北京大学：《电路分析原理 Circuit Analysis》英文电子课件_第七章：链式网络与传输线 第三节 均匀无耗传输线

Chapter 7: Transmission Line 87-1 Transmission Line: Some history 《 Principles of Circuit Analysis》 57-3 Uniform Lossless Tra n Line(key points) Chapter 7: Uniform Lossless Transmission Line atural impedance, transmission constant Chain Network and Transmission Line) Lecture 3 incident wave, reflected wave, i (ectance 2009.12.08 terminal: open, short, matching// Properties of wave 57-4 step response of transmission line Time-domain Chain circuit- Transmission Line-Uniform transmite lines Uniform lossless transmission line GB V(z)=V chkx ZcshkxYV v2=Z1工2 EI(z)=e ansferconstan r1( Z- shox chkx人工2 jB The velocity of wave √R+joL)(G+joC) Z,chkx +zcshkx 正zctg n transmission line: Definition 2: natural impedance ZLshkx+Zcchkx jZ, tgBx+Zc V=【(21+2)ev2+(21-2ev2/22 L B VLC 2c=- 工=[(z1+z)e12-(2-z2)e-1/2z Zin changes along the transmission line by half wavelength. V and I change along the transmission line by one wavelength Uniform lossless transmission line: reflection on the lins Uniform lossless transmission line: reflectance reflection/in Absorption cident ya Transmissin V1 k, Ze K Z k Z v(t)o V=【(2+2)ev2+(z1-2evl/22 d wave reflected w 工=[(21+2)e12-(z-z)e-rl/2z reflected wave voltage reflection coeffi Voltage/current reflection coefficient: (o)= p√(o)e p,(x) p(x)p、(x)s incident wave lev(x)z -ze im=p, (0)e za

北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 第 ？讲： 复习 北京大学 北京大学 《Principles of Circuit Analysis》 Chapter 7: Uniform Lossless Transmission Line (Chain Network and Transmission Line) Lecture 3 2009.12.08 Interest Focus Persistence Originality 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 §7-1 Transmission Line: Some history §7-2 Chain Network and Transmission Line (conceptions) §7-3 Uniform Lossless Transmission Line (key points) (key points) natural impedance, transmission constant incident wave, reflected wave, reflectance terminal: open, short, matching §7-4 step response of transmission line Chapter 7: Transmission Line Properties of wave along the line Time-domain response 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 Z Assuming R,G,L,C are the parameters of unit length *** -kZ kZ -kZ kZ e Z V e Z V I(z) V(z) V e V e + + − + − + = − = + C C (R j L)(G j C) k α jβ = + ω + ω = + attenuation constant Phase constant 2 Definition of wavelength : π λ β = Review 1 v ω β = = LC The velocity of wave in transmission line: Chain circuit → Transmission Line →Uniform transmission line Wavelength: The unit length of wave which is transmits on the transmission line. Definition 1: transfer constant G j C R j L - I V I V ZC ω ω + + = = = − − + + Definition 2: natural impedance 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 V2 = ZLI2 kx - ZC + V1 - + V2 I1 I2 ZL Zin ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 2 1 C C 1 1 I V Z shkx chkx chkx Z shkx I V *** k = jβ Uniform lossless transmission line x - + V1 - + V2 I1 I2 k, Zc ZL Zin x 0 L C L C C L C L C C 1 1 in jZ tg x Z Z jZ tg x Z Z shkx Z chkx Z chkx Z shkx Z I V Z + + = + + = = β β Zin changes along the transmission line by half wavelength. V and I change along the transmission line by one wavelength k = jβ 2 c j x 2 L c j x 1 L c 2 L j x 2 L c j x 1 L c I [(Z Z )e I (Z -Z )e I ]/2Z V [(Z Z )e V (Z -Z )e V ]/2Z β β β β − − = + − = + + Review 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 Uniform lossless transmission line: reflection on the line *** ZL x x k ZC k ZC x k ZC k ZC x V(t)+ - incident wave reflected wave incident wave reflected wave absorption Transmissive wave incident wave reflected wave Transmissive wave incident wave reflected wave Voltage/current reflection coefficient: reflected wave incident wave ρV I (x) = =−ρ (x) Review ρV(x) ≤1 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 kx - ZC + V1 - + V2 I1 I2 ZL Zin *** x - + V1 - + V2 I1 I2 k, Zc ZL Zin x 0 2 c j x 2 L c j x 1 L c 2 L j x 2 L c j x 1 L c I [(Z Z )e I (Z -Z )e I ]/2Z V [(Z Z )e V (Z -Z )e V ]/2Z β β β β − − = + − = + + φ β β − = = + − = = + L C j V V L C L C -j2x -j2 x V V L C Z Z ρ (0) ρ (0) e Z Z Z Z ρ (X) e ρ (0)e Z Z voltage reflection coefficient: Uniform lossless transmission line: reflectance = reflection/incidence incident wave reflected wave Review

