北京大学：《电路分析原理 Circuit Analysis》课程教学课件（英文版）第二章拉普拉斯分析第一节拉氏变换.pdf_大学文库

北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 第？讲：复习北京大学 wwhu 北京大学《Principles of Circuit Analysis》 Chapter 2: Laplace Transform Lecture 1 2009.10.13 Interest Focus Persistence Originality 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 Chapter 1 Introductory Linear Circuit Analysis– key words §1-1: Introduction to Linear Circuit Analysis Lumped Parameter Hypothesis, Basic Approaches, Basic Parameters, Basic Terminology, Reference direction, Fundamental Law (KVL, KCL, VCR) §1-2: Common linear circuit elements and Their Constraint Equations Classification of components, resistance element, independent source, controlled source, dynamic element §1-3: Equivalent of the Linear Network with Two Terminals (One-port Network) The concept of equivalent, the transfer of source, Thévenin's theorem, Norton's theorem (the equivalent of source) §1-4: Typical source signals §1-5: Time-domain analysis of Linear and Time-invariant Networks (Analysis of First Order Circuit) definition of initial state (initial value, initial conditions), Time-domain analysis of dynamic circuits, three-element method §1-6: Analysis of sinusoidal Steady-state Circuit (complex solution of the circuits) definition, complex and phasor, phasor method and complex method, impedance and admittance, The power of sinusoidal steady-state, The stability of networks §1-7: transfer function, filter transfer function, frequency response, first-order filter, second-order filter Review 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 Fundamental Law and Reference direction *** ∑Ii(jw) = 0 Review Kirchhoff's first law : (Kirchhoff's Current Law (KCL)) At any point in an electrical circuit that does not represent a capacitor plate, the sum of currents flowing towards that point is equal to the sum of currents flowing away from that point. That is: ∑ij (t0)=0 Law of Conservation of Charge (Gauss’s Law ) ∑Vi(jw) = 0 J dS = 0 ∫∫Ò g Kirchhoff's second law : (Kirchhoff's Voltage Law (KVL)) The directed sum of the electrical potential differences around any closed circuit loop must be zero. That is ∑vj (t0)=0 Law of Conservation of Electric Potential (Law of Loop) E dl = 0 ∫Ñ g 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 Zeq(jw) VOC(jw) + - Thévenin's source circuit Norton's source circuit ISC Zeq(jw) (jw) Ns Ns equivalent Ns Ns V(jw)=0 ISC(jw) + - Ns Ns I(jw)=0 VOC(jw) + - Time-domain, Complex-domain, S-field-domain… Thévenin's theorem and Norton's theorem (linearity, including source) *** Complex form Review 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 The relation between the responses and the unit signals r t ut '( ) ( ) = [ ( ) ( )] 1 ( ) − − Δ Δ PΔ t = u t u t limP ( )t ( ) Δ Δ 0 = δ t → N u(t) s(t) N δ(t) h(t) h (t) Δ P ( ) t Δ NN Definition: ht s t ( ) '( ) = Reasoning : ut t '( ) ( ) = δ limh ( )t ( ) Δ Δ 0 = h t → Review 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 ( ... ) ( ) ( ) 1 1 0 ( 1) 1 ( ) a y t x t dt d a dt d a dt d a n n n n n n + + + + = − − − j j t x t A e e ϕ0 ω 0 ( ) = j t j j t n j n n n a j a j a j a Y e e A e e ϕ y ω ϕ ω ω ω ω 0 0 0 0 1 1 1 1 ( ( ) + ( ) +...+ ( ) + ) = − − j t j y t Y e e ϕ y ω 0 ( ) = * The differential equations for the circuit which has N independent dynamic elements: Analysis of sinusoidal Steady-state Circuit (complex solution of the circuits) Let: F(jw) Y(jw) X(jw) And we have: = Y(jω) X(jω) Transfer H(jω) = Function: F(jω) 1 Review When input is , the stable response is

