chapter3 Frequency Spectrum of Signal Fourier Transform Analysis of networks 《 Principles of Circuit Analysis》 s3-1 Frequency Spectrum of periodic signals: Fouri Chapter 3: Fourier Transform Analysis 3-2 Frequency Spectrum of non-periodie signals: ourier transform 2009-10-20 53-3 Basic theorem of frequency analysis 83-4 Outputs of constant-parameter linear circuits Content What is concerned in this lecture 5 3-1 Frequency Spectrum of periodic signals: Fourier Series Why choosing sinusoidal function as the orthogonal function system of periodic signals I. Complete Orthogonal System(mathematics, Dirichlet What is the relationship between the signals time- 2. Fourier series domain and frequency-domain characteristic 3. The relationship between symmetry of periodie signals and Spectral characteristic of common periodie signals Fourier Series From the analysis of periodic signals Introduction of the analysis of non-periodic 5. Virtual value and average power of periodic signals( for sel signals study 6. Non-sinusoidal periodic circuits Gust know it, no new conceptions 8 31 Frequeney spectrum f period ic sigmaIs--Complete Orthogonal System S 3.1 Frequency Spectrum of periodic sigmals--Complete Orthogonal System IIt has been proved in mathematics O Dirichlet condition for convergence of periodical signals: compost ty points of the fire( in which there can kind )f(t), can be near combinations of Comple Orthogonal System. This Complete Orthogonal System 1. f(t-f(t+T)is single-valued continuous function of t: 2. f(t)has finite discontinuity point in one period; x.. Taylor series 3. f(t)has finite extremal point in one period; .Bessel funetions J(x),,(x), J,(x), 4. The integral of f(0 If(t)Idt exists. ◆ trigonometric functi 1,cos(ot),cos(2ωt),cos(not)…
北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 第？讲： 复习 北京大学 wwhu 北京大学 《Principles of Circuit Analysis》 Chapter 3: Fourier Transform Analysis Lecture 1 2009-10-20 Interest Focus Persistence Originality 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 第三章：信号的频谱 §3－1 Frequency Spectrum of periodic signals: Fourier Series §3－2 Frequency Spectrum of non-periodic signals: Fourier Transform §3－3 Basic theorem of frequency analysis §3－4 Outputs of constant-parameter linear circuits chapter3 Frequency Spectrum of Signals （Fourier Transform Analysis of networks） chapter3 Frequency Spectrum of Signals （Fourier Transform Analysis of networks） 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 Content §3－1 Frequency Spectrum of periodic signals: Fourier Series 1. Complete Orthogonal System (mathematics, Dirichlet conditions) 2. Fourier Series 3. The relationship between symmetry of periodic signals and Fourier Series 4. Spectral characteristic of common periodic signals 5. Virtual value and average power of periodic signals (for selfstudy) 6. Non-sinusoidal periodic circuits (just know it, no new conceptions) 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 What is concerned in this lecture # Why choosing sinusoidal function as the orthogonal function system of periodic signals # What is the relationship between the signal’s timedomain and frequency-domain characteristic # Spectral characteristic of common periodic signals # From the analysis of periodic signals ÆIntroduction of the analysis of non-periodic signals 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 It has been proved in mathematics: Any single-valued continuous function (in which there can be finite discontinuity points of the first kind.) f(t), can be decomposed into linear combinations of Complete Orthogonal System. This Complete Orthogonal System composes a linear space. e.g.: ◆power functions ◆Bessel functions ◆trigonometric functions J (x),J (x), J (x),... 