北京大学：《电路分析原理 Circuit Analysis》课程教学资源（课件讲稿）第三章 信号的频谱 §3-2 非周期信号的频谱密度 §3-3 频谱分析的基本定理

由§3-1周期信号的频谱 例题 f() 书如右图所示的周期性矩形脉冲信号 由(周期为T)经过一个低通滤波器,求 扫其响应及响应的平均功率。已知该滤 扫波器的传递函数为 0 T/3 T t Jor 7≤3m时 日B(o)={(2-1or/3r)2,3x<o7≤6时 6丌<@7时 扫分析: 周期信号可以分解成直流、基波、高次谐波等分量 每个分量经过滤波器→复数解法

§3-1 周期信号的频谱 例题： O t f(t) T/3 1 -T T 如右图所示的周期性矩形脉冲信号 （周期为T）经过一个低通滤波器，求 其响应及响应的平均功率。已知该滤 波器的传递函数为               时 时 时 T T e T e T H j j j             0, 6 2 / 3 , 3 6 , 3 分析： 周期信号可以分解成直流、基波、高次谐波等分量 每个分量经过滤波器  复数解法

由§3-1周期信号的频谱 解: f() 求傅立叶系数 令a=2/T 扫扫扫扫扫扫扫扫扫扫扫扫扫扫扫扫扫扫扫扫扫扫 T/3 e dt e T ingoT 0 T/3 T t n7 SIn c 3 e"jnz/3 A,=CC e1=2Cn~基波和n次谐波的复数表示 低通滤波器只通过低于3o的信号,因此信号中只有直流、基波和 二次谐波分量通过。 输出信号中的直流分量为:4B(o)=1

§3-1 周期信号的频谱 解： 求傅立叶系数：    /3 0 0 1 T jn t n e dt T C  O t f(t) T/3 1 -T T 令0=2/T / 3 0 0 0 1 T jn t e jn T      /3 3 sin 3 1  jn e n c     3 1 A0  C0  2 n j An n e C   ~基波和n次谐波的复数表示 低通滤波器只通过低于30的信号，因此信号中只有直流、基波和 二次谐波分量通过。 输出信号中的直流分量为：   31 0 0   A H j

由§3-1周期信号的频谱 解: 扫扫扫扫扫扫扫扫 扫输出信号中的基波分量的复数表示为: 2 A,e/ Hu sinc 输出信号中的二次谐波分量的复数表示为 A2e%HOjo) 4 sin c 扫输出信号的时域表达式为: 丌 4 2丌 -+-sin c cos (ot OT+-sin c cos 20. -20r 扫输出信号的平均功率为: -sin SIn c ≈0.280

§3-1 周期信号的频谱 解： 输出信号中的基波分量的复数表示为：             0 0 1 / 3 1 3 sin 32       j j A e H j c e 输出信号中的二次谐波分量的复数表示为：             0 0 2 2 /3 2 2 2 32 sin 94       j j A e H j c e 输出信号的时域表达式为：                           0 0 0 0 2 32 cos 2 32 sin 94 3 cos 3 sin 32 31 c t c t 输出信号的平均功率为： 0.280 3 2 sin 9 4 2 1 3 sin 3 2 2 1 3 1 2 2 2                  P c c out

扭第三章:信号的频谱 扫§3-1周期信号的频谱 §3-2非周期信号的频谱密度 傅立叶变换与频谱密度 信号的频谱分布与带宽 基本信号的频谱密度 扭§3-3频谱分析的基本定理 §3-4采样定理

第三章：信号的频谱 §3-1 周期信号的频谱 §3-2 非周期信号的频谱密度  傅立叶变换与频谱密度  信号的频谱分布与带宽  基本信号的频谱密度 §3-3 频谱分析的基本定理 §3-4 采样定理

§3-2-1傅立叶变换与频谱密度 扫傅立叶变换的引出 fo 扫如何从频域描述一个非周期信号? 傅立叶级数? 显然不行 扫怎么办? 考虑有限区间 fab(t 退而求其次,先考虑描述函数在有限区间 a,b)上的一段吧 周期扩展 fro 再扩展成周期T=b-n的函数/ 扫f0:在区间a.b上与f(相同 周期函数可以用傅立叶级数表

§3-2-1 傅立叶变换与频谱密度 傅立叶变换的引出 如何从频域描述一个非周期信号？ t f(t) 傅立叶级数？ —— 显然不行 怎么办？ 退而求其次，先考虑描述函数在有限区间 [a,b)上的一段吧 t fa,b(t) a b t f T(t) a b 考虑有限区间 周期扩展 再扩展成周期T=b-a的函数 fT(t) fT(t): 周期函数 ~可以用傅立叶级数表示 在区间[a,b)上与 f(t) 相同

