北京大学：《电路分析原理 Circuit Analysis》课程教学资源（教案讲义）第二章拉普拉斯分析第一节拉氏变换.pdf_大学文库

1 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 第？讲：复习北京大学 wwhu 北京大学《电路分析原理》第二章：拉氏分析第一讲 2009.10.13 兴趣认真执著创新作业(下周二课前交)： 2-2(1,3,5)， 2-3(1,3,5,7), 2-4 作业(下周二课前交)： 2-2(1,3,5)， 2-3(1,3,5,7), 2-4 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学第一章：线性电路分析基础--要点复习 §1-1：线性电路分析导论集中假设、基本方法、基本参数、基本术语参考方向、基本定律(KCL,KVL,VCR) §1-2：常见线性电路元件及其约束方程元件分类、电阻元件、独立源、受控源、动态元件 §1-3：线性二端（单口）网络的等效等效的概念、源的转移、戴文宁定理、诺顿定理 §1-4：典型源信号 §1-5：线性定常网络的时域分析（一阶动态电路分析）初始状态、初值、时域分析、三要素法 §1-6：正弦稳态电路分析(电路的复数解法) 定义、复数与相量、相量法与复数法、阻抗与导纳正弦稳态功率、网络的稳定性 §1-7：传递函数、滤波器传递函数、频率响应、一阶滤波器、二阶滤波器复习方法?概念?定律？北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学基本定律和参考方向基尔霍夫第二定律：（电压定律、KVL定律）任一集中参数电路中的任一回路，在任一时刻，沿该回路所有支路的电压升（或电压降）的代数和为零。记为：∑vj (t0)=0 电势守恒定律(环路定理)： ∫E•dl=0 *** 基尔霍夫第一定律：（电流定律、KCL定律）任一集中参数电路中的任一节点，在任一时刻，流入（或是流出）该节点的电流的代数和为零。记为：∑ij (t0)=0 电荷守恒定律(高斯定理)：∫∫J•dS=0 复习 ∑Vi(jw) = 0 ∑Ii(jw) = 0 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 Zeq(jw) VOC(jw) + - 戴文宁源电路诺顿源电路 ISC Zeq(jw) (jw) Ns Ns 等效 Ns Ns V(jw)=0 ISC(jw) + - Ns Ns I(jw)=0 VOC(jw) + - 时域形式、复数形式、 S域形式。。。 *** 戴文宁和诺顿定理(线性、含源) 复习复数形式北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学各单位信号及响应之间的关系 r t ut '( ) ( ) = 复习 [ ( ) ( )] 1 ( ) − − Δ Δ PΔ t = u t u t limP ( )t ( ) Δ Δ 0 = δ t → N u(t) s(t) N δ(t) h(t) h (t) Δ P ( ) t Δ NN 定义: ht s t ( ) '( ) = 推理: ut t '( ) ( ) = δ limh ( )t ( ) Δ Δ 0 = h t → 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 ( ... ) ( ) ( ) 1 1 0 ( 1) 1 ( ) a y t x t dt d a dt d a dt d a n n n n n n + + + + = − − − 考虑时的稳态响应则： j j t x t A e e ϕ0 ω 0 ( ) = j t j j t n j n n n a j a j a j a Y e e A e e ϕ y ω ϕ ω ω ω ω 0 0 0 0 1 1 1 1 ( ( ) + ( ) +...+ ( ) + ) = − − j t j y t Y e e ϕ y ω 0 ( ) = * 含Ｎ个独立的动态元件的电路建立的微分方程：正弦稳态电路分析--相量法(复数法) 取： F(jw) Y(jw) X(jw) 引入： = Y(jω) X(jω) 传递函数 H(jω) = F(jω) 1 复习 H(j H(j ωω)) X(j ω) Y(j ω) 频域描述输入信号（激励）输出信号（响应） Y(j ω ) = H(j ω ) · X(j ω ) H(j H(j ωω)) X(j ω) Y(j ω) 频域描述输入信号（激励）输出信号（响应） Y(j ω ) = H(j ω ) · X(j ω )