0 1 2 x ,x ,x ,..., x ,... 1 2 3 n 1,cos(ωt),cos(2ωt),...cos(nωt),... Taylor series Cylindrical wave decomposition §3-1 Frequency Spectrum of periodic signals--Complete Orthogonal System 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 1. f(t)= f(t+T) is single-valued continuous function of t; 2. f(t) has finite discontinuity point in one period; 3. f(t) has finite extremal point in one period; 4. The integral of f(t) exists. ◆Dirichlet condition for convergence of periodical signals： ∫ t +T t 0 0 |f(t)|dt §3-1 Frequency Spectrum of periodic signals--Complete Orthogonal System
831 Frequeney spectrum of periodic signals--Fourier Theorem (Fourier Series) 3-1 Frequency Spectrum of periodic signals--Fourier Series-a Representation I pten Any periodic signals which satisfies Dirichlet condition t AC component or harmonic component for convergence can be decomposed into a series of f(t)=°+∑( ancon oot+ b sinn ot plete trigonometric function Representation of trigonometric functions acost+b snot in which: Three undamental frequency Acos(oot-φ) representati f(tcosnotdt cos(oot)+jsin(ωot) s3-1 Frequency Spectrum of periodic signals--Fourier Series 53-1 Frequency Spectrum of periodic signals--Fourier Series Representation It f(t)=0+ 2(an cosn wot+b,sinn wot) f(t)=2+2(a, cosn oo t+b, sinn oot) Using the orthogonality of trigonometric function: osn@ot.cos mootdt=0. when m≠n +(cwmM+b.sm2小smh工 sin not. sin mo tdt=0. wh 了f() in noord S cos noot.sin mootdt=o Solving a, +∑( a cos mool+ b sin moo)smnn千, 53-1 Frequency Spectrum of periodic signals--Fourier Series Representation I A linearity () logarithm(dB)] DC component AC component or harmonic component f(t)=0+E(a, cosn oot+b, sinn oot) [Hz] 1 I-order I t [s] 2 o"f(t)co osno. tdt f(t)sinnott Time domain Frequency domain haracteristic of signals
北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 Description: Any periodic signals which satisfies Dirichlet condition for convergence can be decomposed into a series of complete trigonometric functions. Representation of trigonometric functions: a cosω t b sinω t 0 0 ⋅ + ⋅ A ⋅cos(ω0t -φ) e cos(ω0t) j sin(ω0t) jω0t = + ⋅ Three representations §3-1 Frequency Spectrum of periodic signals—Fourier Theorem (Fourier Series) 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 in which： ∫ + = t T t n 0 0 0 f(t)cosnω tdt T 2 a ∫ + = t T t n 0 0 0 f(t)sinnω tdt T 2 b T 2 ω 2 f 0 0 π = π = DC component 1-order harmonic (fundamental wave), (n=1) 2-order harmonic, (n=2) … n-order harmonic AC component or harmonic component Representation 1： fundamental frequency §3-1 Frequency Spectrum of periodic signals—Fourier Series*** ∑ ∞ = = + + n 1 n 0 n 0 0 (a cosnω t b sinnω t) 2 a f(t) 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 ∑ ∞ = = + + n 1 n 0 n 0 0 (a cosnω t b sinnω t) 2 a f(t) Representation 1： Using the orthogonality of trigonometric function: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 cos cos 0, sin sin 0, cos sin 0 T T T n t m tdt m n n t m tdt m n n t m tdt ω ω ω ω ω ω ⋅= ≠ ⋅= ≠ ⋅ = ∫ ∫ ∫ when when Solving an, bn §3-1 Frequency Spectrum of periodic signals—Fourier Series 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 ∑ ∞ = = + + n 1 n 0 n 0 0 (a cosnω t b sinnω t) 2 a f(t) ( ) ( ) n T m m m T a T a m t b m t n tdt a f t n tdt 2 cos sin cos 2 cos 0 0 1 0 0 0 0 0 