北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 H(jω) =Comp. rep. of res. Comp. rep. of sti. X(jω) Y(jω) = jΦ(ω) = |H(jω)|· e Simply: ∠Φ Simply: ∠Φ (ω) |H(jω)|： Φ(ω) : ω为自变量 ω为自变量 + = Frequency response curve Phase characteristic curve Amplitude characteristic curve ３.The amplitude and phase characteristic of the transfer function*** Amplitude characteristic of network Phase characteristic of network Review 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 C2-1 Introduction 1. Response of linear circuits for any input 2. Introduction to transform analysis and Laplace Transform C2-2 Laplace Transform 1. Definition 2. Basic property 3. Conventional Laplace Transform C2-3 Solving the linear circuits using Laplace Transform 1. Transform for basic laws 2. Transform for circuits’ branch 3. Transform for passive single-port network (General Ohm's Law V(S)=Z(S)I(S)) 4. Transform for active single-port network (Thévenin's circuits and Norton's circuits : Voc(S), Isc(S), Zeq(S)) 5. Solution: transform and inverse transform C2-4 S-domain description of the network transfer function 1. Definition (H(S)=Y(S)/F(S)) 2. Characteristic Chapter 2: Laplace Transform Content 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 Content for Today’s Lecture C2-1 Introduction 1. Response of linear circuits for any input 2. Introduction to transform analysis and Laplace Transform C2-2 Laplace Transform 1. Definition 2. Basic property 3. Conventional Laplace Transform 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 C1: Introductory Linear Circuit Analysis - example + - Vs 0.1F 5Ω ~ 10Ω 0.2F + - Vo Q1：H(jω)=Vo/Vs=？ Q2：Vs=cos(ωt)，Vo=？ Q3：Vs=1，Vo=？ Q4：Vs=u(t)，Vo=？ Q5：Vs=δ(t)，Vo=？ Q6：Vs=f(t)，Vo=？ stable stable stable transient transient transient H(j H(j ωω)) X(j ω) Y(j ω) 频域描述输入信号（激励）输出信号（响应） h(t) h(t) x(t) y(t) 输入信号（激励）输出信号（响应）时域描述 y(t) = F{ x(t), h(t) } Y(j ω ) = H(jω ) · X(jω ) H(j H(j ωω)) X(j ω) Y(j ω) Frequency-domain h(t) h(t) x(t) y(t) input （stimulation） output （response） Time-domain y(t) = F{ x(t), h(t) } Y(j ω) = H(jω ) · X(jω ) NNs s NN NNLL N x(t) y(t) simplified input （stimulation） output （response） input （stimulation） output （response）北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 + - Vs 0.1F 5Ω ~ 10Ω 0.2F + - Vo Q1：H(jω)=Vo/Vs=？ Q2：Vs=cos(ωt)，Vo=？ Q3：Vs=1，Vo=？ Q4：Vs=u(t)，Vo=？ Q5：Vs=δ(t)，Vo=？ Q6：Vs=f(t)，Vo=？ Symbolic circuits (Phasor model) 1/jωC + - Vs(jω) 10/jω ~ 5 10 + - 5/jω Vo(jω) 4 ( 1/ ) 1 ( ) ( ) ( ) ω ω ω ω ω + − = = Vs j j Vo j H j C1: Introductory Linear Circuit Analysis - example 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 + - Vs ~ 0.1F 5Ω 10Ω 0.2F + - Vo Q1：H(jω)=Vo/Vs=？ Q2：Vs=cos(ωt)，Vo=？ Q3：Vs=1，Vo=？ Q4：Vs=u(t)，Vo=？ Q5：Vs=δ(t)，Vo=？ Q6：Vs=f(t)，Vo=？ Vs(t)=cos(ωt) Vs(jω)= 4 ( 1/ ) 1 ( ) ( ) ( ) ω ω ω ω ω + − = = Vs j j Vo j H j Vo(jω)=1/4 Vo(t)=cos(ωt)/4 Inverse transform 1 If ω=1 then: (ω=1) C1: Introductory Linear Circuit Analysis - example