Z1+正2ctg I1亿t+zc Zc V=[(21+2zeV2+(21-2)ev2/2 sp,(o) I=[(z1+z)eI2-(z1-z)e2]/2z v=[(z1+z)ev2+(21-z)ev2/22 I1=[(ZL+z)e-I2-(Z1-z)e-L2]/22 =47[1+p,(x)JV, e=2z [1+p,(O)e 2m,elea Terminal matched: Z=2(0)=02m=2 工1=2+21-p(x)em=221-p(o)e1em Terminal open:Z=0P.(O)=1ZN=-jzcctgpx ion line: terminal open, short, matche Zc ZL=Zc Z:=Zc zz1[2=2 nt along the(x),v(x片 v1=【(z+ze-v+(z-z)e-v2/2 I1=[(z1+z2)e-2-(21-z)e-r2J/22 Signals at any point along the / (t), v(t) No reflected condition: incident was Z=2 Uniform lossless transmission line: terminal open, short, matched pplication example of uniform lossless transmission line AN impedance converter Introducing a x/4 transmission Z≠zc 2[=x=e2 Zi=Zc2 2+2a1gx4_22 ZL jz,tg e Z 2, -zcz+/ matched. we need z1+ct众 迈t+z

北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 kx - ZC + V1 - + V2 I1 I2 ZL Zin *** x - + V1 - + V2 I1 I2 k, Zc ZL Zin x 0 2 c j x 2 L c j x 1 L c 2 L j x 2 L c j x 1 L c I [(Z Z )e I (Z -Z )e I ]/2Z V [(Z Z )e V (Z -Z )e V ]/2Z β β β β − − = + − = + + β β β β ββ + + + + LC LC j x -j2 x j x 1 V2 V 2 L L LC LC j x -j2 x j x 1 V2 V 2 c c ZZ ZZ V = [1+ρ (x)]V e = [1+ρ (0)e ]V e 2Z 2Z ZZ ZZ I = [1-ρ (x)]I e = [1-ρ (0)e ]I e 2Z 2Z Uniform lossless transmission line: reflectance = reflection/incidenceReview 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 kx - ZC + V1 - + V2 I1 I2 ZL ZiN *** -j2 x -j2 x C L C L C C 1 1 iN 1- (0)e 1 (0)e Z jZ tg x Z Z jZ tg x Z I V Z β β ρ ρ β β v + v = + + = = = ∞ = = L L L C Z Z 0 Z Z ρ (0) 1 ρ (0) -1 ρ (0) 0 V V V = = = + = + − = V V Z Z Z Z ρ (0) - L C L C V Z -jZ ctg x Z jZ tg x Z Z iN C iN C iN C β β = = = Uniform lossless transmission line: terminal open, short, matched Terminal matched: Terminal short: Terminal open: 2 c j x 2 L c j x 1 L c 2 L j x 2 L c j x 1 L c I [(Z Z )e I (Z -Z )e I ]/2Z V [(Z Z )e V (Z -Z )e V ]/2Z β β β β − − = + − = + + 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 2 c j x 2 L c j x 1 L c 2 L j x 2 L c j x 1 L c I [(Z Z )e I (Z -Z )e I ]/2Z V [(Z Z )e V (Z -Z )e V ]/2Z β β β β − − = + − = + + kx - ZC + V1 - + V2 I1 I2 ZC Zi =Zc *** Zc k ZC Zi x Zi Zi =ZC Zc k ZC x incident wave incident wave No reflected wave No reflected condition: Zi =ZC=ZL Uniform lossless transmission line: terminal open, short, matched 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 x 稳态：电压和电流 0 V(x) I(x) kx - ZC + V1 - + V2 I1 I2 ZC ZL = ZC k ZC x *** x β I(x), V(x) β = = j x 1 2 j x 1 2 V eV I eI t I(t), V(t) Signals at any point along the line Æ Signals at any point along the line at any timeÆ Uniform lossless transmission line: terminal open, short, matched Voltage and current 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 Zc k ZC Zi x Zi Zi =ZC Zc k ZC Zi x Zi Zi =ZC β β = = j x 1 2 j x 1 2 V eV I eI e.g.: =ZC2 =ZC2 ZC1 ZC2 ZC2 Zi 3λ+ λ/2 =? l L C L C i C jZ tg x Z Z jZ tg x Z Z + + = β β Uniform lossless transmission line: terminal open, short, matched 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 ZC1 ZL≠ ZC1 L 2 C2 C2 L L C2 i C2 Z Z 4 λ λ 2 Z jZ tg 4 λ λ 2 Z jZ tg Z Z = + + = π π Introducing a λ/4 transmission line between the two ZC1 ZC2 ZL Zi For impedance matched, we need: ZC2 = ZC1ZL Application example of uniform lossless transmission line: λ/4 impedance converter L C L C i C jZ tg x Z Z jZ tg x Z Z + + = β β

