第三章信号的频谱 《电路分析原理》 (网络的傅氏分析) 第三章:傅氏分析 光_认真孰着新 §3-1周期信号的频谱分析:傅氏级数 第二讲 §3-2非周期信号的频谱密度:傅氏变换 2009-10-22 §3-3频谱分析的基本定理 业:3-281429 §3-4信号通过常参量线性电路(定性了解 下周二习题刘论瀑 论题目抛磷引玉:“关于变换分 折方法,我南话要说。 本讲主要内容 本讲关注问题 口从傅氏级数到傅氏变换 口傅氏变换→分析非周期信号的 口傅氏变换(定义狄利克雷条件) 口傳氏变换的物理含义 频谱密度,频谱分布,频谱带宽 口信号的时域特征←对应关系→频域特征 (频谱密度,频谱分布频谱带宽) 傅氏变换和拉氏变换 口从频谱分析的角度学习基本性质 口基本性质(定理) 口基本信号的频谱特性 口基本信号的频谱特性 §3-2:傅氏变换定义,狄利克雷条件 §3-2:傅氏变换的物理含义 定理描述 f(t) n f(t)e inoa'dt 若非周期信号f(t)在区间(-∞,+∞)上满足 richlet条件,则有F(o)=f(t)edt 记作 limTcn:=lim[/f(t).e-inwo'dt T/2 FIf(t)]=F(o) F()是f(t)在ω域中的映射,称为f(t的傅氏变换 =f(t)edtF(a)函数 其反变换为 定义:频谱密度-单位频带上复频谱 f(t)=F(o)-elutdo Tc, =2 cn/o 记作 F F(o)=f(t) →定义:F(a)是信号f()在频域中的频谱密度
1 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 第 ？讲： 复习 北京大学 wwhu 北京大学 《电路分析原理》 第三章：傅氏分析 第二讲 2009-10-22 兴趣 认真 执著 创新 作业: 3-2,8,14,29 下周二习题讨论课 讨论题目抛砖引玉：“关于变换域分 析方法，我有话要说。。。” 作业: 3-2,8,14,29 下周二习题讨论课 讨论题目抛砖引玉：“关于变换域分 析方法，我有话要说。。。” 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 第三章：信号的频谱 §3－1 周期信号的频谱分析：傅氏级数 §3－2 非周期信号的频谱密度：傅氏变换 §3－3 频谱分析的基本定理 §3－4 信号通过常参量线性电路（定性了解） 第三章 信号的频谱 （网络的傅氏分析） 第三章 信号的频谱 （网络的傅氏分析） 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 本讲主要内容 从傅氏级数到傅氏变换 傅氏变换（定义,狄利克雷条件） 傅氏变换的物理含义 （频谱密度,频谱分布,频谱带宽） 傅氏变换和拉氏变换 基本性质(定理) 基本信号的频谱特性 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 本讲关注问题 傅氏变换Æ分析非周期信号的 频谱密度,频谱分布,频谱带宽 信号的时域特征Å对应关系Æ频域特征 从频谱分析的角度学习基本性质 基本信号的频谱特性 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 §3-2：傅氏变换--定义,狄利克雷条件 定理描述: 若非周期信号f(t)在区间(-∞,+∞)上满足 Dirichlet条件，则有： F ∫ +∞ ∞ = ⋅ - -jωt F(ω) f(t) e dt F [ ] f(t) = F(ω) F(ω) e dω 2 1 f(t) jωt = ⋅ ∫ +∞ π −∞ F(ω) 是f(t)在 域中的 ω 映射，称为f(t)的傅氏变换 其反变换为： 记作： 记作： [ ] F(ω) = f(t) -1 *** 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 定义:F(ω) 北京大学是信号f(t)在频域中的 wwhu 北京大学频谱密度 定义：频谱密度--单位频带上复频谱 §3-2：傅氏变换的物理含义 *** Tcn 2 cn/ω0 = π⋅ ∑ ∞ = −∞ = n jn ω t n e 0 f(t) c ∫ + = T/2 -T/2 - jn ω t n f(t) e dt T 1 c 0 f(t) e dt F(ω) limTc lim f(t) e dt - -jωt T/2 -T/2 -jnω t T n T 0 = ⋅ = = ⋅ ∫ ∫ +∞ ∞ + →∞ →∞ 像函数