北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 + - Vs ~ 0.1F 5Ω 10Ω 0.2F + - Vo Q1：H(jω)=Vo/Vs=？ Q2：Vs=cos(ωt)，Vo=？ Q3：Vs=1，Vo=？ Q4：Vs=u(t)，Vo=？ Q5：Vs=δ(t)，Vo=？ Q6：Vs=f(t)，Vo=？ + - Vs ~ 0.1F 5Ω 10Ω 0.2F + - Vo + - Vs ~ 0.1F 5Ω 10Ω 0.2F + - Vo DC: ω=0 VHF: ω=∞ Solution: Vo=0 Band-pass filter: ωo=1 4 ( 1/ ) 1 ( ) ( ) ( ) ω ω ω ω ω + − = = Vs j j Vo j H j C1: Introductory Linear Circuit Analysis - example 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 + - Vs ~ 0.1F 5Ω 10Ω 0.2F + - Vo Q1：H(jω)=Vo/Vs=？ Q2：Vs=cos(ωt)，Vo=？ Q3：Vs=1，Vo=？ Q4：Vs=u(t)，Vo=？ Q5：Vs=δ(t)，Vo=？ Q6：Vs=f(t)，Vo=？ tt≥≥00 + - Vs 5 ~ 10 5/jω + - Vo 10/jω V ( jω) = Z( jω)I( jω) C1: Introductory Linear Circuit Analysis - example stable stable stable transient transient transient 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 + - Vs ~ 0.1F 5Ω 10Ω 0.2F + - Vo Q1：H(jω)=Vo/Vs=？ Q2：Vs=cos(ωt)，Vo=？ Q3：Vs=1，Vo=？ Q4：Vs=u(t)，Vo1=？ Q5：Vs=δ(t)，Vo2=？ Q6：Vs=f(t)，Vo3=？ 2 1 ' 0 0 ' 1 '' 2 (0 ) (0 ) ( ) ( ) ( ) v K v K a v t a v t a v t A o o o o o + = + = + + = ( ) ... v01 t = Initial state Change branch Initial value General solution undetermined coefficient specific solution C1: Introductory Linear Circuit Analysis - example 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 Q1：H(jω)=Vo/Vs=？ Q2：Vs=cos(ωt)，Vo=？ Q3：Vs=1，Vo=？ Q4：Vs=u(t)，Vo1=？ Q5：Vs=δ(t)，Vo2=？ Q6：Vs=f(t)，Vo3=？ δ(t)=d[u(t)]/dt h(t)=d[s(t)]/dt + - Vs ~ 0.1F 5Ω 10Ω 0.2F + - Vo C1: Introductory Linear Circuit Analysis - example 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 + - Vs ~ 0.1F 5Ω 10Ω 0.2F + - Vo Q1：H(jω)=Vo/Vs=？ Q2：Vs=cos(ωt)，Vo=？ Q3：Vs=1，Vo=？ Q4：Vs=u(t)，Vo1=？ Q5：Vs=δ(t)，Vo2=？ Q6：Vs=f(t)，Vo3=？？ N-order linear circuits Solution to response for any input~ Transient + stable C1: Introductory Linear Circuit Analysis - example h(t) h(t) x(t) y(t) 输入信号（激励）输出信号（响应）时域描述 y(t) = F{ x(t), h(t) } h(t) h(t) x(t) y(t) input （stimulation） output （response） Time-domain y(t) = F{ x(t), h(t) } 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 Introduction -- Response of linear circuits for any input 1. Response of linear circuits for any input Review： unit step response unit pulse response unit impulse response Sinusoidal steady-state response NN u(t) s(t) h (t) Δ P ( ) t Δ NN δ( ) t h(t) = s'(t) NN X( ) jω Y(jω) NN cos( ) ω t0 X( ) jω Y(jω) NN ∑cos( ) ω ti Periodic signal Sinusoidal signal For For ANY ANYsignal signal？？ Æpiecewise simulation, piecewise linearization Æpiecewise simulation, piecewise linearization *

北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 f() () ( ) ( ) t = u t +u t − Δ +u t −2Δ 0 t 1 2 3 Δ 2Δ Example：The representation of uniform piecewise linearity signal = ΔPΔ () ( ) ( ) t +2ΔPΔ t − Δ +3ΔPΔ t −2Δ +L = [ ] u() ( ) t −u t − Δ +2[ ] u( )( ) t − Δ −u t −2Δ +3[ ] u( )( ) t −2Δ −u t −3Δ +L h ( ) t PΔ ( ) t Δ NN [ ] s() ( ) t s t Δ Δ 1 [ ] u() ( ) t u t Δ = − − Δ 1 = − − Introduction -- Response of linear circuits for any input 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 0 Δ t f(t) Stimulating in several segments f1 (t) = f(0Δ)⋅PΔ (t)⋅Δ f2 (t) = f(1Δ)⋅PΔ (t -1Δ)⋅Δ fk+1 (t) = f(kΔ)⋅PΔ (t -kΔ)⋅Δ • • • • • • • • • • ＋ f () ( ) ( ) t f kΔ PΔ t -kΔ Δ N 1 k 0 N 1 k 0 k 1 ∑ = ∑ • • − = − = + y () ( ) ( ) t f kΔ h t -kΔ Δ N 1 k 0 Δ N 1 k 0 k 1 ∑ = ∑ ⋅ ⋅ − = − = + Δ 2 t Δ=t/N response response The processing of any signal (causal signal) Introduction -- Response of linear circuits for any input 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 0 Δ Δ2 3Δ t f(t) f() () t lim f t N 1 k 0 k 1 Δ 0 ∑ − = + → = 0 t () () ∑ − = + → = N 1 k 0 k 1 Δ 0 y t lim y t lim f() ( ) kΔ h t -kΔ Δ N 1 k 0 Δ Δ 0 = ∑ ⋅ ⋅ − = → () ( ) ∫ = ⋅ − ⋅ t 0 f τ h t τ dτ Δ=t/N y() () () t = f t ∗h t convolution 卷积积分h(t) h(t) f(t) y(t) Stimulating in several segments Introduction -- Response of linear circuits for any input * The processing of any signal (causal signal) 