niform lossless transmission line: terminal open, short. matched Uniform lossless transmission line: terminal open, short, matched V1=Z Z1+jzctg I, jZ,tgex+Zc k Zc V(O): max 1+p,(0)e 记2 I(O): min 1-P,(O)- j2A v(t) V=[(1+z)eV2+(Z-2)eiv2/22 I(t) I1=[(Z+z)eI2-(Z1-z)e2]/2z Zc m20P0=12=如 V=V+V=2V p√(o)= Terminal open:z,=p,(0)=1ZN-jz-ctgBx =1=p(O)上 I+I=0 Uniform lossless tr Using the standing- wavelength and z, V,(x)=cosBxV I,(x)=jsinpxV, /Z Zi=-jzcctgpx 图7.3矩形波导 Uniform lossless transmission line: terminal open, short, matched Uniform lossless transmission line: terminal open, short, matche Z._. Z+jzctgax I,jz,tgAx+Z 1+只,(0)e2 ZL=O p(0)= v+V=0 p√(0)= V=[(1+2)ev2+(z1-z2ev/2z 1=p(O)r=.+x=2 I1=[(z1+z)e-I2-(z1-ze2J/22 I(t) v(t) Terminal matched: Terminal short:z=0 BP,(O)=-1zN-jztgBx II(xI Aav. vA rermimatopeH:z=ooI lpv(o)=1IZN=-jZcctgpx

北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 kx - ZC + V1 - + V2 I1 I2 ZL ZiN *** -j2 x -j2 x C L C L C C 1 1 iN 1- (0)e 1 (0)e Z jZ tg x Z Z jZ tg x Z I V Z β β ρ ρ β β v + v = + + = = = ∞ = = L L L C Z Z 0 Z Z ρ (0) 1 ρ (0) -1 ρ (0) 0 V V V = = = + = + − = V V Z Z Z Z ρ (0) - L C L C V Z -jZ ctg x Z jZ tg x Z Z iN C iN C iN C β β = = = Uniform lossless transmission line: terminal open, short, matched Terminal matched: Terminal short: Terminal open: 2 c j x 2 L c j x 1 L c 2 L j x 2 L c j x 1 L c I [(Z Z )e I (Z -Z )e I ]/2Z V [(Z Z )e V (Z -Z )e V ]/2Z β β β β − − = + − = + + 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 k ZC x 1 ρ (0) Z Z Z Z V V ρ (0) I L C L C V = = − + − = = + − I I I 0 V V V 2V = + = = + = + − + − + V(0): max I(0): min t t V(t) I(t) *** incident wave Æ reflected wave Æ synthesis wave Æ Uniform lossless transmission line: terminal open, short, matched 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 Input impedance x 0 open short open short open short open capacitance inductance capacitance inductance capacitance inductance capacitance λ_ 4 λ_ 2 Z jZ ctg x Z i C L = − β → = ∞ x Standing-wave phenomenon of wave phenomenon of voltage and current 0 V(x) I(x) λ_ 4 λ_ 2 Uniform lossless transmission line: terminal open, short, matched 1 2 c 1 2 I (x) jsin xV Z V (x) cos xV β / β = = 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 slotted line probe Using the standing￾wave phenomenon to measure wavelength and ZL slotted line Using the standing￾wave phenomenon to measure wavelength and ZL Uniform lossless transmission line: terminal open, short, matched 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 kx - ZC + V1 - + V2 I1 I2 ZL ZiN *** -j2 x -j2 x C L C L C C 1 1 iN 1- (0)e 1 (0)e Z jZ tg x Z Z jZ tg x Z I V Z β β ρ ρ β β v + v = + + = = = ∞ = = L L L C Z Z 0 Z Z ρ (0) 1 ρ (0) -1 ρ (0) 0 V V V = = = + = + − = V V Z Z Z Z ρ (0) - L C L C V Z -jZ ctg x Z jZ tg x Z Z iN C iN C iN C β β = = = Uniform lossless transmission line: terminal open, short, matched Terminal matched: Terminal short: Terminal open: 2 c j x 2 L c j x 1 L c 2 L j x 2 L c j x 1 L c I [(Z Z )e I (Z -Z )e I ]/2Z V [(Z Z )e V (Z -Z )e V ]/2Z β β β β − − = + − = + + 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 kx - ZC + V1 - + V2 I1 I2 ZL ZL =0 k ZC x *** V(0): min I(0): max 1 ρ (0) Z Z Z Z V V ρ (0) I L C L C V = − = − + − = = + − + − + + − = + = = + = I I I 2I V V V 0 x x t t I(t) V(t) Standing-wave phenomenon |I(x)| |V(x)| Uniform lossless transmission line: terminal open, short, matched

niform lossless transmission line: terminal open, short, matched Uniform lossless transt I open, short, matched ady state: Standing-wave phenomenon of voltage and curren k Zc I(x) Steady state; input impedance Zin = ZL=0 z1=24m f=600MHZ Zin 20.7589uH Shortest length?-?I =0.123m Application example of uniform lossless tral time delav impulse resnonse Tea break/ (od Vo(t=? Homework 7-7,10,12,14 Terminal open: P√(0)=1 TErminal shorted p(O)=-1 Yo(t) Uniform lossless transmission line step response of transmission lines transmission line(send the sine wave signal: √R+aLG+)ac V=(22)2(21+2)eV+(22)(-2)e k=jB=jONLCZ=L/c (2z)(2+2)e2-(22)2(z-z)e"工2 Ev-=(22)-(+2)2+(a2)(a1-z2)y (2)(z1+2)12(22)(z:)ex2 =jo√LCx=jo-=j alace transform solving tbe any response on the transmission line (send any signal): (22)(z1-z)e"v Laplace Transform: jo?S L 11771a (2c) 1-17-y)-rrh Jot→sr

