第三章信号的频谱 《电路分析原理》 (网络的傅氏分析) 第三章:傅氏分析 光_认真孰着新 §3-1周期信号的频谱分析:傅氏级数 第一讲 §3-2非周期信号的频谱密度:傅氏变换 2009-10-20 §3-3频谱分析的基本定理 作业国二课常究) §3-4信号通过常参量线性电路 3-1,5,20,完: 推十钢限北叶就的三种亮示 本讲主要内容 本讲关注问题 §3-1周期信号的频谱分析:傅氏级数 为什么傅氏分析中表示周期信号的正 1.完备的正交函数系(数学狄利克雷条件) 交函数系选用正弦函数而不是其他 2.傅立叶级数 #信号的时域特征和频域特征之间有什 周期信号的对称性与傅氏级数的关系 么关系 4.常见周期信号的频谱特性 常见周期信号的频谱特性 周期信号的有效值和平均功率(自学) 从周期信号的分析方法 6.周期信号激励的正弦稳态电路响应(没有新概念) →引出非周期信号分析方法 §3-1周期信号的频谱分析一完备的正交函数系 §3-1周期信号的频谱分析一完备的正交函数系 口数学上已经证明: ◆周期信号的狄利克雷 Dir ich|et)收敛条件 任何一个单值的连续函数(可以有有限个第一 类间断点)f(t),都可以用一个完备的正交函 数系的线性组合来表示。这个完备的正交系构 成了一个线性空间 f(t)=f(t+T是t的单值函数 函最系举例 2.f(t)在一个周期内的间断点有限; ◆幂函数系 泰勒级数 f(t)在一个周期内的极值点有限; ◆贝塞尔函数系J(x),1(x),]2(x),柱面波分解 4.f(t)积分f(t)ld存在。 ◆三角函数系1,cos(ot),cos(2ot),cos(not
1 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 第 ？讲： 复习 北京大学 wwhu 北京大学 《电路分析原理》 第三章：傅氏分析 第一讲 2009-10-20 兴趣 认真 执著 创新 作业(周二课前交): 3-1, 5, 20，补充： 推导+证明傅立叶级数的三种表示 作业(周二课前交): 3-1, 5, 20，补充： 推导+证明傅立叶级数的三种表示 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 第三章：信号的频谱 §3－1 周期信号的频谱分析：傅氏级数 §3－2 非周期信号的频谱密度：傅氏变换 §3－3 频谱分析的基本定理 §3－4 信号通过常参量线性电路 第三章 信号的频谱 （网络的傅氏分析） 第三章 信号的频谱 （网络的傅氏分析） 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 本讲主要内容 §3－1 周期信号的频谱分析：傅氏级数 1. 完备的正交函数系（数学,狄利克雷条件） 2. 傅立叶级数 3. 周期信号的对称性与傅氏级数的关系 4. 常见周期信号的频谱特性 5. 周期信号的有效值和平均功率(自学) 6. 周期信号激励的正弦稳态电路响应(没有新概念) 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 本讲关注问题 # 为什么傅氏分析中 表示周期信号的正 交函数系选用正弦函数而不是其他 # 信号的时域特征和频域特征之间有什 么关系 # 常见周期信号的频谱特性 # 从周期信号的分析方法 Æ引出非周期信号分析方法 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 数学上已经证明： 任何一个单值的连续函数（可以有有限个第一 类间断点）f(t)，都可以用一个完备的正交函 数系的线性组合来表示。这个完备的正交系构 成了一个线性空间 函数系举例： ◆幂函数系 ◆贝塞尔函数系 ◆三角函数系 J (x),J (x), J (x),... 0 1 2 x ,x ,x ,..., x ,... 1 2 3 n 1,cos(ωt),cos(2ωt),...cos(nωt),... 泰勒级数 柱面波分解 §3-1周期信号的频谱分析--完备的正交函数系 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 1. f(t)= f(t+T)是t的单值函数； 2. f(t)在一个周期内的间断点有限； 3. f(t)在一个周期内的极值点有限； 4. f(t)积分 存在。 ◆周期信号的狄利克雷(Dirichlet)收敛条件： ∫ t +T t 0 0 |f(t)|dt §3-1周期信号的频谱分析--完备的正交函数系