§3-2-1傅立叶变换与频谱密度 扫傅立叶变换的引出 fr(0) 如果f(满足狄利克雷条件,则可以展开成 扫傅立叶级数: 定义:C fr((b-inoo'dt O2=2/T rf(e- inode, (+0)+f(-0),t∈(ab) 则:∑Cem= f(a+0)+f(b-0) t=a或b 2 傅立叶级数只在区间(ab)上收敛于f(), 因此Cn并不是八(的复频谱

§3-2-1 傅立叶变换与频谱密度 傅立叶变换的引出 t f T(t) a b     , 1 1 0 0 f t e dt T f t e dt T C jn t b a jn t b a n T                             t a b f a f b t a b f t f t C e n jn t n , 或 2 0 ( 0) , , 2 0 ( 0) 0 傅立叶级数只在区间 (a,b) 上收敛于 f(t)， 因此 Cn并不是 f(t) 的复频谱 如果fT(t) 满足狄利克雷条件，则可以展开成 傅立叶级数： 定义： 则： 0=2/T

§3-2-1傅立叶变换与频谱密度 扫傅立叶变换的引出 fo 扫进一步,选取对称区间-T2,T2)逐步增大 扫T,则级数收敛到(的区域(m2,m2)就继续 增大 T2 n2 t 7m2 T/2 0=2T/T f()=∑Cnem t∈(-T/2,T/2 n三00 书当T>时,级数收敛到0的范围就扩大到整个时间轴 271m2(km f()=lim∑ T/2 Do dt lejne

§3-2-1 傅立叶变换与频谱密度 傅立叶变换的引出 进一步，选取对称区间 [-T/2,T/2)。逐步增大 T，则级数收敛到f(t)的区域(-T/2,T/2)就继续 增大....... t f(t) -T/2 T/2 f  t e dt T C jn t TT n 0 / 2/ 2 1        , / 2, / 2 0 f t C e t T T n jn t   n      当 T 时, 级数收敛到f(t)的范围就扩大到整个时间轴......               n jn t TT jn t T f t e dt e T f t 0 0 / 2/ 2 1 lim   0=2/T Cn

§3-2-1傅立叶变换与频谱密度 扫傅立叶变换的引出 T/2 (a=lim ∑|7∫ f(e T→∞ T/2 T增加 扫厦着T÷0 扫①谱线间距a=2πT→0,即由线状谱→连续谱 T/2 f(tb- moo'dt 如果∫(dm为有限值,则n0 考虑用F(o)=f(0来表示的频谱傅立叶变换

§3-2-1 傅立叶变换与频谱密度 T 增加 随着 T 谱线间距0=2/T 0, 即由线状谱连续谱 f  t e dt T C jn t TT n 0 / 2/ 2 1      傅立叶变换的引出               n jn t TT jn t T f t e dt e T f t 0 0 / 2/ 2 1 lim    f  t e dt  jt  如果 为有限值，则Cn0 F   f t e dt jt    考虑用  来表示f(t)的频谱 ~傅立叶变换

§3-2-1傅立叶变换与频谱密度 傅立叶变换的引出 扫扫扫扫扫扫扫扫扫扫扫扫扫扫扫扫扫扫扫扫扫扫扫扫扫扫扫 f(t=lir m∑ dt T→+00 TJ7/2 im∑ FIno 2丌 令△aF F(n△o)en\,O Aa→0 2丌 n=-o FoEto do 傅立叶反变换 2丌 定义 傅立叶变换 F(o)=()=( 傅立叶反变换[F(o) 2丌 ∫F(o}-do

§3-2-1 傅立叶变换与频谱密度               n jn t TT jn t T f t e dt e T f t 0 0 22 1 lim   F     f t f  t e dt jt     F  定义： 傅立叶变换            F F e d j t    2 1 1 傅立叶反变换 F 傅立叶变换的引出         n jn t e F n 0 0 2 lim 0 0 0                     n jn t F n e 2 lim0         F e d j t 21 令= 0 ~傅立叶反变换

§3-2-1傅立叶变换与频谱密度 扫傅立叶变换收敛定理:(充分非必要条件 扭如果 1)f(4)在任何有限区间上满足狄利克雷条件; 2)(在(-0,+∞)上绝对可积; ()-,厂(k dt eda ~傅立叶积分式 2丌 ( t为f()的连续点 f(+0)+f(t-0) 为f(t)间断点 2

§3-2-1 傅立叶变换与频谱密度 傅立叶变换收敛定理：(充分非必要条件) 1) f(t)在任何有限区间上满足狄利克雷条件； 2) f(t)在(-,+)上绝对可积； 如果 则     ～傅立叶积分式                    为 的间断点 为 的连续点 t f t f t f t f t t f t f t f t e dt e d j t j t , 2 0 0 , 2 1 ~    