北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 x 0 V(x) I(x) λ/2 λ/4 Steady state: input impedance x 0 open short open short open short inductance capacitance inductance capacitance inductance capacitance short inductance Z jZ tg x Z i C L = β → = 0 Steady state: Steady state: Standing-wave phenomenon of wave phenomenon of voltage and current Uniform lossless transmission line: terminal open, short, matched 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 e.g.: ZL k ZC x λ/4 λ/4 λ/4 ZZin in =?=? =ZL =ZL Uniform lossless transmission line: terminal open, short, matched ZC=75 ohm x f=600MHz ZZin in ÆÆ0.7589uH 0.7589uH Shortest length?=? Shortest length?=? =0.123m =0.123m e.g.: 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 Tea break！ Tea break！ Homework: 7-7,10,12,14 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 Vi (t) ZC τ + - ρ (0) -1 ρ (0) 1 V V = Terminal open: = Terminal shorted: ZL=∞ e.g.: τ V+ V- 2τ 3τ V+ V- V0(t) …… Application example of uniform lossless transmission line: time delay, impulse response Analysis: V0(t)=? t t t Isn’t it interesting? Vi (t) A short pulse t 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 Uniform lossless transmission line *** k = jβ = jω LC Uniform lossless transmission line: R=G=0, so: Zc = L/C (R j L)(G j C) k α jβ = + ω + ω = + G j C R j L - I V I V ZC ω ω + + = = = − − + + G j C R j L - I V I V ZC ω ω + + = = = − − + + x - + V1 - + V2 I1 I2 k, Zc kx - ZC + V1 - + V2 I1 I2 β ω ω jωτ v x j x = j LCx = j ⋅ = Complex method Laplace Transform: j Laplace Transform: jωωÆÆSS jωτ ⇒ sτ Known time delay Known length Definition 1: transfer constant Definition 2: natural impedance 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 step response of transmission lines *** Complex method → solving the sinusoidal steady-state response on the transmission line (send the sine wave signal): Laplace transform → solving the any response on the transmission line (send any signal): 2 j x L c -1 2 L j x L c -1 V1 (2ZL) (Z Z )e V (2Z ) (Z -Z )e V β − β = + + 2 x L c -1 2 C x L c -1 I1 (2ZC) (Z Z )e I - (2Z ) (Z -Z )e I jβ − jβ = + 2 j L c -1 2 L j L c -1 V1 (2Z L ) (Z Z )e V (2Z ) (Z - Z )e V ωτ − ωτ = + + L c 2 -1 L c 2 C -1 I1 (2Z C ) (Z Z )e I - (2Z ) (Z - Z )e I jωτ − jωτ = + L c 2 -1 L c 2 L -1 V1 (2Z L ) (Z Z )e V (2Z ) (Z - Z )e V sτ − sτ = + + L c 2 -1 L c 2 C -1 I1 (2Z C ) (Z Z )e I - (2Z ) (Z - Z )e I sτ − sτ = +

ep response of tra step response of transmission lines mission line(send the sine wave signal:state vtΦzckt或xUz 1+P(0)e jz, tgex+zc1-p (O)e" 2/ o(t)=? ,Laplace transform get the ope aplace transform" solving the any response on the transmission line(send any signal): Vi(so Ze St o(s)=? 1+(0)e2F 2 2. Get the time-domain representation of any respond sing Inverse Laplace Transfor Vo(t) Application example of uniform lossless transmission line: Application example of uniform lossless tral time delay impulse response time delay, impulse response. Vi(t) Zc t Vo(t)=? t zcτVo(t)=? is as Ise signa z It is a short pulse signal Z=O Solution 1: lution 2: (n=u(n-H(I-A) =(22)2(z+z)e"v2+(2z)”(z1-z)ev2l erminal Ererminal shorted (0)=-1 vo(t) Using a expansion formus: 1/(1+ae)=1+>(ae) pplication example of uniform lossless transmission line: Application example of uniform lossless transmission line: time delay, impulse response time delay, impulse response zτVo(t)=2 It is a sho Vi(t) zcτVo(t)=? It is a sh Solution 2,x=0-(-. v(D)=(D)-(-△) (1)=2a(t-r)-2n(t-3r) [1+∑(e-)1 v(t) v Vo(t V2()=2u(t-r)-2u(t-3r)+2u(t-5)-2a(t-7r)+2a(t-9r) vo(1)=V2(1)-v2(t-△)