§3-1周期信号的频谱分析Four定理〔傅立叶级数) §3-1周期信号的频谱分析一傅立叶级数 定理描述 满足狄利克雷 (Dir ich|et)收敛条件的周期信 直流分量 交流分量or谐波分量 号f(t)可以用一组完备的三角函数系来表示。 (a, cosnwot+b,sinn.t) 三角函数的表示 f(t)=2(次谐波(波2次谐波n次谐 (n=1) acost+b snot 其中 种表示 基频 A cos(oot-oP) f(tcosnotdt cos(oot)+jsin(ωot) b,. "f(e)sinno,tdt §3-1周期信号的频谱分析一傅立叶级数 §3-1周期僧号的频谱分析傅立叶级数 一种囊 f(t)=0+ 2(an cosn wot+b,sinn wot) f(t)=2+2(a, cosn oo t+b, sinn oot) 利用三角函数系的正交性 cosmON1· cos mo tdt=0,当m≠n时 +(cwmM+b.sm2小smh工 mn,smpb=0.当mn时目了知m cosnootsin mootdt=0「求 2+20,m+如m)小mb §3-1周期信号的频谱分析一傅立叶级数 第一种寝示 童公( an cosn wot+ bnsinnwot) 交流分量or谐波分量 f IH f(t)= n11次谐波(基波),2次谐波,n次谐波 (n=1) 其中: 基频 t [s] 信号的 频域特征 时域特征」an 2 o"f(t)co osno. tdt f(t)sinnott 信号的时域特征 频域特征
2 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 定理描述: 满足狄利克雷(Dirichlet)收敛条件的周期信 号f(t)可以用一组完备的三角函数系来表示。 三角函数的表示: a cosω t b sinω t 0 0 ⋅ + ⋅ A ⋅cos(ω0t -φ) e cos(ω0t) j sin(ω0t) jω0t = + ⋅ 三种表示 §3-1周期信号的频谱分析--Fourier定理（傅立叶级数） 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 其中： ∫ + = t T t n 0 0 0 f(t)cosnω tdt T 2 a ∫ + = t T t n 0 0 0 f(t)sinnω tdt T 2 b T 2 ω 2 f 0 0 π = π = 直流分量 1次谐波(基波),2次谐波,…n次谐波 (n=1) (n=2) ∑ ∞ = = + + n 1 n 0 n 0 0 (a cosnω t b sinnω t) 2 a f(t) 交流分量 or 谐波分量 第一种表示： §3-1周期信号的频谱分析--傅立叶级数 基频 *** 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 ∑ ∞ = = + + n 1 n 0 n 0 0 (a cosnω t b sinnω t) 2 a f(t) 第一种表示： §3-1周期信号的频谱分析--傅立叶级数 利用三角函数系的正交性： cos sin 0 sin sin 0, cos cos 0, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⋅ = ⋅ = ≠ ⋅ = ≠ ∫ ∫ ∫ T T T n t m tdt n t m tdt m n n t m tdt m n ω ω ω ω ω ω 当 时 当 时 求an, bn 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 ∑ ∞ = = + + n 1 n 0 n 0 0 (a cosnω t b sinnω t) 2 a f(t) 第一种表示： §3-1周期信号的频谱分析--傅立叶级数 ( ) ( ) n T m m m T a T a m t b m t n tdt a f t n tdt 2 cos sin cos 2 cos 0 0 1 0 0 0 0 0 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = + + ∫ ∑ ∫ ∞ = ω ω ω ω ( ) ( ) n T m m m T b T a m t b m t n tdt a f t n tdt 2 cos sin sin 2 sin 0 0 1 0 0 0 0 0 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = + + ∫ ∑ ∫ ∞ = ω ω ω ω 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 其中： ∫ + = t T t n 0 0 0 f(t)cosnω tdt T 2 a ∫ + = t T t n 0 0 0 f(t)sinnω tdt T 2 b T 2 ω 2 f 0 0 π = π = 直流分量 1次谐波(基波),2次谐波,…n次谐波 (n=1) (n=2) ∑ ∞ = = + + n 1 n 0 n 0 0 (a cosnω t b sinnω t) 2 a f(t) 交流分量 or 谐波分量 第一种表示： §3-1周期信号的频谱分析--傅立叶级数 信号的 时域特征 信号的 时域特征 基频 *** 信号的 频域特征 信号的 频域特征 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 信号的时域特征 北京大学 wwhu 北京大学 f [Hz] A [线性(V)、对数(dB)] t [s] 频域特征