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = + + ∫ ∑ ∫ ∞ = ω ω ω ω ( ) ( ) n T m m m T b T a m t b m t n tdt a f t n tdt 2 cos sin sin 2 sin 0 0 1 0 0 0 0 0 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = + + ∫ ∑ ∫ ∞ = ω ω ω ω §3-1 Frequency Spectrum of periodic signals—Fourier Series Representation 1： 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 in which： ∫ + = t T t n 0 0 0 f(t)cosnω tdt T 2 a ∫ + = t T t n 0 0 0 f(t)sinnω tdt T 2 b T 2 ω 2 f 0 0 π = π = Time domain characteristic of signals Time domain characteristic of signals fundamental frequency *** Frequency domain characteristic of signals Frequency domain characteristic of signals §3-1 Frequency Spectrum of periodic signals—Fourier Series Representation 1： DC component 1-order harmonic (fundamental wave), (n=1) 2-order harmonic, (n=2) … n-order harmonic AC component or harmonic component ∑ ∞ = = + + n 1 n 0 n 0 0 (a cosnω t b sinnω t) 2 a f(t) 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu characteristic of signals Time domain 北京大学 wwhu 北京大学 Frequency domain characteristic f [Hz] A [linearity (V)、logarithm(dB)] t [s]
53-1 Frequency Spectrum of periodic signals--Fourier Series 3-1 Frequency Spectrum of periodic signals--Fourier Series-a tation It Representation 2t f(t)=0+2(a, cosn.+b, sinn wt) f(t)=2+∑ A cOS(nt+φ f(tcosnotdt f(t)-2 C" f(t)sinn,tdt :自Acot:) T A cos(nw,t+.) N-order harmenie component, period-T/n Time domain characteristic of signals Corresponding Representation 2 f(t)=4(sino t+sin3@ t+sin5w,t+. An=√a2+b2t(qp)=b Frequency d charaeteristic of signals. s3-1 Frequency Spectrum of periodic signals--Fourier Series 53-1 Frequency Spectrum of periodic signals--Fourier Seriesa Representation 2(other representation) Two definitions: f(t)=20+∑ AcoS(notn ot-φ) DC component, integral mean of signals of all the time d A, cos(oot-P,) fundamental component, T=period of f(0) A, cos(nwot-(P,)N-order harmonic component, period-T Corresponding Representation 2: I opl 53-1 Frequency Spectrum of periodic signals-spectrogram 53-1 Frequency Spectrum of periodic signals-Fourier Series f(t)=3+2A, cos (n oot +. Real spectrum f(t)=+∑Acos( noot+(p) litude spectrum f(t) D2 /00=0 4a k=0. of o 25030o k 02036 u Characteristic: The spectrum of periodic signals is point spectrum whose smallest frequency space is (,, which f(t)=+(sinat+sin3ot+sin 5o,t+... is called spectral line for she
北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 sin5ω t ...) 5 1 sin3ω t 3 1 (sinω t 4a f(t)= 0 + 0 + 0 + π ∑ ∞ = = + + n 1 n 0 n 0 0 (a cosnω t b sinnω t) 2 a f(t) ∫ + = t T t n 0 0 0 f(t)cosnω tdt T 2 a ∫ + = t T t n 0 0 0 f(t)sinnω tdt T 2 b a 2 T t f(t) -a T e.g.: ω 0 = 2 π T Time domain characteristic of signals Time domain characteristic of signals Frequency domain characteristic of signals Frequency domain characteristic of signals §3-1 Frequency Spectrum of periodic signals—Fourier Series Representation 1： 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 2 n 2 An = an +b Corresponding Representation 2: n n n a -b tg(φ ) = ∑ ∞ = = + + n 1 n 0 n 0 A cos(nω t φ ) 2 a f(t) DC component, integral mean of signals of all the time domain A1cos(ω0t +φ1) fundamental component，T＝period of f(t) Ancos(nω0t +φn) N-order harmonic component, period=T/n 2 a A 0 0 = §3-1 Frequency Spectrum of periodic signals—Fourier Series*** Representation 2： 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 2 n 2 An = an +b n n n a b tg(φ ) = ∑ ∞ = = + n 1 n 0 n 0 A cos(nω t -φ ) 2 a f(t) A1cos(ω0t −φ1) Ancos(nω0t −φn) 2 a A 0 0 = §3-1 