北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 *** τ τ ρ ρ s V s V -2 -2 i C 1 (0)e 1 (0)e Z Z − + = ωτ ωτ β β ρ ρ ρ ρ β β -2j -2j -j2 x C -j2 x C L C L C i C 1 (0)e 1 (0)e Z 1 (0)e 1 (0)e Z jZ tg x Z Z jZ tg x Z Z V V V V − + = − + = + + = step response of transmission lines Complex method → solving the sinusoidal steady-state response on the transmission line (send the sine wave signal): Laplace transform → solving the any response on the transmission line (send any signal): 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 *** 1.Laplace transform → get the operational form of any response on the transmission line Vi (t) ZC k τ或x + - ZL V0(t)=? Vi (s) ZC sτ + - ZL V0(s)=? V0(t)=? step response of transmission lines 2. Get the time-domain representation of any response on the transmission line using Inverse Laplace Transform 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 Vi (t) ZC τ It is a short pulse signal. + - ρ (0) -1 ρ (0) 1 V V = = ZL=∞ e.g.: τ V+ V- 2τ 3τ V+ V- Solution 1： V0(t)=? V0(t) …… τ Application example of uniform lossless transmission line: time delay, impulse response Terminal open: Terminal shorted: 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 ZC τ + - ZL=∞ V0(t)=? v t u t V s s v t u t u t i i i ( ) ( ) ( ) 1/ ( ) ( ) ( ) = → = = − − Δ L c 2 -1 L c 2 L -1 V1 (2Z L ) (Z Z )e V (2Z ) (Z - Z )e V sτ − sτ = + + V1 e V2 e V2 sτ − sτ = + 2 1 2 1 s(1 e ) 2e (e e ) 2V V 1 2 τ τ τ τ s s s s − 2 − − + = + = Using a expansion formula: ∑ ∞ = + = + k 1 x x k 1/(1 ae ) 1 (-ae ) Application example of uniform lossless transmission line: time delay, impulse response Vi (t) It is a short pulse signal. e.g.: Solution 2： 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 ZC τ + - ZL=∞ e.g.: V0(t)=? v t u t V s s v t u t u t i i i ( ) ( ) ( ) 1/ ( ) ( ) ( ) = → = = − − Δ [1 (-e ) ] s 2e s(1 e ) 2e (e e ) 2V V 1 k 2 ∑ ∞ = − − − − − = + + = + = 1 2 2 k s s s s s s τ τ τ τ τ τ ... 3 5 7 9 s 2e s 2e s 2e s 2e s 2e V2 − sτ − sτ − sτ − sτ − sτ = − + − + (t) = 2u (t − τ ) − 2u (t − 3τ ) + 2u (t − 5τ ) − 2u (t − 7τ ) + 2u (t − 9τ )... V2 Application example of uniform lossless transmission line: time delay, impulse response Vi (t) It is a short pulse signal. Solution 2： 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 ZC τ + - ZL=∞ V0(t)=? v t u t V s s v t u t u t i i i ( ) ( ) ( ) 1/ ( ) ( ) ( ) = → = = − − Δ 2 () 2 ( ) 2 ( 3 ) 2 ( 5 ) 2 ( 7 ) 2 ( 9 )... v t ut ut ut ut ut τ τ τ τ τ = −− − + −− −+ − τ V2(t) …… τ V2(t-∆) V0(t) …… τ Æ ( ) ( ) ( ) v 0 t = v 2 t − v 2 t − Δ Application example of uniform lossless transmission line: time delay, impulse response e.g.: Vi (t) It is a short pulse signal. Solution 2：

example of uniform lossless transmission li time delay, impulse response time delay, impulse response etermine the waveform of output signal Vo(t)(04G) zcτvo()= v(t) Z z=32 Solution 3: SoluboHoun t tal r=20us reflectance 即(Q口□ Vo(t) sorted:p Applieation example of uniform lossless transmission line Application example of uniform lossless tral time delay impulse response -time delay impulse response 300m, the natural impedance is 30022, the 'e velocity is3xlo°m/s L. Evaluate the voltage reflection coeff 2am即可(1AC出 deltae when the signals passes b the transmission line. esponse of the end terminals. 2. Evaluate the step response of the end terminals. i 3.Get the voltage waveform of the position within 0-5us, which is 75 m away 3. Get the voltage waveform of the position within 0-Sus, which is 75 m away from the end terminals v()=l(t)→V(s)=1/s v=(22)(z1+z)e P,(0)=2 Z∞-300 2(e z-z.0-300 )=+c==(-c+-”+)=5(rc Z+Z0+300 App datas. mampl r es aniserm Application example of uniform lossless transmission line: time delay, impulse response The length of transmission line is 1=300m, the natural impedance is 30042, the 图mpm=30 m, the natural impedance is 30002, the a. se reflection reflection coefficient of the end terminals(2-2)A0)and the Evaluate the voltage reflection coefficient of the end terminals(2-2)A(0)and the voltage reflection coefficient of input teminals(1-1)B/. Calculate th Evaluate the step response of the end terminals. 3. Get the voltage waveform of the position within0-SHs, which is 75 m away 39fromt age waveform of the position within 0-5us, which is 75 m away Solution: 2) (D)=()→F(s)=l1/1 (22)(z1+z)e zL)"(Z-Z)e""V 2()=2(-r)-u(-3r)+(-5r)+ 2x∑-1)au(-2kz-r) the voltage waveform of the position within 0-5p