§3-1周期信号的频谱分析一傅立叶级数举例 §3-1周期信号的频谱分析一傅立叶级数 第一种聚示 二种示 f(t)=0+2(a, cosn.+b, sinn wt) ft)=g+∑Acos(not 举例 f(tcosnotdt f(t)-2 A。=%2童渡分量,号在警个时罐的积分平均值 C" f(t)sinn,tdt A1Cos(oot+q1)波分量,周期T=f(t)的周期 T A,cos(nuot+qn)n次谐波分量,周期T 信号的时域特征 与第一种形式对应 Lf(t)=(sint+asin3wot+: t+) An=√a2+b2tg(qn)= 信号的频域特征 三角公式:cos(a+B)=cos(a)cos(B)-sin(a)sin(B §3-1周期信号的频谱分析一傅立叶级数 §3-1周期僧号的频谱分析傅立叶级数 第二种表示也有 二种定义的习惯 f(t)=20+∑ AcoS(notn cos(oot-p) oot+φ) 直流分量,信号在整个时间域的积分平均值 A1cos(oot-φ1)波分量,周期T=f(t)的周期 A_.cOS(nt-qn)n次谐波分量周期=T/n 与第一种形式对应: I opl §3-1周期信号的频谱分析一频谱图 §3-1周期信号的频谱分析一频谱图 f()=2+>Acos(ot+p)实频谱 ft)回2-2算二种示 频谱图(简称频谱) rttt)=a,Aos(mot甲, 架删V 相位谱 lf()=(sindo+*sin3@tEsin swot+. 0203u 振幅谱 特点:周期信号的频谱是最小频率间隔为0的 高散谱(线状谱),简称谱线 相位谱
3 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 sin5ω t ...) 5 1 sin3ω t 3 1 (sinω t 4a f(t)= 0 + 0 + 0 + π ∑ ∞ = = + + n 1 n 0 n 0 0 (a cosnω t b sinnω t) 2 a f(t) 第一种表示： §3-1周期信号的频谱分析--傅立叶级数举例 ∫ + = t T t n 0 0 0 f(t)cosnω tdt T 2 a ∫ + = t T t n 0 0 0 f(t)sinnω tdt T 2 b a 2 T t f(t) -a T 举例： ω 0 = 2 π T 信号的时域特征 信号的时域特征 信号的频域特征 信号的频域特征 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 2 n 2 An = an +b 与第一种形式对应： n n n a -b tg(φ ) = ∑ ∞ = = + + n 1 n 0 n 0 A cos(nω t φ ) 2 a f(t) 直流分量，信号在整个时间域的积分平均值 A1cos(ω0t +φ1) 基波分量，周期T＝f(t)的周期 Ancos(nω0t +φn) n次谐波分量,周期=T/n 2 a A 0 0 = 第二种表示： §3-1周期信号的频谱分析--傅立叶级数 *** 三角公式： cos(α + β) = cos(α)cos(β)-sin(α)sin(β) 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 2 n 2 An = an +b 与第一种形式对应： n n n a b tg(φ ) = ∑ ∞ = = + n 1 n 0 n 0 A cos(nω t -φ ) 2 a f(t) 直流分量，信号在整个时间域的积分平均值 A1cos(ω0t −φ1) 基波分量，周期T＝f(t)的周期 Ancos(nω0t −φn) n次谐波分量,周期=T/n 2 a A 0 0 = 第二种表示也有… §3-1周期信号的频谱分析--傅立叶级数 *** 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 cos(ω0t −φ) cos(ω0t +φ) 二种定义的习惯： §3-1周期信号的频谱分析--傅立叶级数 *** φ φ t t |φ|≤ π 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 ∑ ∞ = = + + n 1 n 0 n 0 A cos(nω t φ ) 2 a f(t) 频谱图(简称频谱) 特点：周期信号的频谱是最小频率间隔为 的 离散谱（线状谱），简称谱线 ω0 0 ω02ω03ω0 ω A0 … A1 A2 A3 ω02ω03ω0 0 ω φ1 φ3 φ2 … 振幅谱 相位谱 §3-1周期信号的频谱分析--频谱图 实频谱 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 a 2 T t f(t) ω 0 = 2 π T -a T sin5ω t ...) 5 1 sin3ω t 3 1 (sinω t 4a f(t)= 0 + 0 + 0 + π ω Ak ω φk ω0 3ω0 5ω0 7ω0 ω0 3ω0 5ω0 7ω0 − π 4a/π 4a/3π 4a/5π 4a/7π 2 §3-1周期信号的频谱分析--频谱图 振幅谱 相位谱 ∑ ∞ = = + + n 1 n 0 n 0 A cos(nω t φ ) 2 a f(t) 第二种表示： 举例：