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 Introduction to transform analysis and Laplace Transform y(t) () () = f t ∗h t 卷积积分h(t) h(t) f(t) y(t) H(j H(jωω)) X(jω) Y(jω) input （stimulation） output （response） Y(jω) = H(jω) · X(jω) () ( ) ( ) ∫ = ⋅ − ⋅ t 0 y t f τ h t τ dτ Find a transformation LetÆ Y(?) =F(?) () ⋅H ? Stimulating in several segments The processing of any signal (causal signal) convolution 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 C2-1 Introduction 1. Response of linear circuits for any input 2. Introduction to transform analysis and Laplace Transform C2-2 Laplace Transform 1. Definition 2. Basic property 3. Conventional Laplace Transform C2-3 Solving the linear circuits using Laplace Transform 1. Transform for basic laws 2. Transform for circuits’ branch 3. Transform for passive single-port network (General Ohm's Law V(S)=Z(S)I(S)) 4. Transform for active single-port network (Thévenin's circuits and Norton's circuits : Voc(S), Isc(S), Zeq(S)) 5. Solution: transform and inverse transform C2-4 S-domain description of the network transfer function 1. Definition (H(S)=Y(S)/F(S)) 2. Characteristic Chapter 2: Laplace Transform Content 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 * Mathematical problem of Laplace Transform * The introduction of Laplace Transform to Circuit Analysis * Request of learning Laplace Transform ÆThe rigorous mathematical derivation and proof are the task of mathematical class. Our duty here is doing the simple Laplace Transform and Laplace Inverse Transform – simple integral. ÆIt is a tool of Circuit Analysis. ÆAnalyzing the network using Laplace Transform, and solving the response of circuits. Not just mathematical analysis. Introduction -- Response of linear circuits for any input

北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 Content §2－1 Introduction 1. Response of linear circuits for any input 2. Introduction to transform analysis and Laplace Transform §2－2 Laplace Transform 1. Definition 2. Basic property 3. Conventional Laplace Transform 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 Laplace Transform -- definition ( ) () ∫ ∞ −∞ − F s = f t e dt st Laplace Transform ( ) ( ) ∫ + ∞ − ∞ = σ j σ j st f t F s e ds 2πj 1 Laplace Inverse Transform Casual signal f (t ) = f (t ) () ⋅u t F( ) s = f(t) f( ) t =F(s) ( ) ∫ ∞ − − = 0 f t e dt st Image function Image function Original function Original function t field t field S field S field f(t) F(s) a one-to-one relationship *** the convergenc e of Laplace Transform σ、− σ，北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 ( ) () () ∫ ∫ ∞ − − ∞ −∞ − = = 0 F s f t e dt f t e dt L.T. st st ( ) ( ) ∫ + ∞ − ∞ = σ j σ j st f t F s e ds 2πj 1 L.I.T. F( ) s = f(t) f( ) t =F(s) Example: the L.T. of δ() () t ,u t ,eαt （image function） ( ) s 1 u t e dt e dt st 0 st = = ∫ ∫ ∞ − ∞ − − 0 ( ) s 1 u t = δ( ) t e dt e 1 t 0 st 0 st = = = − ∞ − ∫ − δ( ) t =1 ( ) s-α 1 e e dt e dt 0 s-α t 0 αt st = = ∫ ∫ ∞ − ∞ − − s-α 1 eαt = Laplace Transform (L.T.) -- definition *** 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 Tea break！ Tea break！