§32:傅氏变换定义狄利克雷条件 §3-2:傅氏变换三个基本信号的频域特性 ◆非周期信号的狄利克雪 irichlet)收敏条件 口单位冲激信号δ(t) 平坦谱tF(o) 1.f(t)是t的单值函数 F(a)=f(t)e l dt= 2.f(t)在(∞,+∞)内的间断点有限; yt)-t)ht)var→aY 3.f(t)在(-∞,+∞)内的极值点有限; 口}巴票骂四冪 4.绝对可积条件: 一个均匀包含所有频率分量的信号作用于一个网络 广义积分「|f(t)|dt存在(充分条件) 所产生的响应,可以描述该网络的频率响应特性。 单位冲激信号6(t)的另一种表示形式: (t) 2厂 §3-2:傅氏变换三个基本信号的频域特性 §32:傅氏变换三个基本信号的频域特性 口单位冲激信号:8(t)→1 F(o F(o)=f(t) ot dt=1 口复指数信号e…2na(o-。 (t)= Felo ]=[eliot.e dt 积单位常量(直流)信号:1…2( ■单位常量 信号:12nb() F(o (a)= 2n(u)=2nb(-0)=1e吡t 2n0(0)-2x0()1e §3-2:傳氏变换三个基本信号的频域特性 §3-2:傅氏变换三个基本信号的频域特性 口单位符号信号gn(t)F()° 口单位阶跃信号u(t) 利用已知信号的付氏变换 ∫ft)e t)=【sgn(t)+1】/2 所以:F()=1/ja+πδ() =- lim e"·e"d+lim「 IF(oI e=-“"h+lim JoJo Jo
2 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 §3-2：傅氏变换--定义,狄利克雷条件 1. f(t)是t的单值函数； 2. f(t)在(-∞,+∞)内的间断点有限； 3. f(t)在(-∞,+∞)内的极值点有限； 4. 绝对可积条件： 广义积分 存在(充分条件)。 ◆非周期信号的狄利克雷(Dirichlet)收敛条件： ∫ +∞ -∞ |f(t)|dt 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 §3-2：傅氏变换—三个基本信号的频域特性 单位冲激信号δ(t) F(ω) f(t) e dt 1 - -jωt = ⋅ = ∫ +∞ ∞ ω F(ω) 1 +∞ ∞ = ∫ π -1 jωt - 1 δ(t)=F (1) e dω 2 单位冲激信号δ(t)的另一种表示形式: 一个均匀包含所有频率分量的信号作用于一个网络 所产生的响应，可以描述该网络的频率响应特性。 *** 平坦谱 y(t) = f(t)∗h(t) Y(jω) = F(jω)⋅H(jω) Y(s) = F(s)⋅H(s) h(t) h(t) x(t) y(t) 输入信号 （激励） 输出信号 （响应） 时域描述 h(t) h(t) x(t) y(t) 输入信号 （激励） 输出信号 （响应） 时域描述 H(j H(j ωω)) X(j ω) Y(j ω) 频域描述 输入信号 （激励） 输出信号 （响应） H(j ω) 频域描述 输入信号 （激励） 输出信号 （响应） Xj Yj () () ω ω H( ) jω H(S) X(S) Y(S) H(S) 复频域描述 输入信号 （激励） 输出信号 （响应） h(t) h(t) x(t) y(t) 输入信号 （激励） 输出信号 （响应） 时域描述 h(t) h(t) x(t) y(t) 输入信号 （激励） 输出信号 （响应） 时域描述 H(j H(j ωω)) X(j ω) Y(j ω) 频域描述 输入信号 （激励） 输出信号 （响应） H(j ω) 频域描述 输入信号 （激励） 输出信号 （响应） Xj Yj () () ω ω H( ) jω H(S) X(S) Y(S) H(S) 复频域描述 输入信号 （激励） 输出信号 （响应） 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 §3-2：傅氏变换—三个基本信号的频域特性 单位冲激信号：δ(t) 单位常量（直流）信号：1 F(ω) f(t) e dt 1 - -jωt = ⋅ = ∫ +∞ ∞ ω F(ω) 1 ∫ +∞ ∞ = - jωt e dω 2 1 δ(t) π *** +∞ ∞ = ∫ π jωt - 1 δ(ω) e dt 2 ω F(ω) +∞ (2 ) π ∞ = =⋅ ∫ π π -jωt - 2 δ(ω) 2 δ(-ω) 1 e dt 1 2πδ(ω) 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 §3-2：傅氏变换—三个基本信号的频域特性 复指数信号e 复指数信号ejωjωoott ω F(ω) ω0 2πδ(ω 0 -ω ) [ ]= jω t F e 0 ∫ +∞ ∞ ⋅ - jω t -jωt e e dt 0 *** +∞ ∞ = ∫ π jωt - 1 δ(ω) e dt 2 ω F(ω) +∞ (2 ) π ∞ = =⋅ ∫ π π -jωt - 2 δ(ω) 2 δ(-ω) 1 e dt ■单位常量（直流）信号：1 2πδ(ω) 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 单位符号信号sgn(t) 单位符号信号sgn(t) §3-2：傅氏变换—三个基本信号的频域特性 t sgn( )t 1 -1 * +∞ ∞ = ⋅ ∫ -jωt - F(ω) f(t) e dt ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω j j j e j a e j a e e dt e e dt F e dt e dt j a t a j a t a at j t a at j t a j t j t 1 1 2 | 1 | 1 ( ) ( 1) 1 0 ( ) 0 0 ( ) 0 0 0 0 0 0 0 lim lim lim lim = + = ⋅ − − ⋅ + − = − = − ⋅ + ⋅ = − ⋅ + ⋅ − − ∞ → − ∞ → − ∞ − → ∞ − → − ∞ − −∞ ∫ ∫ ∫ ∫ ω ω j F 1 ( ) = 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 §3-2：傅氏变换—三个基本信号的频域特性 ω |F(ω)| ω ϕ(ω) π/2 -π/2 单位阶跃信号u(t) 利用已知信号的付氏变换: u(t)=【sgn(t)+1】/2 所以：F(ω)=1/jω+πδ(ω) 单位阶跃信号u(t) 利用已知信号的付氏变换: u(t)=【sgn(t)+1】/2 所以：F(ω)=1/jω+πδ(ω) *
32:傅氏变换与拉氏变换 第三章信号的频谱 拉氏变换:F(s)-[ft)e"dt (网络的傅氏分析) 簿氏变换:F()=f(t)edt §3-1周期信号的频谱分析:傅氏级数 傅氏变换是拉氏变换当s=a+ju取a=0时的特例 §3-2非周期信号的频谱密度:傅氏变换 从收敏的角度来看r(s)=Cf)eet §3-3频谱分析的基本定理 如果。f(t)dt不满足绝对可积条件,则总可 一个σ使得[|ft)eldt绝对可积 §3-4信号通过常参量线性电路 通常,我们用傅氏方法来分析信号的频域特性 用拉氏方法来求解线性电路的响应问题。 §3-3傅氏变换基本性质 §3-3傳氏变换基本性质 唯一性:f(t←F(一一对应 口对称性 F(ω)=f(t)edt 傅氏变换的唯一性反映了信号的时域(t特性和频 域v)特性之间的内在联系也就是说一般而盲,一 Cf(t).cosctdt-jLf(t).sinotdt 个信号的时城特征一但确定那么它的频域特征也就 确定了 傅氏变换是用数学的方法揭示了信号的频域特性 如果f(t)=f(-t)是t的偶函数 则F(o)是m的实偶函数 线性(选加性 f1t)F1(u);f2(t)F() 如果f(t)=-f(t是t的奇函数 →af1(t)+βf2(t)分aF1()+β(0 则F()是o的虚奇函数 §3-3傅氏变换-基本性质对称性 §33傅氏变换基本性质 口对称性 F(a)=f(t).edt 例1:利用冲激信号t)的傅氏变换,求信号(1/2x)的 傅氏变 f(t)=F(o). lw do F(a(=t)edt=1记作qF(t)=1 如果f(t)=f(→t)是t的偶函数,则 即:5(t)=C1eMd f(t)=f(-t)=,LF() 换变置得0(0)-21edt 两个式子除因子(1/2x)之外孤式完金帽同, 所以信号(1/2)的傅氏变换为b(u) →F(0)和f(t)的波形可以互换 偶对称信号f(t)经两次傅氏变换后,渡形还原 F[:a(-(a)
3 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 F(s) F(ω) s jω = = 傅氏变换是拉氏变换当 取 时的 s = σ + jω σ =0 特例 §3-2：傅氏变换与拉氏变换 ∫ +∞ ∞ = ⋅ - -jωt F(ω) f(t) e dt ∫ +∞ ∞ = ⋅ - -st 拉氏变换：F(s) f(t) e dt 傅氏变换： *** ∫ +∞ ∞ = ⋅ ⋅ - -σt - jωt F(s) f(t) e e dt 如果 不满足绝对可积条件，则总可 以找到一个 使得 绝对可积。 ∫ +∞ -∞ | f(t) |dt σ ∫ +∞ ∞ ⋅ - -σt | f(t) e |dt 从收敛的角度来看： ∫ +∞ ∞ = ⋅ ⋅ - -σt - jωt F(s) f(t) e e dt 如果 不满足绝对可积条件，则总可 以找到一个 使得 绝对可积。 ∫ +∞ -∞ | f(t) |dt σ ∫ +∞ ∞ ⋅ - -σt | f(t) e |dt 从收敛的角度来看： 通常,我们用傅氏方法来分析信号的频域特性， 用拉氏方法来求解线性电路的响应问题。 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 第三章：信号的频谱 §3－1 周期信号的频谱分析：傅氏级数 §3－2 非周期信号的频谱密度：傅氏变换 §3－3 频谱分析的基本定理 §3－4 信号通过常参量线性电路 第三章 信号的频谱 （网络的傅氏分析） 第三章 信号的频谱 （网络的傅氏分析） 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 §3-3 傅氏变换--基本性质 唯一性： 一一对应 唯一性： 一一对应 线性(迭加性) 线性(迭加性) f (t) F (ω); 1 ↔ 1 f2(t)↔F2(ω) αf1(t)+βf2(t)↔ αF1(ω)+βF2(ω) 傅氏变换的唯一性, 反映了信号的时域(t)特性和频 域(w)特性之间的内在联系. 也就是说, 一般而言，一 个信号的时域特征一但确定, 那么它的频域特征也就 确定了. 傅氏变换是用数学的方法揭示了信号的频域特性. f (t) F ( ↔ ω) 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 §3-3 傅氏变换--基本性质 对称性 对称性 如果 是 f(t) = f(-t) t的偶函数 则F(ω)是ω的实偶函数 ∫ ∫ ∫ +∞ ∞ +∞ ∞ +∞ ∞ = ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ - - - -jωt f(t) cosωtdt j f(t) sinωtdt F(ω) f(t) e dt 如果 是 f(t) = -f(-t) t的奇函数 则F(ω)是ω的虚奇函数 *** 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 §3-3 傅氏变换--基本性质-对称性 对称性 对称性 如果 是 f(t) = f(-t) t的偶函数，则 ∫ +∞ ∞ = ⋅ - -jωt F(ω) f(t) e dt 两个式子除因子(1/2π)之外形式完全相同， Æ F(ω)和f(t)的波形可以互换。 ∫ +∞ ∞ = ⋅ - jωt F(ω) e dω 2 1 f(t) π ∫ +∞ ∞ = = ⋅ - -jωt F(ω) e dω 2 1 f(t) f(-t) π 偶对称信号f(t)经两次傅氏变换后,波形还原 *** 比 较 换句话: 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 §3-3 傅氏变换--基本性质 例1: 利用冲激信号 的傅氏变换,求信号(1/2π)的 傅氏变换 δ(t) F ∫ +∞ ∞ = ⋅ - jωt 1 e dω 2 1 δ(t) π 即： F(ω( δ(t) e dt 1 记作： [ ] δ(t) = 1 - -jωt = ⋅ = ∫ +∞ ∞ 所以信号(1/2π)的傅氏变换为 替换变量得 ∫ +∞ ∞ = ⋅ - jωt 1 e dt 2 1 δ(ω) π δ(ω) e dt δ( ω) δ(ω) 2 1 2 1 - -jωt = = − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∫ +∞ F π π ∞ 验证：
§3-3傅氏变换甚本性质 例2 Tea break/ F(oat Sa(or/2) F() f(t)=aTSa(tr/2)/2T F() VIV §3-3傅氏变换基本性质 信号的时域压缩对应于 §33傅氏变换蔷本性质频宽×脉宽=常数 口尺度变换性 频域的频带展宽 例:取a>1 F(o)=AtSa( 01/2) 如果f(t)F(u 频宽×脉宽=常数 则:f(at)←3F(a/a) F(o)=AT/a- Sa( 00T/2a) FIf(at)]-[f(at)e judt (at) 2aT_2T AT a f(at) e dat -F(/a) 信号的时域压缩对应于频域的频带展宽 §3-3傅氏变换-基本性质 §33傅氏变换基本性质 延迟定理: 频移定理:如果:F(t)-F() 如果f(t)+F(u) 则有:F)e-=F(o-) 则:f(t-t)+F(u)e 证明:F(+-ft):e"“et =f(t)e-(a"o dt=F(o-w) 延迟定理表示 当信号通过某一线性系统而产生τ时间的时延 f(t)e-dF(ω-u)f(t) eo eF(+。) 后,其频域的振幅谱特性不产生变化,相位谱特 性引入了一个相位为or的相移 于是有:f(t) cost台F(+)+F(o-∞) 和频与差频 合称:拍频