§3-1周期信号的频谱分析一频谱图 A[性00、对败(B THzJ f)-2n/第二种表示也有 t f(t)=2+2A, cos(nogt-ap,) 频域特征 t [8] f(t)=-(sinwot+=sin3wot+=sin5wot+.) 信号的时域特征 振幅谱 相位谱 示波器 光谱分析仪 §3-1周期信号的频谱分析一举例 §3-1周期信号的频谱分析一举例 f(t)♀=20+∑… f(t)9+∑ 吉布斯现象总是发生在不连续点 虑一个分段连的信号 吉布斯( Gibbs 现象(1899) 哪 超量 f()在t=1点的取值(<∞)不影响a的计算。 =9% §3-1周期信号的频谱分析一傅立叶级数 Tea break/ 第三种表示:锦立叶级数的复数形式 f(t=∑cn 其中:1 c"fet=/cn∠ 与第一种形式对应 与第工是关于n的偶高 (a+jb, ≤丌
4 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 a 2 T t f(t) ω 0 = 2 π T -a T sin5ω t ...) 5 1 sin3ω t 3 1 (sinω t 4a f(t)= 0 + 0 + 0 + π §3-1周期信号的频谱分析--频谱图 振幅谱 相位谱 ∑ ∞ = = + − n 1 n 0 n 0 A cos(nω t φ ) 2 a f(t) ω Ak ω φk ω0 3ω0 5ω0 7ω0 ω0 3ω0 5ω0 7ω0 π 4a/π 4a/3π 4a/5π 4a/7π 2 第二种表示也有… 举例： 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 f [Hz] A [线性(V)、对数(dB)] t [s] 示波器 光谱分析仪 频谱分析仪 信号的时域特征 频域特征 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 ∑ ∞ = = + n 1 0 ... 2 a f(t) ? §3-1周期信号的频谱分析—举例 取 ∑= = + 1 k 0 0 2 a 取f(t) ∑= = + 1 k 0 0 2 a f(t) 取 ∑= = + 2 k 0 0 2 a 取f(t) ∑= = + 2 k 0 0 2 a f(t) 取 ∑= = + 10 k 0 0 2 a 取f(t) ∑= = + 10 k 0 0 2 a f(t) 取 ∑= = + 100 k 0 0 2 a 取f(t) ∑= = + 100 k 0 0 2 a f(t) 吉布斯(Gibbs) 现象(1899) 超量 =9% a 2 T t f(t) -a T 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 §3-1周期信号的频谱分析—举例 吉布斯现象总是发生在不连续点 考虑一个分段连续的信号: a f () () () t n tdt f t n tdt f t n tdt T T t T t n ∫ ∫ ∫ = = + 1 1 0 0 0 0 0 cos cos cos 2 ω ω ω f (t)在t = t 1 点的取值（< ∞）不影响an的计算。 ∑ ∞ = = + n 1 0 ... 2 a f(t) ? 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 Tea break！ Tea break！ 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 ∑ ∞ =−∞ = n jnω t ne 0 f(t) c 其中： ∫ + = t T t -jnω t n 0 0 f(t)e 0 dt T 1 c (a - jb ) 2 1 cn = n n (a jb ) 2 1 c-n = n + n 与第一种形式对应： 第三种表示：傅立叶级数的复数形式 §3-1周期信号的频谱分析--傅立叶级数 *** = cn ∠φn φn = −φ-n =ϕ n 与第二种形式对应： 2 n 2 cn = An = an +b 2 1 2 1 习惯上取： φn ≤π 是关于nω0的偶函数 是关于nω0的奇函数