Frequency Spectrum of periodic signals—Fourier Series*** Representation 2 (other representation)： DC component, integral mean of signals of all the time domain fundamental component，T＝period of f(t) N-order harmonic component, period=T/n Corresponding Representation 2: 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 cos(ω0t −φ) cos(ω0t +φ) Two definitions: *** φ φ t t |φ|≤ π §3-1 Frequency Spectrum of periodic signals—Fourier Series 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 ∑ ∞ = = + + n 1 n 0 n 0 A cos(nω t φ ) 2 a f(t) spectrogram(abbreviation: spectrum) Characteristic: The spectrum of periodic signals is point spectrum whose smallest frequency space is , which is called spectral line for short. ω0 0 ω02ω03ω0 ω A0 … A1 A2 A3 ω02ω03ω0 0 ω φ1 φ3 φ2 … amplitude spectrum phase spectrum §3-1 Frequency Spectrum of periodic signals—spectrogram Real spectrum 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 ∑ ∞ = = + + n 1 n 0 n 0 A cos(nω t φ ) 2 a f(t) a 2 T t f(t) ω 0 = 2 π T -a T sin5ω t ...) 5 1 sin3ω t 3 1 (sinω t 4a f(t)= 0 + 0 + 0 + π = 0 a0 0,1,... 2 1 4 1 = + = ⋅ + k k a π A2k 1 e.g. 0,1,... 2 + = − k = π ϕ2k 1 spectrogram §3-1 Frequency Spectrum of periodic signals —Fourier Series Representation 2：
53-1 Frequency Spectrum of periodic sig 3-1 Frequency Spectrum of periodic signals-spectrograi f(t) w,-2m/T f(t) D,-2x/T Representation 2(other representation) Urt f(t)=aa+5 ∑Acos(naatφ) f(t)=2+2A,cos(noot-o) f(t)=-(sinwot+=sin3wot+=sin5wot+.) f(t)4a (sint+=sin3wot+=sin,t+.) = /5m4a/7x A Linearity(V).logarithm(dB)I 83-1Frequency Spectrum of periodic signals-example f Hz f(t学 t [a] Timreedomain characteristics phenomenon( 1899) =9% coloscope s 3-IFrequeney Spectrum of periodic signabs-examples Tea break/ f(t)20+∑… Gibbs phenomenon always happens at the discontinuation. (xwb-/()sm动+0mh The value of f()att=1(<oo) doesn't effect the calculation of a
北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 a 2 T t f(t) ω 0 = 2 π T -a T sin5ω t ...) 5 1 sin3ω t 3 1 (sinω t 4a f(t)= 0 + 0 + 0 + π ω Ak ω φk ω0 3ω0 5ω0 7ω0 ω0 3ω0 5ω0 7ω0 − π 4a/π 4a/3π 4a/5π 4a/7π 2 amplitude spectrum phase spectrum ∑ ∞ = = + + n 1 n 0 n 0 A cos(nω t φ ) 2 a f(t) §3-1 Frequency Spectrum of periodic signals—spectrogram 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 a 2 T t f(t) ω 0 = 2 π T -a T sin5ω t ...) 5 1 sin3ω t 3 1 (sinω t 4a f(t)= 0 + 0 + 0 + π ∑ ∞ = = + − n 1 n 0 n 0 A cos(nω t φ ) 2 a f(t) ω Ak ω φk ω0 3ω0 5ω0 7ω0 ω0 3ω0 5ω0 7ω0 π 4a/π 4a/3π 4a/5π 4a/7π 2 §3-1 Frequency Spectrum of periodic signals—spectrogram Representation 2 (other representation): amplitude spectrum phase spectrum 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 f [Hz] A [linearity(V)、logarithm (dB)] t [s] oscilloscope Optical spectrum analyzer spectrum analyzer Time-domain characteristics Frequency domain characteristics 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 ∑ ∞ = = + n 1 0 ... 2 a f(t) ? §3-1Frequency Spectrum of periodic signals — examples Gibbs phenomenon(1899) overshoot =9% a 2 T t f(t) -a T 取 ∑= = + 1 k 0 0 2 a letf(t) ∑= = + 1 k 0 0 2 a f(t) 取 ∑= = + 2 k 0 0 2 a letf(t) ∑= = + 2 k 0 0 2 a f(t) 取 ∑= = + 10 k 0 0 2 a let f(t) ∑= = + 10 k 0 0 2 a f(t) 取 ∑= = + 100 k 0 0 2 a let f(t) ∑= = + 100 k 0 0 2 a f(t) The sum converge to the original wave in energy sense. 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 Gibbs phenomenon always happens at the discontinuation. For a piecewise continuous signal: a f () () () t n tdt f t n tdt f t n tdt T T t T t n ∫ ∫ ∫ = = + 1 1 0 0 0 0 0 cos cos cos 2 ω ω ω ( ) ' . 1 n of an doesn t effect the calculatio The value of f t at t = （t < ∞） ∑ ∞ = = + n 1 0 ... 2 a f(t) ? §3-1Frequency Spectrum of periodic signals — examples 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 Tea break！ Tea break！