4 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 §3-3 傅氏变换--基本性质 f(t) t F(ω) ω τ a F(ω) ω τ a aτ F(ω) = aτSa(ωτ/2) f(t) t π τ 2 a f(t)= aτSa(tτ/2)/2π 例2: 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 Tea break！ Tea break！ 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 §3-3 傅氏变换--基本性质 尺度变换性 尺度变换性 如果 f(t)↔F(ω) F(ω/a) a 1 则： f(at)↔ F[ ] f(at) = ∫ +∞ ∞ ⋅ - -jωt f(at) e dt F(ω/a) a 1= ∫ +∞ ∞ = ⋅ - -jωt f(at) e dat a 1 证明： *** 信号的时域压缩 对应于 频域的频带展宽 信号的时域压缩 对应于 频域的频带展宽 频宽频宽××脉宽脉宽=常数 =常数 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 §3-3 傅氏变换--基本性质 例：取a>1 f(t) t F( ω) ω τ A A τ F( ω) = A τSa( ω τ/2) τ/a f(at) t A 信号的 信号的时域压缩 对应于 频域的频带展宽 时域压缩 对应于 频域的频带展宽 F( ω) ω F( ω) = A τ/a ⋅ Sa( ω τ/2a) A τ/a π τ π τ 2 2 ⋅ = π τ τ π 2 2a a⋅ = 频宽频宽××脉宽脉宽=常数 =常数 *** 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 §3-3 傅氏变换--基本性质 如果 f(t)↔F(ω) -jωt0 f(t - t0)↔F(ω)e 延迟定理表示： 当信号通过某一线性系统而产生τ时间的时延 后，其频域的振幅谱特性不产生变化，相位谱特 性引入了一个相位为 的相移。 ωτ 则： 延迟定理： *** 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu和频 差频 北京大学 与 合称：拍频 §3-3 傅氏变换--基本性质 如果:F [f(t)] = F(ω) 频移定理: [f(t)e ] F(ω-ω0) jω0t 则有：F = 证明： [ ] ∫ +∞ ∞ = ⋅ - jω t jω t - jωt f(t)e f(t) e e dt 0 0 F f(t) e dt F( ω - ω 0 ) - - j( ω -ω 0 )t = ⋅ = ∫ +∞ ∞ 于是有： [F(ω ω ) F(ω ω )] 2 1 f(t)cosω t0 ↔ + 0 + − 0 f(t)e F(ω ω0) jω0t ↔ − f(t)e F(ω ω0) -jω0t ↔ + ***
33傅氏变换蔷本性质 53-3傅氏变换蔷本性质 频移定理的应用一幅度调制 幅度调制(A f(t) cosmt(ω+ω)+F(ω- f(t) Fo 调制值号 f(t)cost 带LSB上边带USB f(t)coso t t 调幅值号乘法器Mer非) 调制信号是 双边带DSB=下边带LSB+上边带USB 调幅信号的包络单边带SB下边带LSB上边带USB §3-3傅氏变换基本性质 一个简单的频分复用通信系统(DM 信号的调制与解调 正弦信号=Acos(uot+中)f(t)cos(oot+φ) coso. t coso. t L改变正弦信号幅度的调制称为调幅,即AM BPF LPF cOSo f(t ◎信道 ”道匹PE f(t) f(t)cost f(t)cosopt f(t) f 一种波分复用MDM光通信系统一ROF系统 第三章信号的频谱 (网络的傅氏分析 §3-1周期信号的频谱分析:傅氏级数 §3-2非周期信号的频谱密度:傅氏变换 §3-3频谱分析的基本定理 §3-4信号通过常参量线性电路 定性的。 信号通过线性电路的不失真条件 波形的线性失真和非线性失真 电路的因果律