2 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 H(jω) =响应的复数形式激励的复数形式 X(jω) Y(jω) = jΦ(ω) = |H(jω)|· e 可以简写为： ∠Φ 可以简写为： ∠Φ (ω) |H(jω)|：网络的幅频特性 Φ(ω) : 网络的相频特性 ω为自变量 ω为自变量 + = 频率响应曲线相频特性曲线幅频特性曲线传递函数的幅频特性与相频特性复习*** 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 §2－1 引言 1.线性电路的任意输入信号的响应 2.变换域分析和拉氏变换的引入 §2－2 拉普拉斯变换 1.定义 2.基本性质 3.常用变换 §2－3 用拉氏变换求解线性电路 1.基本定律的变换（运算形式） 2.支路的变换(Vs,Is,R,L,C) 3.无源单口网络的变换 --广义欧姆定律的运算形式(V(S)=Z(S)I(S)) 4.有源单口网络的变换 --戴文宁/诺顿定理的运算形式(Voc(S),Isc(S),Zeq(S)) 5.求解：变换与反变换 §2－4 网络函数的 s 域描述 1. 定义(H(S)=Y(S)/F(S)) 2. 特性第二章：拉氏分析：内容提要北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学本讲内容提要 §2－1 引言 1.线性电路的任意输入信号的响应 2.变换域分析和拉氏变换的引入 §2－2 拉普拉斯变换 1.定义 2.基本性质 3.常用变换北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学第一章：线性电路分析基础—举例 + - Vs ~ 0.1F 5Ω 10Ω 0.2F + - Vo 求1：H(jω)=Vo/Vs=？求2：Vs=cos(ωt)，Vo=？求3：Vs=1，Vo=？求4：Vs=u(t)，Vo=？求5：Vs=δ(t)，Vo=？求6：Vs=f(t)，Vo=？ Ns Ns NL NN NL N x(t) y(t) 简化表示输入（激励）输出（响应）稳稳稳暂暂暂 H(j H(j ωω)) X(j ω) Y(j ω) 频域描述输入信号（激励）输出信号（响应） h(t) h(t) x(t) y(t) 输入信号（激励）输出信号（响应）时域描述 y(t) = F{ x(t), h(t) } Y(j ω ) = H(j ω ) · X(j ω ) H(j H(j ωω)) X(j ω) Y(j ω) 频域描述输入信号（激励）输出信号（响应） h(t) h(t) x(t) y(t) 输入信号（激励）输出信号（响应）时域描述 y(t) = F{ x(t), h(t) } Y(j ω ) = H(j ω ) · X(j ω ) 稳?暂? 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学第一章：线性电路分析基础—举例 + - Vs ~ 0.1F 5Ω 10Ω 0.2F + - Vo 求1：H(jω)=Vo/Vs=？求2：Vs=cos(ωt)，Vo=？求3：Vs=1，Vo=？求4：Vs=u(t)，Vo=？求5：Vs=δ(t)，Vo=？求6：Vs=f(t)，Vo=？符号电路(相量模型) 1/jωC + - Vs(jω) 10/jω ~ 5 10 + - 5/jω Vo(jω) 4 ( 1/ ) 1 ( ) ( ) ( ) ω ω ω ω ω + − = = Vs j j Vo j H j 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学第一章：线性电路分析基础—举例 + - Vs ~ 0.1F 5Ω 10Ω 0.2F + - Vo 求1：H(jω)=Vo/Vs=？求2：Vs=cos(ωt),Vo=？求3：Vs=1，Vo=？求4：Vs=u(t)，Vo=？求5：Vs=δ(t)，Vo=？求6：Vs=f(t)，Vo=？ Vs(t)=cos(ωt) Vs(jω)= 4 ( 1/ ) 1 ( ) ( ) ( ) ω ω ω ω ω + − = = Vs j j Vo j H j Vo(jω)=1/4 Vo(t)=cos(ωt)/4 还原 1 (取ω=1)

3 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学第一章：线性电路分析基础—举例 + - Vs ~ 0.1F 5Ω 10Ω 0.2F + - Vo 求1：H(jω)=Vo/Vs=？求2：Vs=cos(ωt)，Vo=？求3：Vs=1，Vo=？求4：Vs=u(t)，Vo=？求5：Vs=δ(t)，Vo=？求6：Vs=f(t)，Vo=？ + - Vs ~ 0.1F 5Ω 10Ω 0.2F + - Vo 直流：ω=0 解:Vo=0 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学第一章：线性电路分析基础—举例 + - Vs ~ 0.1F 5Ω 10Ω 0.2F + - Vo + - Vs ~ 0.1F 5Ω 10Ω 0.2F + - Vo + - Vs ~ 0.1F 5Ω 10Ω 0.2F + - Vo 直流：ω=0 极高频：ω=∞ 解:Vo=0 带通滤波器: ωo=1 4 ( 1/ ) 1 ( ) ( ) ( ) ω ω ω ω ω + − = = Vs j j Vo j H j 解:Vo=0 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学第一章：线性电路分析基础—举例 + - Vs ~ 0.1F 5Ω 10Ω 0.2F + - Vo 求1：H(jω)=Vo/Vs=？求2：Vs=cos(ωt)，Vo=？求3：Vs=1，Vo=？求4：Vs=u(t)，Vo=？求5：Vs=δ(t)，Vo=？