s3-1 Frequency Spectrum of periodic signals--Fourier Series 3-1 Frequency Spectrum of periodic signals-Fourier Series Representation I Representation 3: complex representations of Fourier Series nent AC component or harmonic component f(t)=∑cn f(t)=°+∑( ancosnoot+ b sinn ot) 1 12)... n-order harmonic In which: 1to+T rf(t)e cn∠ in whiche fundamental frequenc Corresponding to a,= o"f(t)cosnontdt bn=-bn an=a, Cn-2(ajb, ) l=JA, =Ja. +b, 2 f(t)sinn, tdt Customarily: sr s3-1 Frequency Spectrum of periodic signals-Fourier Series 53-1 Frequency Spectrum of periodic signals-spectrogranpttnk epresentation 3: complex representations of Fourier Series f(t)=∑ c.ewo omplex frequeney speetrum f(t) senat sn f f(terimt-dt (abbreviation: spectrum) >(Even symmetry speetrum cn=Re+jimn=n∠4cmlz cn=√Re2+Im2,= rum whose smallest frequency space is alled spectral line for short. 53-1 Frequency Spectrum of periodic signals-spectrogramek c complex frequency speetrum C Phase spectru (abbreviation: spectrum) 例 frequency spectrum If =0 or x, C is red Caller frequency spectrum real frequency spectrum/ a Characteristic: The spectrum of periodic signals is point spectrum whose smallest frequency space is is called spectral line for short
北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 §3-1 Frequency Spectrum of periodic signals—Fourier Series in which： ∫ + = t T t n 0 0 0 f(t)cosnω tdt T 2 a ∫ + = t T t n 0 0 0 f(t)sinnω tdt T 2 b T 2 ω 2 f 0 0 π = π = DC component 1-order harmonic (fundamental wave), (n=1) 2-order harmonic, (n=2) … n-order harmonic AC component or harmonic component Representation 1： fundamental frequency ∑ ∞ = = + + n 1 n 0 n 0 0 (a cosnω t b sinnω t) 2 a f(t) -n n -n n b -b a a = = 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 ∑ ∞ =−∞ = n jnω t ne 0 f(t) c In which: ∫ + = t T t -jnω t n 0 0 f(t)e 0 dt T 1 c Because: -n n -n n b -b a a = = (a - jb ) 2 1 cn = n n (a jb ) 2 1 c-n = n + n Corresponding to Representation 1: Representation 3: complex representations of Fourier Series *** = cn ∠φn φn = −φ-n =ϕ n 2 n 2 cn = An = an +b 2 1 2 1 Customarily: φn ≤π §3-1 Frequency Spectrum of periodic signals— Fourier Series Corresponding to Representation 2: 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 ∑ ∞ =−∞ = n jnω t ne 0 f(t) c ∫ + = t T t -jnω t n 0 0 f(t)e 0 dt T 1 c cn = Re+ jIm = cn ∠φn φn ≤ π c Re Im , ...... n 2 2 n = + φ = §3-1 Frequency Spectrum of periodic signals— Fourier Series Representation 3: complex representations of Fourier Series Customarily: 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 Characteristic: The spectrum of periodic signals is point spectrum whose smallest frequency space is , which is called spectral line for short. ∑ ∞ =−∞ = n jnω t ne 0 f(t) c ω0 Cn ω e.g.: complex frequency spectrum *** Amplitude spectrum (Even symmetry spectrum) 2 τ− 2 τ a -T T t §3-1 Frequency Spectrum of periodic signals—spectrogram Spectrogram (abbreviation: spectrum) 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 Characteristic: The spectrum of periodic signals is point spectrum whose smallest frequency space is , which is called spectral line for short. ∑ ∞ =−∞ = n jnω t ne 0 f(t) c ω0 φn ω 例： *** If φn=0 orπ, Cn is real. Complex frequency spectrum is simplified to real frequency spectrum §3-1 Frequency Spectrum of periodic signals—spectrogram Spectrogram (abbreviation: spectrum) complex frequency spectrum Phase spectrum (Odd symmetry spectrum) 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 Cn ω T aτ §3-1周期信号的频谱分析—举例 2 −τ 2 τ a -T T t *** Real frequency spectrum φn=0 φn=π ) 2 nω Sa( T a nω /2 sin(nω /2) T a c 0 0 0 n τ τ τ τ τ = =