5 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 §3-3 傅氏变换--基本性质 [ ] F(ω ω ) F(ω-ω ) 2 1 f(t)cosω t0 ↔ + 0 + 0 频移定理的应用--幅度调制: f(t) t F(ω) ω cosω t0 f(t) f(t)cosω t0 ω ω0 ω0 - t f(t)cosω t0 载波载波 调制信号 调制信号 调幅信号 调幅信号 乘法器 乘法器Mixer( Mixer(非非)) 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 §3-3 傅氏变换--基本性质 幅度调制(AM): f(t) t F(ω) t ω ω ω0 ω0 - f(t)cos ω t0 调制信号是 调幅信号的包络 下边带LSB 上边带USB 双边带DSB=下边带LSB+上边带USB 单边带SSB=下边带LSB, 上边带USB 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 §3-3 傅氏变换--基本性质 正弦信号 = A⋅cos(ω0t +φ) f(t)cosω t0 信道信道 cosω t0 LPF LPF cosω t0 f(t) f(t)cos ω t f(t) 0 2 改变正弦信号幅度的调制称为 改变正弦信号幅度的调制称为调幅，即 调幅，即AMAM f(t)⋅cos(ω0t +φ) 信号的调制与解调: ω -ω0 ω0 ω -2ω0 2ω0 ω ω 可以引出奈奎斯特定理 本振 调制 解调 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 一个简单的频分复用通信系统(FDM) cosω t2 f2(t) cosω t1 f1(t) cosω tn fn(t) ∑ 信道信道 cosω t2 cosω t1 cosω tn f2(t) f1(t) fn(t) LPF LPF LPF LPF LPF LPF BPF BPF BPF BPF BPF BPF 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 一种波分复用(WDM)光通信系统－ROF系统 Control Station UpLink DownLink Back bone Network Optical mm-wave WDM Sources M U X D E M U X λu1 λu2 ...λuN BS1 : EDFA λu1 λu2 ...λuN User Terminal Data Down Data Up BS2 BSn Mm-wave Wireless Link Photo Detector : : : : : λd1 λd2 ...λdN 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 第三章：信号的频谱 §3－1 周期信号的频谱分析：傅氏级数 §3－2 非周期信号的频谱密度：傅氏变换 §3－3 频谱分析的基本定理 §3－4 信号通过常参量线性电路 第三章 信号的频谱 （网络的傅氏分析） 第三章 信号的频谱 （网络的傅氏分析） 信号通过线性电路的不失真条件 波形的线性失真和非线性失真 电路的因果律 信号通过线性电路的不失真条件 波形的线性失真和非线性失真 电路的因果律 定性的。。。 定性的
3-4信号通过电路的不失真条件 §3-4:僧号通过电路的波形失真:低通电路 cy→yat? 在域可得:H=1+sRC 频F(o) Y(o 吟Y(o)=AemF(o) r3c+y→传函数H0)x,tke H(=A e? 如果f(t)为宽度为a的方形 脉冲将激励出什么响应呢? 不失真条件 线性失真:信号通过线性电路产生的失真粗非 非线性失真:信号通过非线性电路产生的失真拍 0 IG. =1/RC BW,=2/a BW=6 §3-4:信号通过电路的波形失真:低通电路 §3-4:倍号通过电路的波形失真:高通电路 BW,Bw「IH(a)HF(a) RC=58 §3-4:电路的因果律 §3-4:电路的因果律举例:率 因果律任何物理可实现电路的输出信号只能 想的低通 Filter 滞后于输入信号来呈现 o(t) 时出y(tyt)=Af(t-r 域 输出? 频 一定有:τ>0 输入信号國 6