§3-1周期值号的须请分桥博立叶数 §3-1周期信号的频谱分析一频谱图 第三种示:傅立叶级败的复微形式 f(t=∑cne 复频谱 频谱图(简称频潮~ 、振幅谐(偶对称谱) 例: cn=Re+jm=cn∠ cn=vRe?+Im, tg(,)=Im/Re 口特点:周期信号的频谱是最小频率间隔为o0的 高散谱(线状谱),简称谱线 周期信号的频谱分析一频谱图 at sin(ng f(t)=∑ c.ewo 复频谱 及及 频谱图(简称频谱) 〈相位谱(奇对称谱) 实频谱 sa(0) 例 φ 14=0或rC为美数 简化为美 口特点:周期信号的频谱是最小频率间隔为的 高散谱(线状谱),简称谱线 !物 at sin (noT/2 c,=a sa(ooT C 取样函数( Sampl ing Function)T sa(°° 包络 Cosine(aor/2) 2 频宽●脉宽=常数 max=Sa(01 2/r=硎频宽 Sa(nn)=0 sa(x)随x→士∞波衰减趋向零 u1=00=2m/T 2=2u0=4π/T 周期号的大部分能量分布于零到某一频率范圆内」
5 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 ∑ ∞ =−∞ = n jnω t ne 0 f(t) c ∫ + = t T t -jnω t n 0 0 f(t)e 0 dt T 1 c n cn n c = Re+ jIm = ∠φ c Re Im tg( n) Im/Re 2 2 n = + , φ = 第三种表示：傅立叶级数的复数形式 §3-1周期信号的频谱分析--傅立叶级数 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 频谱图(简称频谱) ∑ ∞ =−∞ = n jnω t ne 0 f(t) c 特点：周期信号的频谱是最小频率间隔为 的 离散谱（线状谱），简称谱线 ω0 Cn ω 例： §3-1周期信号的频谱分析--频谱图 复频谱 *** 振幅谱(偶对称谱) 2 −τ 2 τ a -T T t 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 频谱图(简称频谱) ∑ ∞ =−∞ = n jnω t ne 0 f(t) c 特点：周期信号的频谱是最小频率间隔为 的 离散谱（线状谱），简称谱线 ω0 φn ω 例： §3-1周期信号的频谱分析--频谱图 复频谱 *** 相位谱(奇对称谱) 当φn=0或π时, Cn为实数 复频谱简化为实频谱 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 Cn ω T aτ §3-1周期信号的频谱分析—举例 2 −τ 2 τ a -T T t *** 实频谱 φn=0 φn=π ) 2 nω Sa( T a nω /2 sin(nω /2) T a c 0 0 0 n τ τ τ τ τ = = 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 §3-1周期信号的频谱分析—举例 2 −τ 2 τ a -T T t *** ) 2 nω Sa( T a nω /2 sin(nω /2) T a c 0 0 0 n τ τ τ τ τ = = π x 1 2π 4π 3π max=Sa(0)=1 Sa(n π) = 0 Sa(x)随x→±∞波动衰减趋向零 取样函数(Sampling Function) x sin(x) sinc(x)= Sa(x)= 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 2π/τ ω1 = ω0 =2π/T ω2 =2ω0 = 4π/T Cn ω T aτ ) 2 nω Sa( T a c 0 n τ τ 频谱图 = = BW 频宽 §3-1周期信号的频谱分析—举例 包络C0sinc(ωτ / 2) 2 −τ 2 τ a -T T t 频宽•脉宽=常数 （2π） 周期信号的大部分能量分布于零到某一频率范围内
§3-1-3周期信号的对称性与傅氏级数的关系 3-1-3周期信号的对称性与傅氏级数的关系 f(t)=0+>(a, cosnwot+b,sinn wot) 口半周期镜像对称信号(半被键像对称信号 口周期偶函数f(t)=f(-t) ft+T/2)=-f(t) 2一纵轴对称号口b=0 2K 口周期奇函数f(t)=f(-t) 一原点对称号a=0自 Th f(t) cosnwotdi 口半周期量迭信号f(t)=f(t+T/2) 4 =2。无奇次项谐波分量 f(t). sinnott T (n=2k+1) E314常用周期僧号矩形波僧号(对称方波 §3-1-4常用周期信号—锯齿波信号 )。-2n▲是半周期镜像对称信号 -2m/T t是原点对称信号 ▲除直流外,为原点对称 r(2k+1) 2:m:m2: §3-1-4常用周期信号 口纵轴对称信号 §3-1-6周期信号作用于线性电路的稳态响应(了解) 口半周期重选信号 半波整流 全波整流 ∑Acos(nut) v△ 1.将输入f(t)展开成傅氏级数n=i v 2.将线性电路用复数形式表示j 3.求出H)=Y)/F) 4.求解各谐波分量响应Yno) s.选加∑Y(n) r(t)=4m(1-1c cosa,t-1 cos ot 还原y(t) 5.cost ot-.scos8a。t-…) 6