北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 Laplace Transform -- Basic property e.g.1：if Q: image function of , s α 1 eαt − = ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = − = + jωt -jωt jωt -jωt e e 2j 1 sinωt e e 2 1 cosωt ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − − = + =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + − = ∴ 2 2 2 2 s ω ω s jω 1 s jω 1 2j 1 sinωt s ω s s jω 1 s jω 1 2 1 cosωt unique F( ) () s ↔ f t A one-to-one relationship Linearity α1 f1 () () ( ) ( ) t + α2 f2 t = α1F1 s + α2F2 s s jω ω − = j t 1 e cosωt,sinωt *** 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 e.g.2：Laplace Transform of Ohm’s Law v t Ri t () () = V s RI s () () = vt V s () ( ) = it I s () ( ) = Ri t RI s () () = e.g.3：Laplace Transform of KCL、KVL If …… it Is 1 1 ( ) = ( ) it Is 2 2 ( ) = ( ) Linearity Linearity ∑it Is i i ( ) =∑ ( ) ∑it 0 i ( ) = Unique Unique ∑Ii(s) = 0 Linearity Linearity Unique Unique *** Unique F(s)↔ f(t) A one-to-one relationship Linearity α f (t ) α f (t ) () α F s α F (s) 1 1 + 2 2 = 1 1 + 2 2 Laplace Transform -- Basic property

北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 Differentiation () ( ) ( ) 0- f' t = sF s − f () () ( ) ( )( ) ( ) () f ( ) () 0 sF s 0 f 0 s f t e dt e f t f t - se dt f' t e dt e df t 0 st 0 st 0 st 0 st 0 st = − + = − + = − = − ∞ − − ∞ − ∞ − ∞ − ∞ − ∫ ∫ ∫ ∫ − − − − − Proof： Initial state of network, info Initial state of network, information of c rmation of changing circuit hanging circuit Laplace Transform -- Basic property 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu＋北京大学 CS － I( ) s V( ) s ( ) s V 0- ＋－ () () ( ) I s = CsV s − CV 0- ＋－ I( ) s V( ) s CS ( ) CV 0- ( ) ( ) ( ) 0- f' t = sF s − f transform transform Equivalent Equivalent ( ) ( ) dt dV t I t = C ＋－ V(t) I(t ) ( ) V 0- C ＋－ I(t) ( ) V 0- ＋－ V(t) C Equivalent Equivalent Laplace Transform -- Basic property *** Differentiation transform transform 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 ( ) ( ) dt dI t V t = L ＋－ V( ) t I( ) t ( ) I 0- L ＋ V( ) t － I( ) t ( ) I 0- L Equivalent Equivalent ＋－ ( ) s I 0- I( ) s LS V( ) s () () ( ) V s = LsI s −LI 0- ＋ LS － I( ) s ( ) LI 0- V( ) s －＋ transform transform () ( ) ( ) 0- f' t = sF s − f transform transform Equivalent Equivalent Laplace Transform -- Basic property *** Differentiation 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 Integration ( ) ( ) s F s f t dt t 0 = ∫ Time shifting ( ) () s τ f t - τ F s e − = e.g. ( ) ( ) 0 -st 0 es 1 , u t - t s 1 Q u t = ∴ = Frequency shifting f (t ) () e F s - λ λt = e.g. ( ) s-λ 1 , e s 1 u t λt Q = ∴ = Laplace Transform -- Basic property e.g. () () () s 1 δ t =1, ∴u t = δ t dt = Q ∫ ( ) 2 s 1 ∴r(t) = u t dt = ∫ 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 Convolution f () () ( ) ( ) t ∗ h t = F s ⋅ H s Proof: () ( ) ∫ ∫ ∞ ∞ − = ⋅ 0 τ st d τ f τ h t - τ e dt () () = F (s) ⋅ H (s) = ∫ ∫ ∞ ∞ − − 0 0 s τ su f τ e d τ h u e du () () ( ) ∫ ∫ ∞ ∞ − + = ⋅ 0 0 s τ u d τ f τ h u e du ( ) let u = t − τ f () () ( ) ( ) t h t f τ h t - τ d τ e dt st 0 t 0 − ∞ ∫ ∫ L{ ∗ } = ⋅ . Find it！ Y( ) ? =F(?)⋅H(?) * ( ) when t - τ < 0,h(t - τ) = 0 ( ) definition ( ) definition Laplace Transform -- Basic property 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 Common transforms Look up the tables。。。 ( ) s 1 δ(t) =1 u t = s-α 1 eαt = +Basic property +Basic property L.T.: L.I.T.: decomposition theorem： ( ) ( ) ( ) ( ) ... ... = = = + ++ = = + ++ =⋅ = + ∑ ∑ ∏ M M -1 M M -1 0 N N -1 N N -1 0 N r j 1j N j r j1 j1 j 1 1 j j 2 B s bs b s b Y s A s as a s a B s c c K s - s (s - s ) (s - s ) (s - s ) rational polynomial *** If S is the r-order Multiple Root L.T. and L.I.T

北京大学：《电路分析原理 Circuit Analysis》课程教学课件（英文版）第二章 拉普拉斯分析 第一节 拉氏变换

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