求6：Vs=f(t)，Vo=？ tt≥≥00 稳稳稳暂暂暂 + - Vs 5 ~ 10 5/jω + - Vo 10/jω V ( jω) = Z( jω)I( jω) 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学第一章：线性电路分析基础—举例 + - Vs ~ 0.1F 5Ω 10Ω 0.2F + - Vo 求1：H(jω)=Vo/Vs=？求2：Vs=cos(ωt)，Vo=？求3：Vs=1，Vo=？求4：Vs=u(t)，Vo=？求5：Vs=δ(t)，Vo=？求6：Vs=f(t)，Vo=？ 2 1 ' 0 0 ' 1 '' 2 (0 ) (0 ) ( ) ( ) ( ) v K v K a v t a v t a v t A o o o o o + = + = + + = ( ) ... v0 t = 初始状态换路初始值通解待定系数特解 / 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学第一章：线性电路分析基础—举例求1：H(jω)=Vo/Vs=？求2：Vs=cos(ωt)，Vo=？求3：Vs=1，Vo=？求4：Vs=u(t)，Vo=？求5：Vs=δ(t)，Vo=？求6：Vs=f(t)，Vo=？ δ(t)=d[u(t)]/dt h(t)=d[s(t)]/dt + - Vs ~ 0.1F 5Ω 10Ω 0.2F + - Vo 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学第一章：线性电路分析基础—举例 + - Vs ~ 0.1F 5Ω 10Ω 0.2F + - Vo 求1：H(jω)=Vo/Vs=？求2：Vs=cos(ωt)，Vo=？求3：Vs=1，Vo=？求4：Vs=u(t)，Vo=？求5：Vs=δ(t)，Vo=？求6：Vs=f(t)，Vo=？ h(t) h(t) x(t) y(t) 输入信号（激励）输出信号（响应）时域描述 y(t) = F{ x(t), h(t) } h(t) h(t) x(t) y(t) 输入信号（激励）输出信号（响应）时域描述 y(t) = F{ x(t), h(t) } ？ N阶线性电路任意输入信号…的响应问题暂态+稳态

4 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学引言--线性电路的任意输入信号的响应 1.线性电路的任意输入响应复习概念：单位阶跃响应单位脉冲响应单位冲激响应正弦稳态响应 NN u(t) s(t) h (t) Δ P ( ) t Δ NN δ( ) t h( ) t = s'(t) NN X( ) jω Y( ) jω NN cos( ) ω t0 X( ) jω Y( ) jω NN ∑cos( ) ω ti 周期信号正弦信号任意任意信号信号？？ ÆÆ分段模拟、分段线性分段模拟、分段线性 * 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学引言--线性电路的任意输入信号的响应 f(t) = u(t)+u(t − Δ)+u(t −2Δ) 0 t 1 2 3 Δ 2Δ 例：均匀分段线性信号的表示 = ΔPΔ (t)+2ΔPΔ (t − Δ) () +3ΔPΔ t −2Δ +L = [u(t)−u(t − Δ)]+2[u(t − Δ)( ) −u t −2Δ ]+3[ ] u( ) t −2Δ −u(t −3Δ) +L h ( ) t PΔ (t) Δ NN [ ] s() ( ) t s t Δ Δ 1 [ ] u() ( ) t u t Δ = − − Δ 1 = − − 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学引言--线性电路的任意输入信号的响应 0 Δ t f(t) 分段模拟 f1 (t) = f(0Δ)⋅PΔ (t)⋅Δ f2 (t) = f(1Δ)⋅PΔ (t -1Δ)⋅Δ fk+1 (t) = f(kΔ)⋅PΔ (t -kΔ)⋅Δ • • • • • • • • • • ＋ f () ( ) ( ) t f kΔ PΔ t -kΔ Δ N 1 k 0 N 1 k 0 k 1 ∑ = ∑ • • − = − = + y () ( ) ( ) t f kΔ h t -kΔ Δ N 1 k 0 Δ N 1 k 0 k 1 ∑ = ∑ ⋅ ⋅ − = − = + Δ 2 t Δ=t/N 响应响应任意信号（有始信号）的处理：北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学引言--线性电路的任意输入信号的响应 0 Δ Δ2 3Δ t f(t) f() () t lim f t N 1 k 0 k 1 Δ 0 ∑ − = + → = 0 t () () ∑ − = + → = N 1 k 0 k 1 Δ 0 y t lim y t lim f() ( ) kΔ h t -kΔ Δ N 1 k 0 Δ Δ 0 = ∑ ⋅ ⋅ − = → () ( ) ∫ = ⋅ − ⋅ t 0 f τ h t τ dτ Δ=t/N y(t) () () = f t ∗h t 卷积积分卷积积分h(t) h(t) f(t) y(t) 分段模拟 * 任意信号（有始信号）的处理：北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学引言--变换域分析和拉氏变换的引入 y( )t = f(t) () ∗h t 卷积卷积积分h(t) h(t) f(t) y(t) H(j H(jωω)) X(jω) Y(jω) 输入信号（激励）输出信号（响应） Y(jω) = H(jω) · X(jω) () ( ) ( ) ∫ = ⋅ − ⋅ t 0 y t f τ h t τ dτ 找一种变换方法使得Æ Y() () () ? =F ? ⋅H ? 