北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 u(t) ZC τ + - ZL=∞ τ V+ V- 2τ 3τ V+ V0(t)=? t t V0(t) V- V+ V- Solution 3: Get the unit step response using the terminal’s reflectance Application example of uniform lossless transmission line: time delay, impulse response e.g.: ρ (0) -1 ρ (0) 1 V V = Terminal open: = Terminal shorted: 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 Z C Z L =3Z C V (t) + - τ t V 0 (t) 10us 0 x=0 8 V x = l + - Solution 2: Determine the waveform of output signal Vo(t) (04G) ( ) 2 1 3 1 3 1 0 = + − = + − = L c L c v Z Z Z Z ρ 1 1 oc c v oc c ZZ Z ZZ Z ρ − − = = =− + τ = 20μs 2τ 4 -4 τ V+ V- 3τ V+ V- V0(t) …… τ 8 4 -4 -2 12 -6 3 t t Application example of uniform lossless transmission line: time delay, impulse response 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 解：1) The length of transmission line is l = 300m, the natural impedance is 300Ω, the wave velocity is 3×108 m/s。 1.Evaluate the voltage reflection coefficient of the end terminals (2-2‘) ρv(0) and the voltage reflection coefficient of input terminals (1-1‘) ρv1. Calculate the time delay τ when the signals passes by the transmission line. 2.Evaluate the step response of the end terminals. 3.Get the voltage waveform of the position within 0 ~ 5μs, which is 75 m away from the end terminals. x l O u(t) + - 1' 2' 1 2 ( ) 1 300 300 0 = ∞ + ∞ − = + − = L c L c v Z Z Z Z ρ 1 0 300 1 0 300 o c v o c Z Z Z Z ρ − − = = =− + + ( )s v l τ 1 μ 3 10 300 8 = × = = Application example of uniform lossless transmission line: time delay, impulse response 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 The length of transmission line is l = 300m, the natural impedance is 300Ω, the wave velocity is 3×108 m/s。 1.Evaluate the voltage reflection coefficient of the end terminals (2-2‘) ρv(0) and the voltage reflection coefficient of input terminals (1-1‘) ρv1. Calculate the time delay τ when the signals passes by the transmission line. 2.Evaluate the step response of the end terminals. 3.Get the voltage waveform of the position within 0 ~ 5μs, which is 75 m away from the end terminals. Solution: 2) x l O u(t) + - 1' 2' 1 2 ( ) ( ) ∑( ) +∞ = − − − − + − − = − + + = − + = 0 3 5 (2 1) 2 2 1 2 2 1 2 k s s s k s k s s e s e e e e s e s V s τ τ τ τ τ τ L v t u t V s s i i ( ) = ( ) → ( ) =1/ (e e ) 2 V V (2Z ) (Z Z )e V (2Z ) (Z - Z )e V 2 L c 2 -1 L c 2 L -1 1 L τ τ τ τ s s s s − − = + = + + v t u t V s s i i ( ) = ( ) → ( ) =1/ (e e ) 2 V V (2Z ) (Z Z )e V (2Z ) (Z - Z )e V 2 L c 2 -1 L c 2 L -1 1 L τ τ τ τ s s s s − − = + = + + Application example of uniform lossless transmission line: time delay, impulse response 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 () ( ) ( ) ( ) [ ] ∑( )( ) +∞ = = × − − − = − − − + − + 0 2 2 1 2 2 3 5 k k u t k V t u t u t u t τ τ τ τ τ L v t u t V s s i i ( ) = ( ) → ( ) =1/ L c 2 -1 L c 2 L -1 V1 (2Z L ) (Z Z )e V (2Z ) (Z - Z )e V sτ − sτ = + + Application example of uniform lossless transmission line: time delay, impulse response The length of transmission line is l = 300m, the natural impedance is 300Ω, the wave velocity is 3×108 m/s。 1.Evaluate the voltage reflection coefficient of the end terminals (2-2‘) ρv(0) and the voltage reflection coefficient of input terminals (1-1‘) ρv1. Calculate the time delay τ when the signals passes by the transmission line. 2.Evaluate the step response of the end terminals. 3.Get the voltage waveform of the position within 0 ~ 5μs, which is 75 m away from the end terminals. x l O u(t) + - 1' 2' 1 2 Solution: 2) 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 Solution: 3) x l O u(t) + - 1' 2' 1 2 τ τ τ 4 1 4 3 = + τ 2τ 3τ 4τ 5τ 1 2 O t Vx 4 3τ 距离2-2'端口75米处的电压波形 τ 2τ 3τ 4τ 5τ 1 2 O t Vx 4 3τ 距离2-2'端口75米处的电压波形 Application example of uniform lossless transmission line: time delay, impulse response The length of transmission line is l = 300m, the natural impedance is 300Ω, the wave velocity is 3×108 m/s。 1.Evaluate the voltage reflection coefficient of the end terminals (2-2‘) ρv(0) and the voltage reflection coefficient of input terminals (1-1‘) ρv1. Calculate the time delay τ when the signals passes by the transmission line. 2.Evaluate the step response of the end terminals. 3.Get the voltage waveform of the position within 0 ~ 5μs, which is 75 m away from the end terminals. the voltage waveform of the position within 0 ~ 5μs, which is 75 m away from the end terminals