53-1Frequency Spectru C==Sa( ran f(t)=∑sa("o)ems Envelope: Cosine(ar/2) Sampl ing Functio sinc(x)=Sa(x)=sin(x) 2T/t= Bw bandwidth max=Sa(o1 Sa(nn)=0 Sa(x)dissipates to zero/with fluctuations when-t u1=00=2n/T u2=200=4/T 53-1-3The relationship between symmetry of periodic signals and Fourier -TT2 y2 C Sachet f(t)=2+2(a, cosn oot+b, sinnott) on llt 物- Y-symmetric signal 2/t= Bw bandwidth Origin symmetric signal a=20o No odd-order harmonics u1=0=2r/T u2=20=4n/T -r f(t)cos 2k dt bx"f(t)sin2kaot-dt 53-1-3The relationship between symmetry of periodic signals and Fourier 53-1-4 Common periodic signals -square signal (Symmetric square aSemi-period mirror sy mmetric signal (t) D,-2x/TA Semi-period mirror symmetric signal Origin symmetric signal ft+T/2)=-f(t) a 0 2k+1 " f(t)=(sindo+3sin3oot+ssin5wgt+) a2x-1=o f(t) cosnwotdt (t). sinnott WA n-2k i
北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 ) 2 nω Sa( T a c 0 n τ τ = §3-1周期信号的频谱分析—举例 2 −τ 2 τ a -T T t *** jnω t n 0 e 0 ) 2 nω Sa( T a f(t) = ∑ ⋅ ∞ =−∞ τ τ π x 1 2π 4π 3π max=Sa(0)=1 Sa(n π) = 0 Sa(x) dissipates to zero with fluctuations when x→±∞ Sampling Function x sin(x) sinc(x)= Sa(x)= 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 2π/τ ω1 = ω0 =2π/T ω2 =2ω0 = 4π/T Cn ω T aτ ) 2 nω Sa( T a c 0 n τ τ Spectrogram = = BW bandwidth Cn’ phase spectrum？ Envelope: C0sinc(ωτ / 2) §3-1Frequency Spectrum of periodic signals — examples 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu ω1 北京大学 = ω0 =2π/T wwhuω2 =北京大学 2ω0 = 4π/T Cn ω T aτ ) 2 nω Sa( T a c 0 n τ τ 频谱图 = BW • pulse width=const.（2π） §3-1周期信号的频谱分析—举例 2 −τ 2 τ a -T T t *** 2π/τ = BW bandwidth 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 T/2 T/2 T/2 Periodic even function f(t)=f(-t) -- Y-symmetric signal bn=0 Periodic odd function f(t)=-f(-t) -- Origin symmetric signal an=0 Semi-period overlapping signal f(t)=f(t+T/2) ω’=2ω0 No odd-order harmonics ∑ ∞ = = + + n 1 n 0 n 0 0 (a cosnω t b sinnω t) 2 a f(t) ∫ ∫ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ T/2 0 2k 0 T/2 0 2k 0 f(t) sin2kω t dt T 4 f(t) cos2kω t dt b T 4 a , §3-1-3The relationship between symmetry of periodic signals and Fourier Series 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 Semi-period mirror symmetric signal f(t+T/2) = -f(t) T/2 a 2K = b 2K = 0 ∫ = ⋅ + T/2 0 2k 1 f(t) cosnω0tdt T 4 a n 2k 1 f(t) sinnω tdt T 4 b T/2 0 2k 1 0 = + = ⋅ + ∫ n=1 n=2 n=3 §3-1-3The relationship between symmetry of periodic signals and Fourier Series 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 a 2 T t f(t) ω 0 = 2 π T -a T ▲ Semi-period mirror symmetric signal ▲ Origin symmetric signal an=0；b2k=0 (2k 1) 4a asinnω tdt T 4 b T/2 0 2k 1 0 + = = + ∫ π sin5ω t ...) 5 1 sin3ω t 3 1 (sinω t 4a f(t)= 0 + 0 + 0 + π §3-1-4 Common periodic signals --square signal（Symmetric square wave）