6 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 T/2 T/2 T/2 周期偶函数 f(t)=f(-t) -- 纵轴对称信号 bn=0 周期奇函数 f(t)=-f(-t) -- 原点对称信号 an=0 半周期重迭信号 f(t)=f(t+T/2) ω’=2ω0 无奇次项谐波分量 ∑ ∞ = = + + n 1 n 0 n 0 0 (a cosnω t b sinnω t) 2 a f(t) ∫ ∫ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ T/2 0 2k 0 T/2 0 2k 0 f(t) sin2kω t dt T 4 f(t) cos2kω t dt b T 4 a , §3-1-3周期信号的对称性与傅氏级数的关系 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 半周期镜像对称信号(半波镜像对称信号) f(t+T/2) = -f(t) T/2 a 2K = b 2K = 0 ∫ = ⋅ + T/2 0 2k 1 f(t) cosnω0tdt T 4 a (n 2k 1) f(t) sinnω tdt T 4 b T/2 0 2k 1 0 = + = ⋅ + ∫ §3-1-3周期信号的对称性与傅氏级数的关系 n=1 n=2 n=3 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 a 2 T t f(t) ω 0 = 2 π T -a T ▲是半周期镜像对称信号 ▲是原点对称信号 an=0；b2k=0 (2k 1) 4a asinnω tdt T 4 b T/2 0 2k 1 0 + = = + ∫ π sin5ω t ...) 5 1 sin3ω t 3 1 (sinω t 4a f(t)= 0 + 0 + 0 + π §3-1-4常用周期信号--矩形波信号（对称方波） 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 a t f(t) ω 0 = 2 π T T ▲除直流外，为原点对称 an=0 2T ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = − + + sin3ω t +... 3 1 sin2ω t 2 1 sinω t a 2 a f(t) 0 0 0 π §3-1-4常用周期信号-- 锯齿波信号 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 Vi Vo + - + - t T/2 T 半 波 整 流 Vi Vo + - + - t T/2 T 全 波 整 流 §3-1-4常用周期信号 纵轴对称信号 半周期重迭信号 cos8 ω t - ...) 7 9 1 cos6 ω t - 5 7 1 - cos4 ω t 3 5 1 cos2 ω t 1 3 1 - 2 1 ( 4V f(t) 0 0 0 0 m ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ = π 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 H(j ω) = Y(j ω)/F(j ω) 步骤： 1. 将输入f(t)展开成傅氏级数 2. 将线性电路用复数形式表示 3. 求出 4. 求解各谐波分量响应 5. 迭加 §3-1-6周期信号作用于线性电路的稳态响应(了解) ∑ ∞ n=1 n 0 A cos(nω t) jω Y(jnω0) n 1 ∑ ∞ = 还原Æy(t) Y(jnω0)
§3-1-5周期信号的有效值和平均功率 3-1-5周期信号的有效值和平均功率 v(t=Vcos(ot); i(t)=I cos(at+P) v(t)=v+∑vcos(kt+φw) 口正弦信号的有效值和平均功率(复习) 有效值v-11 V cos( oot)dt= i(t)=Io+∑ Imk cos(kat+φn) 方均根值 r-V( Im cos( ot+p)Pt:王 口周期信号的有效值→方均模值设: ∑v 平均功率P=lpt=)i(tldt 周期信号的有效值等于 1 V..COSφ VIcose 各谐波分量的方均值之和 帕思伐定理( Parseval' 8 Theorem) §3-1-5周期信号的有效值和平均功率 §3-2-1从傅氏级数到傅氏变换 v(t)=v+∑ Vmk cos(kat+φw) f(t)-2cnenwo s th/ f(ternat i(t)=Io+∑ Imkcos(ku。t+甲n) 口周期信号的平均功率 t ()t LVI, COso 其中o=o-ohk 非周期信号相当于周期信号的周期T 周期信号的平均功率等于各频谱分量的平均功率之和 n/T→0L 0→do §3-2-2傅氏变换 §3-2-1从傅氏级数到傅氏变换 f(t) e rn fo limTcn=lim_/f(t).e-inudt dt limTcn=lim_f(t)e di an J-T/2 [ft)edt=F(a)函败 rf(t)e- ot dt=F(o) 健氏级数 f(t)=∑ Ceo 周期情号的频谱分析 任意情号的频谱分析 2 ∑re f(t)=(t+ f(t),T-∞ 贸中(t)=1["F(o)e-do 真散谵nn 连F