6 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 §3-4：信号通过电路的不失真条件 f(t) y(t) τ 时 域 H(ω) 频 F(ω) Y(ω) 域 y(t)= A⋅ f(t - τ) Y(ω) A e F(ω) -jω = ⋅ ⋅ τ -jωτ H(ω) = A⋅e ω H(ω) ω φ(ω) 线性失真： 信号通过线性电路产生的失真 幅度非常数 相角非直线 非线性失真：信号通过非线性电路产生的失真 拍频 *** 不失真条件 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 §3-4：信号通过电路的波形失真：低通电路 f(t) y(t) + + - - R C 1 sRC 1 H(s) + 在s域可得： = 传递函数 1 jωRC 1 H(jω) + = 2 1 0 H(ω) ωc = 1/RC ω 1 t f(t) ←a→ 1 F(ω) a 2π ω 如果f(t)为宽度为a的方形 脉冲将激励出什么响应呢？ BWH = ωc = π a BW 2 / f 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 §3-4：信号通过电路的波形失真：低通电路 |H(ω)|,|F(ω)| ω |H(ω)|,|F(ω)| ω |H(ω)|,|F(ω)| ω t y(t), f(t) 1 t y(t), f(t) 1 t y(t), f(t) 1 *** BWH =BWf BWH >BWf BWH 0 * 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 §3-4：电路的因果律举例： H(ω) ω 理想的低通Filter: 输入信号 t δ(t) *** 输出? ω F(ω) 1 Y(ω) =F(ω)H(ω) =H(ω)
3-4电暗的因果律举例 第三章信号的频谱 理想的低通 Filter 输入信号 (网络的傅氏分析) 输出信号 §3-1周期信号的频谱分析:傅氏级数 H(o 3-2非周期信号的频谱密度:傅氏变换 傅氏级数 傅氏变换 周期信号的频谱分析 任意信号的频谱分析 Vba t f(t)=f(t+t)"■f(t),T 所以理想的低通滤波器是物理不可实现电路 离散谱 连续谱 傅氏分析,拉氏分析 傳氏分析 傅氏级数:分析周期信号的频谱特性 cina)- f(t) dt g f(t)=2c,elna 傳氏变换:分析非周期信号的频谱特性 F(o)=Lf(t)-* dt g f(t)=2-F( o).ed 口拉氏分析: →拉氏变换:分析任意信号激励的 网络响应、网络特性(当网络含有动态元件时最常用) F(s)=f(tedt f(t) Cf(test 下露二的论论参重
7 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 §3-4：电路的因果律举例： H(ω) ω 理想的低通Filter: 所以,理想的低通滤波器是物理不可实现电路. 输出信号 输入信号 t δ(t) h(t) t t<0- *** 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 第三章：信号的频谱 §3－1 周期信号的频谱分析：傅氏级数 §3－2 非周期信号的频谱密度：傅氏变换 §3－3 频谱分析的基本定理 §3－4 信号通过常参量线性电路 第三章 信号的频谱 （网络的傅氏分析） 第三章 信号的频谱 （网络的傅氏分析） 傅氏级数 傅氏变换 周期信号的频谱分析 f(t)=f(t+T) 0 0 nω ω 离散谱 任意信号的频谱分析 f(t), TÆ∞ ω dω 连续谱 小结 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 傅氏分析，拉氏分析 傅氏分析： Æ 傅氏级数：分析周期信号的频谱特性 拉氏分析： Æ 拉氏变换：分析任意信号激励的 网络响应、网络特性(当网络含有动态元件时最常用) *** ( ) () ∫ ∞ −∞ − F s = f t e dt st ( ) ( ) ∫ + ∞ − ∞ = σ j σ j st f t F s e ds 2πj 1 ( ) ∫ ∞ − − = 0 f t e dt st ∫ +∞ ∞ = ⋅ - -jωt F(ω) f(t) e dt F( ω) e d ω 2 1 f(t) jωt = ⋅ ∫ +∞ π − ∞ ∑ ∞ =−∞ = n jnω t ne 0 f(t) c ∫ + = t T t -jnω t n 0 0 0 f(t)e 0 dt T 1 c (nω ) Æ 傅氏变换：分析非周期信号的频谱特性 小结 下周二习题讨论课讨论题目抛砖引玉： “关于变换域分析方法，我有话要说。。。” 下周二习题讨论课讨论题目抛砖引玉： “关于变换域分析方法，我有话要说