33-1-4 Common periodic signals-serrated signa 3-1- Common periodic sig TY-symmetric sign rlapping signal ORigin symmetric signal expect for DC component f(t)=a-asingot+isin 2ot+sin3ot+ f(t):4V cos2t-cos4。t 3.5 cos6at-acos8uot-…) 53-1-6 Non-sinusoidal periodie 53-1-5 Virtual value and average power of periodic signals tin vt)=Vcos〔ot);I(t)= IcOS(ot+φ) > I Expanse fo in Fourier Series 2A, cos(n uo) a virtual value and average power of sinusoidal signal (review) 2. change linear circuits to complex representations jo Virtual valu 3. solve H)=Y〔j)/F) RMS s(ot)Pdt=Vm 4. get the response of each harmonics Y(ing 件( AVerage P-TI'P(t)dt=Frv(t)I(t)dt =VmImCOSqP=VIcOsqp 53-1-5 Virtual value and average power of periodic signals *i* s3-1-5 Virtual value and average power of periodic signals *a vt)=v+∑ Vmkcos(koat+φw) v(t)=v+∑ Vmk cos(kωt+φw) r(t)=xo+∑ I.cos(kuot+φx) I(t)=Io+>Imk cos(k w t+Ik) virtual value of periodic gnals→root- mean-1 v a Average power of periodic signals square value (RMS value) if: v(tdt TJ P(t)dt=Io+2VI,cosd In which: Ok=Oyk-oik Virtual value of periodic signals equals to Average power of periodic signals equals to he sum of RMS of each harmonics. the sum of Average power of each harmonics. Parseval's Theorem
北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 a t f(t) ω 0 = 2 π T T ▲Origin symmetric signal expect for DC component an=0 2T ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = − + + sin3ω t +... 3 1 sin2ω t 2 1 sinω t a 2 a f(t) 0 0 0 π §3-1-4 Common periodic signals - serrated signal 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 t T/2 T half-wave rectifier t T/2 T cos8 ω t - ...) 7 9 1 cos6 ω t - 5 7 1 - cos4 ω t 3 5 1 cos2 ω t 1 3 1 - 2 1 ( 4V f(t) 0 0 0 0 m ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ = π §3-1-4 Common periodic signalsY-symmetric signal Semi-period overlapping signal full-wave rectifier 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 Steps: 1. Expanse f(t) in Fourier Series 2. change linear circuits to complex representations 3. solve 4. get the response of each harmonics 5. sum H(j ω) = Y(j ω)/F(j ω) §3-1-6 Non-sinusoidal periodic circuit (just know it, no new conceptions) ∑ ∞ n=1 n 0 A cos(nω t) jω Y(jnω0) n 1 ∑ ∞ = 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 Virtual value and average power of sinusoidal signal（review） V(t) = Vmcos(ωt); I(t) = Imcos(ωt +φ) Virtual value (RMS) [ ] 2 V V cos( ωt) dt T 1 V m T 0 2 = m = ∫ [ ] 2 I I cos( ωt φ) dt T 1 I m T 0 2 = m + = ∫ Average power V I cosφ VIcosφ 2 1 V(t)I(t)dt T 1 P(t)dt T 1 P m m T 0 T 0 = = = = ∫ ∫ §3-1-5 Virtual value and average power of periodic signals *** 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 ∑ ∑ ∞ = ∞ = = + + = + + k 1 0 mk 0 Ik k 1 0 mk 0 Vk I(t) I I cos(k ω t φ ) V(t) V V cos(k ω t φ ) ∫ ∑ ， ∞ = = = = k 0 2 k T 0 2 V (t)dt V T 1 V ...... Virtual value of periodic signals → root-meansquare value (RMS value) if: 2 V V mk k = Using the orthogonality of trigonometric functions Virtual value of periodic signals equals to the sum of RMS of each harmonics. —— Parseval’s Theorem §3-1-5 Virtual value and average power of periodic signals *** 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 ∑ ∑ ∞ = ∞ = = + + = + + k 1 0 mk 0 Ik k 1 0 mk 0 Vk I(t) I I cos(k ω t φ ) V(t) V V cos(k ω t φ ) ∫ ∑ ∞ = = = = + k 1 0 0 k k k T 0 P(t)dt V I V I cosΦ T 1 P ...... In which: Φk =ΦVk −ΦIk Average power of periodic signals Average power of periodic signals equals to the sum of Average power of each harmonics. §3-1-5 Virtual value and average power of periodic signals ***
