北京大学：《电路分析原理 Circuit Analysis》课程教学资源（课件讲稿）第二章 线性电路的s域解法 §2-2 线性电路的s域解法

当§2-1拉普拉斯变换——定义 复习 彐拉普拉斯变换与傅立叶变换定义对比 彐傅立叶变换与反变换 F(O)=F(()=f(e ondt f(=F-F(o))=F(o)edo 彐拉普拉斯变换与反变换: F(s)=L(()=.f(bt f()()=L(F()="F(s"d 2mJ-0 L((=f(e"dt=l f(u()e-oa-jondt ∫[((k-pah=F(/()(ea

§2-1 拉普拉斯变换——定义 复习 拉普拉斯变换与傅立叶变换定义对比        F  f t  f t e dt jt () F 傅立叶变换与反变换：                     f t F F e d j t 21 ( ) 1 F 拉普拉斯变换与反变换：          0 F (s) f t f t e dt st L 0               jj st F s e ds j f t u t F s  2  1 ( ) 1 L                    t j t t st t j t f d f f t f t e dt f t u t e dt                  F 0 L             t j t t f t u t e e dt f t u t e          F

当§2-1拉普拉斯变换——性质 复习 = 拉普拉斯变换s 傅立叶变换jo = 目委加原理1(∑01(02a0)F∑4/0)-∑240) 日原函数微分L(()=sF()-f0) FUO=JoF(o) 扫原函数积分L()= F[(h)=(o) Jo 延迟定理L(f(-rl(-)=F(s)eF(f(t-z)=F(o)eor 彐位移定理 L((e")=F(s-a) F((e)=F(o-a 尺度变换 L f(ar))=FI (a)=2)

§2-1 拉普拉斯变换——性质 复习 拉普拉斯变换s 傅 叶变换 立 j          i i i i i i L  f t  F s          i i i i 叠加原理 F i fi t  F   i  i  i  i      0 ' L f t  sF s  f f t  jF ' 原函数微分 F   s F s f t dt t   0 原函数积分 L ( )   j F f t dt t    F ( )            s f t u t F s e L            j f t F e 延迟定理 F     s j        f t e  F s  t L        f t e  F  j t 位移定理 F    1  s       1        as F a f at 1 L       a F a f at 1  尺度变换 F

三§2-1拉普拉斯变换—反变换的求解复习 = 扫查表法 = 常用函数的拉氏变换表+拉氏变换基本性质 L(()=1 L(u()= = e"n()=1 J+a 扫②部分分式分解法 适合于像函数是s的有理分式的情况 日复变函数积分法(留数定理) 利用反变换的定义 留数定理

§2-1 拉普拉斯变换——反变换的求解 复习 查表法 常用函数的拉氏变换表 ＋ 拉氏变换基本性质  t 1 L  t 1 L    s L  t  1 L u t    1 1 !1     n n s t u t n     L      s e u t t 1 L 部分分式分解法 s    n!  s 适合于像函数是s的有理分式的情况 复变函数积分法（留数定理） 利用反变换的定义 留数定理

三§2-1拉普拉斯变换—反变换的求解复习 部分分式分解法 已知像函数F(s)= sas"+a,"+.+a,s+a ()b,s"+bnsn+…+bs+b 求原函数f(t B(s)=b(s-S)"(s-S2)2…(s-S)y,n1+n2+…n=n F(s)=P(s)+∑ (-s)(s-S (f0:18()= 1r()÷ n()2 LS-a

§2-1 拉普拉斯变换——反变换的求解 复习 部分分式分解法       1 0 1 1 1 0 1 1 b s b s b s b a s a s a s a B s A s F s n n n n m n m n                已知像函数 求原 数函 f( )t B b  S   S   S  n n nk ( ) 1 2 B s b s S  s S  s S  n n n n k n k n n n k ( )   1  2   , 1  2   1 2       k ni C C C F s P s 1 2 ( ) ( )                 i n i i i i i s S s S s S F s P s 1 2 2 1 1 ( ) ( )    s u t 1   t 1 t  s '     1 1 !1   n n s t u t n     1 1 !1    n n t s t u t e n  

三§2-1拉普拉斯变换—反变换的求解复习 部分分式分解法 例1:已知像函数F(s)=28 求原函数f(t 2 = 解:F(s) A B s+INs s+ 2 S 1 A=(s+1)F B=(-2)F(s s=2 s+1=2=3 21 F(s) 3s+13s-2 e

§2-1 拉普拉斯变换——反变换的求解 复习 部分分式分解法   , 2 2    s ss 例1：已知像函数F s 求原函数f(t)。 A B 解：   2 2    s ss F s    1  2  s ss   1    2    s B s A     31 2 1 1 1     s  s s s A s F s 2     1 3 2 2 2     s  s s s B s F s   1 1 2 1     2 1 32 1 1 31        s s F s f  t e e u t t t       2 32 31