example of uniform lossless transmission li time delay, impulse response time delay, impulse response v.Y(e"y2-e":°-ax。-y L. Evaluate the voltage reflection coefficient of the end terminals (2-2)P 0)and the alculate the time the transmission lin 1+∑(e-") t)=[(-t1)+l(t-(z+r2) T=T+T=1+ (t-(3-r)+l(-(3r+3)]+ Application example of uniform lossless transmission lin Uniform lossless transmission line time delay impulse response jB V2=ZI V, 八 Zeshi chex人2 z,chkx+zcshkx +jzctg Z, shox+ Scchk记tgx+zc [(ZL+Z)e (z1-2ev2J/ -z)er2]/2z。 Uniform lossless transmission line: terminal open, short, uniform los- transmission line Z V-z Z+jzct9 Zc I,jz,tgAx+Z R+1aLG+」a 1+只,(0)e2 k=jB=jo Z-L/C p(0)= V=[(z1+z)ev2+(z-z)e^M2/22 [(z1+z)er2-(z1-z)e2]/22 Terminal matched:Z=ZcP(O)=0ZiN=Zc Laplace Transform: jo >Smth m0可P0=12=如 Jt→Sr Terminal open: Z P,(O)=1ZN-jzcctgAx

北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 Solution: 3) 1 2 4 1 4 3 τ = τ + τ =τ +τ (e e ) 2 V V 2 x 2 2 sτ − sτ = + (e e ) 2 V V (2Z ) (Z Z )e V (2Z ) (Z - Z )e V 2 L c 2 -1 L c 2 L -1 1 L τ τ τ τ s s s s − − = + = + + (e e ) (e e ) Vx V1 τ τ τ τ s s s s − − + + = 2 2 Application example of uniform lossless transmission line: time delay, impulse response The length of transmission line is l = 300m, the natural impedance is 300Ω, the wave velocity is 3×108 m/s。 1.Evaluate the voltage reflection coefficient of the end terminals (2-2‘) ρv(0) and the voltage reflection coefficient of input terminals (1-1‘) ρv1. Calculate the time delay τ when the signals passes by the transmission line. 2.Evaluate the step response of the end terminals. 3.Get the voltage waveform of the position within 0 ~ 5μs, which is 75 m away from the end terminals. x l O u(t) + - 1' 2' 1 2 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 τ 2τ 3τ 4τ 5τ 1 2 O t Vx 4 3τ 距离2-2'端口75米处的电压波形 τ 2τ 3τ 4τ 5τ 1 2 O t Vx 4 3τ 距离2-2'端口75米处的电压波形 22 22 2 2 2 2 1 ss ss s ss s s ss s k ττ ττ τ τ τ τ τ ττ τ − − − − − − − ∞ − = + + = = + + + = + ∑ 1 x k V (e e ) (e e )e 1 V (e e ) s (1 e ) (e e )e [1 (-e ) ] s 21 2 1 1 ( ) [ ( ) ( ( ))] [ ( (3 )) ( (3 ))] ... v t ut ut ut ut τ τ τ ττ ττ = − + −+ − −− +−+ + 2 2 Application example of uniform lossless transmission line: time delay, impulse response the voltage waveform of the position within 0 ~ 5μs, which is 75 m away from the end terminals (2-2’) 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 Solution: e.g.: As shown in Fig 6-1, an ideal voltage source is connected to an ideal operational amplifier with a pair of uniform lossless transmission line. The natural impedance is Zc=75Ω. The resistances in the circuits are R1=150Ω, R2=1.5kΩ. The transmission time of signals from 1-1’ to 2-2’ is 2us. Since the output of the ideal voltage source is a 1-V and 1-us rectangular-shaped pulse which started from t=0, as shown in Fig 6-2. The switch is closed at t=4us. (It is opened before.) Please draw out the waveform of the output signal Vo from 0 to 12us. 1 75 75 2 = ∞ + ∞ − = + − = L c L c v Z Z Z Z ρ Zc 1 1' 2 2' Vs (t) 图 6-1 R1 + - R2 Vo K + - Zc 1 1' 2 2' Vs (t) 图 6-1 R1 + - R2 Vo K + - Vs (t) O t 1 μs 1V 图 6-2 Vs (t) O t 1 μs 1V Vs (t) O t 1 μs 1V 图 6-2 t (μs) Vo (V) 12 67 10 11 12 -40/9 40/3 t (μs) Vo (V) 12 67 10 11 12 -40/9 40/3 1/ 3 150 75 150 75 2 = + − = + − = L c L c v K Z Z Z Z ρ 1 0 75 0 75 2 = − + − = + − = L c L c v Z Z Z Z ρ Application example of uniform lossless transmission line: time delay, impulse response 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 V2 = ZLI2 kx - ZC + V1 - + V2 I1 I2 ZL Zin ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 2 1 C C 1 1 I V Z shkx chkx chkx Z shkx I V *** k = jβ Uniform lossless transmission line x - + V1 - + V2 I1 I2 k, Zc ZL Zin x 0 L C L C C L C L C C 1 1 in jZ tg x Z Z jZ tg x Z Z shkx Z chkx Z chkx Z shkx Z I V Z + + = + + = = β β Zin changes along the transmission line by half wavelength. V and I change along the transmission line by one wavelength Summary 2 c j x 2 L c j x 1 L c 2 L j x 2 L c j x 1 L c I [(Z Z )e I (Z -Z )e I ]/2Z V [(Z Z )e V (Z -Z )e V ]/2Z β β β β − − = + − = + + 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 kx - ZC + V1 - + V2 I1 I2 ZL ZiN *** -j2 x -j2 x C L C L C C 1 1 iN 1- (0)e 1 (0)e Z jZ tg x Z Z jZ tg x Z I V Z β β ρ ρ β β v + v = + + = = = ∞ = = L L L C Z Z 0 Z Z ρ (0) 1 ρ (0) -1 ρ (0) 0 V V V = = = + = + − = V V Z Z Z Z ρ (0) - L C L C V Z -jZ ctg x Z jZ tg x Z Z iN C iN C iN C β β = = = Uniform lossless transmission line: terminal open, short, matched Terminal matched: Terminal short: Terminal open: 2 c j x 2 L c j x 1 L c 2 L j x 2 L c j x 1 L c I [(Z Z )e I (Z -Z )e I ]/2Z V [(Z Z )e V (Z -Z )e V ]/2Z β β β β − − = + − = + + Summary 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 uniform lossless transmission line *** k = jβ = jω LC Zc = L/C (R j L)(G j C) k α jβ = + ω + ω = + G j C R j L - I V I V ZC ω ω + + = = = − − + + G j C R j L - I V I V ZC ω ω + + = = = − − + + x - + V1 - + V2 I1 I2 k, Zc kx - ZC + V1 - + V2 I1 I2 β ω ω jωτ v x j x = j LCx = j ⋅ = Laplace Transform: j Laplace Transform: jωωÆÆSS jωτ ⇒ sτ summary λ π β 2 = Definition 1: transfer constant Definition 2: natural impedance Uniform lossless transmission line: R=G=0, so: Complex method Known time delay Known length kx - ZC + V1 - + V2 I1 I2