3-2-1 From Fourier Series to Fourier Transform 3-2-1 From Fourier Series to Fourier Transfor t)=∑ Ce CTh f(t)=∑cnen af(t) e indt Bandwidth X pulse width=const. o=2/T t 2π/r= BW Bandwidth Non-periodic signals equal to the period of periodic a→do Most energy of periodic signals is distributed non→ between zero to a certain frequency. $3-2-2 Fourier Transform 3-2-1 From Fourier series to Fourier transform M f(t)=∑ f(t)e In wot f(t)= T/2 f(t)edt limTcn=limf(t)e limTcn=limf(t)e lf(t)e u dt=F(o)[ Image Cf(t)e at dt=F(o) Inction Fourier Transform f)=∑cem-∑ee-oe f(t=f(t+D f(t),Too Origi( f(t)=2m"F( o)-elotdo Diserete Continuou spectrum Cn (ng Mr Laplace and Mr. Fourier Pierre-Simon, marquis de Laplace (23 April 1749-5 March 1827)was a uwm时 statistics. He summarized and ulus, opening up a broader range ms. In statistics, the so-called Bayesian interpretation of probability was on, and invented the Laplace transform which In Baptiste Joseph Fourier(March 21, 1768- May 16, 1830)was amed in his honour. Fourier is also generally credited with the di greenhouse effect
北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 a 2 − τ 2 τ τ - T T t f(t) jnω t n n 0 n e 0 f(t) c ) 2 nω Sa( T a c = ⋅ = ∑ ∞ =−∞ τ τ C n ω T a τ 2π/τ = BW Bandwidth Bandwidth × pulse width = const. ω0 =2π/T §3-2-1 From Fourier Series to Fourier Transform Most energy of periodic signals is distributed between zero to a certain frequency. 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 周期信号的∑ 傅氏级数: ∞ =−∞ = n jnω t ne 0 f(t) c ∫ + = T/2 -T/2 -jnω t n f(t)e dt T 1 c 0 T→∞ lim Non-periodic signals equal to the period of periodic signals TÆ∝ 2 − τ 2 τ τ -T T t T 2 ω0 π = ω0 = 2π/T → 0 nω ω ω dω 0 0 → → §3-2-1 From Fourier Series to Fourier Transform 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 ∑ ∞ = −∞ = n jn ω t n e 0 f(t) c ∫ + = T/2 -T/2 - jn ω t n f(t) e dt T 1 c 0 f(t) e dt F(ω) limTc lim f(t) e dt - -jωt T/2 -T/2 -jnω t T n T 0 = ⋅ = = ⋅ ∫ ∫ +∞ ∞ + →∞ →∞ ∑ ∑ ∞ =−∞ ∞ =−∞ = = n 0 jnω t n n jnω t f(t) cne 0 Tc e 0 ω 2π 1 F(ω) e dω 2 1 f(t) jωt = ⋅ ∫ +∞ π −∞ Image function Original function §3-2-2 Fourier Transform *** 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 ∑ ∞ = −∞ = n jn ω t n e 0 f(t) c ∫ + = T/2 -T/2 - jn ω t n f(t) e dt T 1 c 0 f(t) e dt F(ω) limTc lim f(t) e dt - -jωt T/2 -T/2 -jnω t T n T 0 = ⋅ = = ⋅ ∫ ∫ +∞ ∞ + →∞ →∞ §3-2-1 From Fourier Series to Fourier Transform *** Fourier series 傅氏级数 Fourier Transform 傅氏变换 f(t)=f(t+T) 0 0 nω ω Discrete spectrum Cn(nω0) spectrum analysis of periodic signals Cn(nω0) spectrum analysis of any signals f(t), TÆ∞ ω dω F(ω) Æ∞ ω F(ω) Continuous spectrum 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 Mr. Laplace and Mr. Fourier Pierre-Simon, marquis de Laplace (23 April 1749 – 5 March 1827) was a French mathematician and astronomer whose work was pivotal to the development of mathematical astronomy and statistics. He summarized and extended the work of his predecessors in his five volume Mécanique Céleste (Celestial Mechanics) (1799-1825). This seminal work translated the geometric study of classical mechanics to one based on calculus, opening up a broader range of problems. In statistics, the so-called Bayesian interpretation of probability was mainly developed by Laplace. He formulated Laplace's equation, and invented the Laplace transform which appears in many branches of mathematical physics, a field that he took a leading role in forming. The Laplacian differential operator, widely used in applied mathematics, is also named after him. Jean Baptiste Joseph Fourier (March 21, 1768 – May 16, 1830) was a French mathematician and physicist best known for initiating the investigation of Fourier series and their application to problems of heat flow. The Fourier transform is also named in his honour. Fourier is also generally credited with the discovery of the greenhouse effect