扫§2-1拉普拉斯变换——反变换的求解 部分分式分解法 例2:已知像函数F() s2+2s 求原函数f(t s3-s2-s+1 解:F(s) s2+2s s2-+11+x3s-1 B =1+ = S+1 S+1(s A=(S+1)F(s)I (s s=-1 B=(-)F(a=3-1 s+ B f()=o()+(4e+Bne+cek()=6()+(-e+ne+ek()

§2-1 拉普拉斯变换——反变换的求解 部分分式分解法 2 3 2   , 1 2 3 2 3 2       s s s s s s 例2：已知像函数 F s 求原函数f(t)。   2 3 2 s  s  s 解 3s 1 A B C   1 2 3 2      s s s s s s 解： F s    1 1 3 1 1 2      s s s 1   1 1 1 2        sC s B s A 3s 1       1 1 3 1 1 1 2 1      s  s ss A s F s      2 3s 1      1 1 3 1 1 1 1 2     s  s ss B s F s     1 2 1   B C   F    1 1 1 1 2 1 1           s s s s C s F s f  t t Ae Bte Ce u t t  e te e ut t t t t t t              

§2-1拉普拉斯变换求解电路实例 例:在右图所示电路中,电压源上的电压为单 R 位阶跃函数u(t),已知t=0时电容上的电荷为 0,求t>0时电容上的电压vn(t)及其初值v(0+) 和终值ν(o)。 u(t) 解:电容的VR方程(t)=C() 求t0起始值1() L方程 u(r)=RCv(o)+vt 做拉氏变换,得 =RC[s(s)-0]+() 解得 s(RCs S RC

§2-1 拉普拉斯变换——求解电路实例 例：在右图所示电路中，电压源上的电压为单 R 位阶跃函数u(t)，已知t=0-时电容上的电荷为 vc(t) + _ C - + u (t) 位阶跃函数u(t)，已知t 0 时电容上的电荷为 0,求t>0时电容上的电压vc(t)及其初值vc(0＋) 和终值vc()。 d 解：   0   Q 电容的VCR方程 v t dtd i t  C c ( )     0 0 0    CQ vc     d 求t=0-起始值 v t v t dtd u t  RC c  c ( ) 做拉氏变换 得 RC V   0 V   1 KVL方程 做拉氏变换,得： RCsV s  V s s  c  0  c V   1 1 1 解得     RC s s RCs s V s c 1 1     解得 

扫§2-1拉普拉斯变换——求解电路实例 = 彐例:在右图所示电路中,电压源上的电压为单 R 位阶跃函数u(t),已知t0时电容上的电荷为 目和盐0)上的电压2(其初03。c=0 = s+ 反变换回时域 >O时,v:()=()1-en 主v:() limsk(s)=lim=0 v()=limsk()=lim s→oRCS+1 →0 s→0RCs+1

§2-1 拉普拉斯变换——求解电路实例 例：在右图所示电路中，电压源上的电压为单 R 位阶跃函数u(t)，已知t=0-时电容上的电荷为 Vc(t) + _ C - + u (t) 位阶跃函数u(t)，已知t 0 时电容上的电荷为 0,求t>0时电容上的电压vc(t)及其初值vc(0＋) 和终值vc()。 1 1   RC s s V s c 1 1 1             RCt c t 0时，v t u(t) 1 e RC 反变换回时域       0 1 1 0 lim lim        RCs v sV s s c s c    1 1 1 lim lim 0 0        RCs v sV s s c s c s s RCs 1 s0 s0 RCs 1

主第二章:线性电路的s域解法 彐§2-1拉普拉斯变换 扫§2-2线性电路的s域解法 元件的s域等效电路 彐》网络的响应和s域的传递函数 延迟线的传递函数 日§2-3卷积

第二章：线性电路的 s域解法 §2-1 拉普拉斯变换 §2-2 线性电路的s域解法  元件的s域等 效电路  网络的响应和s域的传递函数  延迟线的传递函数 §2-3 卷积

当§2-2线性电路s域解法——元件的s域等效电路 主信号的s域形式 时域 s域 电阻的s域等效电路 时域 s域 VR方程 =R( (s)=R(s) 电阻的s域形式与时域形式一样

§2-2 线性电路s域解法——元件的s域等效电路 信号的s域形式 时域 s域 Vt Vs It Is 电阻的s域等效电路 It Is 电阻的s域等效电路 时域 s域 Vt  RIt V s  RIs 时域 s域 VCR方程 电阻的s域形式与时域形式一样