step response of transmission lines step response of trans 四如 mission line(send the sine wave signal: asmission line (send the sine wave signal) v-(2(2+2)V2+(22)(a-ze+V 1+A2(0)e 工=(22)2(2+z)e-2-(2z)2(21-z)e" 2tg+z2x=1-(o)e=2=1-A(o)e v=(z)(z+z)ev2+(2z)(z-z2)elmv2 1=(22)(+2)12·(22)(z4-z2)e1 aplace transform - solving the any r on the transmission line(send any signal: solving th 1+P(0)e 长:2:图江围 1-P2(0)e Usingaexpans/(+ae)=1+5(0”)

北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 L c 2 -1 L c 2 L -1 V1 (2Z L ) (Z Z )e V (2Z ) (Z - Z )e V sτ − sτ = + + L c 2 -1 L c 2 C -1 I1 (2Z C ) (Z Z )e I - (2Z ) (Z - Z )e I sτ − sτ = + *** 2 j L c -1 2 L j L c -1 V1 (2Z L ) (Z Z )e V (2Z ) (Z - Z )e V ωτ − ωτ = + + L c 2 -1 L c 2 C -1 I1 (2Z C ) (Z Z )e I - (2Z ) (Z - Z )e I jωτ − jωτ = + 2 j x L c -1 2 L j x L c -1 V1 (2ZL) (Z Z )e V (2Z ) (Z -Z )e V β − β = + + 2 x L c -1 2 C x L c -1 I1 (2ZC) (Z Z )e I - (2Z ) (Z -Z )e I jβ − jβ = + step response of transmission lines Complex method → solving the sinusoidal steady-state response on the transmission line (send the sine wave signal): Laplace transform → solving the any response on the transmission line (send any signal): summary Using a expansion formula: ∑ ∞ = + = + k 1 x x k 1/(1 ae ) 1 (-ae ) 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 北京大学 *** τ τ ρ ρ s V s V -2 -2 i C 1 (0)e 1 (0)e Z Z − + = ωτ ωτ β β ρ ρ ρ ρ β β -2j -2j -j2 x C -j2 x C L C L C i C 1 (0)e 1 (0)e Z 1 (0)e 1 (0)e Z jZ tg x Z Z jZ tg x Z Z V V V V − + = − + = + + = step response of transmission lines summary Complex method → solving the sinusoidal steady-state response on the transmission line (send the sine wave signal): Laplace transform → solving the any response on the transmission line (send any signal):