( ) s =F(s)⋅H(s) 电路理论的变换域分析方法 *** v(t) = Ri(t) V(j ω ) = Z(j ω )I(j ω ) V( s) = Z( s)I( s)