7 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 正弦信号的有效值和平均功率（复习） v(t) = Vmcos(ωt); i(t) = Imcos(ωt +φ) 有效值 (方均根值) [ ] 2 V V cos( ωt) dt T 1 V m T 0 2 = m = ∫ [ ] 2 I I cos( ωt φ) dt T 1 I m T 0 2 = m + = ∫ 平均功率 V I cosφ VIcosφ 2 1 v(t)i(t)dt T 1 p(t)dt T 1 P m m T 0 T 0 = = = = ∫ ∫ §3-1-5周期信号的有效值和平均功率 *** 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 ∑ ∑ ∞ = ∞ = = + + = + + k 1 0 mk 0 Ik k 1 0 mk 0 Vk i(t) I I cos(k ω t φ ) v(t) V V cos(k ω t φ ) ∫ ∑ ， ∞ = = = = k 0 2 k T 0 2 V (t)dt V T 1 V ...... 周期信号的有效值 →方均根值 设: 2 V V mk k = 周期信号的有效值利用三角函数的正交性 等于 各谐波分量的方均值之和. —— 帕思伐定理（Parseval’s Theorem） §3-1-5周期信号的有效值和平均功率 *** 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 ∑ ∑ ∞ = ∞ = = + + = + + k 1 0 mk 0 Ik k 1 0 mk 0 Vk i(t) I I cos(k ω t φ ) v(t) V V cos(k ω t φ ) ∫ ∑ ∞ = = = = + k 1 0 0 k k k T 0 p(t)dt V I V I cosΦ T 1 P ...... 其中 Φk =ΦVk −ΦIk 周期信号的平均功率 §3-1-5周期信号的有效值和平均功率 周期信号的平均功率等于各频谱分量的平均功率之和。 *** 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 周期信号的∑ 傅氏级数: ∞ =−∞ = n jnω t ne 0 f(t) c ∫ + = T/2 -T/2 -jnω t n f(t)e dt T 1 c 0 T→∞ lim 非周期信号 相当于 周期信号的周期 TÆ∝ 2 − τ 2 τ τ -T T t T 2 ω0 π = ω0 = 2π/T → 0 nω ω ω dω 0 0 → → §3-2-1从傅氏级数到傅氏变换 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 ∑ ∞ = −∞ = n jn ω t n e 0 f(t) c ∫ + = T/2 -T/2 - jn ω t n f(t) e dt T 1 c 0 f(t) e dt F(ω) limTc lim f(t) e dt - -jωt T/2 -T/2 -jnω t T n T 0 = ⋅ = = ⋅ ∫ ∫ +∞ ∞ + →∞ →∞ ∑ ∑ ∞ =−∞ ∞ =−∞ = = n 0 jnω t n n jnω t f(t) cne 0 Tc e 0 ω 2π 1 F(ω) e dω 2 1 f(t) jωt = ⋅ ∫ +∞ π −∞ 像函数 原函数 §3-2-2傅氏变换 *** 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 ∑ ∞ = −∞ = n jn ω t n e 0 f(t) c ∫ + = T/2 -T/2 - jn ω t n f(t) e dt T 1 c 0 f(t) e dt F(ω) limTc lim f(t) e dt - -jωt T/2 -T/2 -jnω t T n T 0 = ⋅ = = ⋅ ∫ ∫ +∞ ∞ + →∞ →∞ §3-2-1从傅氏级数到傅氏变换 *** 傅氏级数 傅氏变换 周期信号的频谱分析 f(t)=f(t+T) 0 0 nω ω 离散谱 Cn(nω0) 周期信号的频谱分析 f(t)=f(t+T) 0 0 nω ω 离散谱 Cn(nω0) 任意信号的频谱分析 f(t), TÆ∞ ω dω 连续谱F(ω) 任意信号的频谱分析 f(t), TÆ∞ ω dω 连续谱F(ω)