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学引言--线性电路的任意输入信号的响应 * 拉氏变换的数学问题 * 拉氏变换引入电路分析 * 学习拉氏变换的要求 Æ严格的数学推导和证明是数学课的任务我们这里的任务就是会进行简单的拉氏变换与反变换—简单的积分计算 Æ明白它是如何成为分析电路的工具的 Æ会用拉氏变换分析网络、求解电路响应本课程不特别训练同学们在数学的海洋里遨游

5 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学本讲内容提要 §2－1 引言 1.线性电路的任意输入信号的响应 2.变换域分析和拉氏变换的引入 §2－2 拉普拉斯变换 1.定义 2.基本性质 3.常用变换北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学拉普拉斯变换--定义 ( ) () ∫ ∞ −∞ − F s = f t e dt st 拉氏变换 ( ) ( ) ∫ + ∞ − ∞ = σ j σ j st f t F s e ds 2πj 1 拉氏反变换有始信号 f (t ) = f (t ) () ⋅u t F( ) s = f(t) f( ) t =F(s) ( ) ∫ ∞ − − = 0 f t e dt st 像函数像函数原函数原函数 tt域域 SS域域 f(t) F(s) 一一对应 *** 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学拉普拉斯变换--定义 ( ) () () ∫ ∫ ∞ − − ∞ −∞ − = = 0 F s f t e dt f t e dt 拉氏变换 st st ( ) ( ) ∫ + ∞ − ∞ = σ j σ j st f t F s e ds 2πj 1 拉氏反变换 F( ) s = f(t) f( ) t =F(s) 例：的拉氏变换（像函数） () () αt δ t ,u t ,e ( ) s 1 u t e dt e dt st 0 st = = ∫ ∫ ∞ − ∞ − − 0 ( ) s 1 u t = δ( ) t e dt e 1 t 0 st 0 st = = = − ∞ − ∫ − δ( ) t =1 ( ) s-α 1 e e dt e dt 0 s-α t 0 αt st = = ∫ ∫ ∞ − ∞ − − s-α 1 eαt = *** 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 Tea break！ Tea break！北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学拉普拉斯变换--基本性质例1：已知求的像函数 , s α 1 eαt − Q = ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = − = + jωt -jωt jωt -jωt e e 2j 1 sinωt e e 2 1 cosωt ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − − = + =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + − = ∴ 2 2 2 2 s ω ω s jω 1 s jω 1 2j 1 sinωt s ω s s jω 1 s jω 1 2 1 cosωt 唯一性 F( ) () s ↔ f t 二者一一对应迭加性 α1 f1 () () ( ) ( ) t + α2 f2 t = α1F1 s + α2F2 s s jω ω − = j t 1 e cosωt,sinωt *** 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学拉普拉斯变换--基本性质例2：欧姆定律的拉氏变换唯一性 F(s)↔ f(t) 二者一一对应迭加性 α1 f1 (t )+ α2 f2 (t ) () () = α1F1 s + α2F2 s v t Ri t () () = vt V s () ( ) = it I s () ( ) = 例3：KCL、KVL定律的拉氏变换假设 it Is 1 1 ( ) = ( ) it Is 2 2 ( ) = ( ) …… 迭加性 ∑it Is i i ( ) =∑ ( ) ∑it 0 i ( ) = 唯一性 ∑Ii(s) = 0 Ri t RI s () ( ) = 迭加性迭加性 V s RI s () () = 唯一性唯一性 ***

6 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学拉普拉斯变换--基本性质微分性 () ( ) ( ) 0- f' t = sF s − f () () ( ) ( )( ) ( ) () f ( ) () 0 sF s 0 f 0 s f t e dt e f t f t - se dt f' t e dt e df t 0 st 0 st 0 st 0 st 0 st = − + = − + = − = − ∞ − − ∞ − ∞ − ∞ − ∞ − ∫ ∫ ∫ ∫ − − − − − 证明：网络的初始状态，换路信息北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学拉普拉斯变换--基本性质＋ CS － I( ) s V( ) s ( ) s V 0- ＋－ () () ( ) I s = CsV s − CV 0- ＋－ I( ) s V( ) s CS ( ) CV 0- 微分性 ( ) ( ) ( ) 0- f' t = sF s − f 变换变换变换变换等效等效 ( ) ( ) dt dV t I t = C ＋－ V(t) I(t ) ( ) V 0- C ＋－ I(t) ( ) V 0- ＋－ V(t) C 等效等效 *** ∫ = + t i t d t C v t v 0 ( ) ( ) 1 ( ) (0) （t≥0）北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学拉普拉斯变换--基本性质 ( ) ( ) dt dI t V t = L ＋－ V( ) t I( ) t ( ) I 0- L ＋ V( ) t － I( ) t ( ) I 0- L 等效等效＋－ ( ) s I 0- I( ) s LS V( ) s () () ( ) V s = LsI s −LI 0- ＋ LS － I( ) s ( ) LI 0- V( ) s －＋变换变换微分性 () ( ) ( ) 0- f' t = sF s − f 变换变换等效等效 *** ∫ = + t v t d t L i t I 0 ( ) ( ) 1 ( ) (0) （t≥0）北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学拉普拉斯变换--基本性质积分性 ( ) ( ) s F s f t dt t 0 = ∫ 证明略例： () () () s 1 δ t =1, ∴u t = δ t dt = Q ∫ ( ) 2 s 1 ∴r(t) = u t dt = ∫ 延迟定理 ( ) () s τ f t - τ F s e − = 证明略例： ( ) ( ) 0 -st 0 es 1 , u t - t s 1 Q u t = ∴ = 位移定理 f (t ) () e F s - λ λt = 证明略例： ( ) s-λ 1 , e s 1 u t λt Q = ∴ = 补充作业：推导a<0时的尺度变换定理，解释定理的物理意义。补充作业：推导a<0时的尺度变换定理，解释定理的物理意义。北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学拉普拉斯变换--基本性质卷积定理 f () () ( ) ( ) t ∗ h t = F s ⋅ H s 证明： () ( ) ∫ ∫ ∞ ∞ − = ⋅ 0 τ st d τ f τ h t - τ e dt ( ) () = F (s) ⋅ H (s) = ∫ ∫ ∞ ∞ − − 0 0 s τ s f τ e d τ h t e d t t () () ( ) ∫ ∫ ∞ ∞ − + = ⋅ 0 0 s τ u d τ f τ h u e du (取 u = t − τ ) f () () ( ) ( ) t h t f τ h t - τ d τ e dt st 0 t 0 − ∞ ∫ ∫ L{ ∗ } = ⋅ . * ( ) 当t - τ < 0时，h(t - τ) = 0 (根据定义) (根据定义) 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学拉普拉斯变换--基本性质卷积定理 f (t )∗ h (t ) = F (s ) () ⋅ H s 证明： () ( ) ∫ ∫ ∞ ∞ − = ⋅ 0 τ st d τ f τ h t - τ e dt () () = F (s) ⋅ H (s) = ∫ ∫ ∞ ∞ − − 0 0 s τ su f τ e d τ h u e du () () ( ) ∫ ∫ ∞ ∞ − + = ⋅ 0 0 s τ u d τ f τ h u e du f () () ( ) ( ) t h t f τ h t - τ d τ e dt st 0 t 0 − ∞ ∫ ∫ L{ ∗ } = ⋅ . * 找到了！ Y(?) () () =F ? ⋅H ? 找到了！ Y(?) () () =F ? ⋅H ?

7 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学常用变换请查表。。。 ( ) s 1 δ( ) t =1 u t = s-α 1 eαt = ++基本性质基本性质正变换：反变换：拉普拉斯变换与反变换 *** 变换域分析求解代数方程 ( ) i t( ) sv t & 实际电路时域分析求解微分方程 V j s ( ) ω & 符号电路 I( ) jω 变换还原 V j s ( ) ω & 符号电路 I( ) jω 变换还原回忆Æ ( ) ( ) ∫ + ∞ − ∞ = σ j σ j st f t F s e ds 2πj 1 tt域域 SS域域 f(t) F(s) tt域域一一对应 SS域域 f(t) F(s) 一一对应 ( ) () ∫ ∞ − − = 0 F s f t e dt st 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学常用变换请查表。。。 ( ) s 1 δ(t) =1 u t = s-α 1 eαt = ++基本性质基本性质正变换：反变换：分解定理： ( ) ( ) ( ) ( ) ... ... = = = + ++ = = + ++ =⋅ = + ∑ ∑ ∏ M M -1 M M -1 0 N N -1 N N -1 0 N r j 1j N j r j1 j1 j 1 1 j j 2 B s bs b s b Y s A s as a s a B s c c K s - s (s - s ) (s - s ) (s - s ) 有理多项式 *** 设其中有一个r次重根拉普拉斯变换与反变换北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学拉普拉斯变换与反变换常用变换请查表。。。 ( ) s 1 δ( ) t =1 u t = s-α 1 eαt = ++基本基本性质性质正变换：反变换： 1。待定系数法 2。查常用变换表 3。留数定理（赫维塞德展开定理） *** 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学拉普拉斯反变换--留数定理 ( ) ( ) ( ) ( ) ... ... = = = + ++ = = + ++ =⋅ = + ∑ ∑ ∏ M M -1 M M -1 0 N N -1 N N -1 0 N r j 1j N j r j1 j1 j 1 1 j j 2 B s bs b s b Y s A s as a s a B s c c K s - s (s - s ) (s - s ) (s - s ) c =(s - s )Y(s)| j j s=sj 书上P82详细公式 1j (r-j) r 1 1j (r-j) s=s 1 d [(s -s ) Y(s)] c= | (r - j)! dt 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学时域频域复频域自变量 t jω s = σ + jω 分析范围稳态＋暂态正弦稳态稳态＋暂态信号实际信号复数表示 s 域表示引入 jωt e 推广推广冲激响应h(t)的s域形式 = H(s) 冲激响应h(t)的s域形式 = H(s) 关系 y() () () t = f t ∗h t Y(jω) =F(jω)⋅H(jω) Y( ) s =F(s)⋅H(s) 电路理论的变换域分析方法 *** v(t) = Ri(t) V(j ω ) = Z(j ω )I(j ω ) V( s) = Z( s)I( s)

北京大学：《电路分析原理 Circuit Analysis》课程教学资源（教案讲义）第二章 拉普拉斯分析 第一节 拉氏变换

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