北京大学：《电路分析原理 Circuit Analysis》课程教学课件（英文版）第二章拉普拉斯分析第二节用拉普拉斯变换求解电路问题.pdf_大学文库

北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 第？讲：复习北京大学 wwhu 北京大学《Principles of Circuit Analysis》 Chapter 2 Laplace Transform Lecture 2 2009-10-15 Interest Focus Persistence Originality 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 Resonant circuit conditions: 1.There are two energy storage elements in the circuits. Something additional about resonance circuits and Q factor + - I(jω) C R L V(jω) ( ) ( ) ( ) ( ) jωC Z jω R jωL V Z jω I jω H jω 1 1 = + + = = V(jω) I(jω) C G L + - series resonant circuitÅduality relationÆ parallel resonant circuit V(jω) ÅÆ I(jω) Z(jω) ÅÆ Y(jω) L ÅÆ C C ÅÆ L R ÅÆ G 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) jωC Z jω R jωL V jω Z jω I jω H jω 1 1 = + + = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) jωL Y jω G jωC I jω Y jω V jω H jω 1 1 = + + = = V(jω) ÅÆ I(jω) Z(jω) ÅÆ Y(jω) L ÅÆ C C ÅÆ L R ÅÆ G =0 =0 + - I(jω) C R L V(jω) ( ) ( ) ( ) ( ) jωC Z jω R jωL V Z jω I jω H jω 1 1 = + + = = V(jω) I(jω) C G L + - series resonant circuitÅduality relationÆ parallel resonant circuit Something additional about resonance circuits and Q factor 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 ( ) ( ) ( ) ()() ( ) 00 0 0 0 00 0 0 0 2 2 0 2 2 0 2 2 0 0 / / 1/ 1 1 ( ) ( ) (1 cos 2 ) 2 2 1 1 ( ) ( ) (1 cos 2 ) 2 2 1 reactive power L S C S L C V j j L I j jQV j V j I j j L jQV j Q L R CR w t Li t LI t w t Cv t LI t LI I C ωω ω ω ω ωω ω ω ω ω ω ω ω =⋅ = = =− = = = =+ = =− = =− V(jω) ÅÆ I(jω) Z(jω) ÅÆ Y(jω) L ÅÆ C C ÅÆ L R ÅÆ G + - I(jω) C R L V(jω) ( ) ( ) ( ) ( ) jωC Z jω R jωL V Z jω I jω H jω 1 1 = + + = = V(jω) I(jω) C G L + - series resonant circuitÅduality relationÆ parallel resonant circuit Something additional about resonance circuits and Q factor 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 When the circuits resonate: 1.the voltage (series connection) or the current (parallel connection) of output is the biggest. (Q times over the source) 2.the stimulated voltage is in phase with the current in the circuit. (the imaginary part of the impedance or transadmittance is zero) VS VR S I VL L I VC VR CI RI S VS I RI + - I(jω) C R L V(jω) + - I(jω) C R L V(jω) ( ) ( ) ( ) ( ) jωC Z jω R jω L V Z jω I jω H jω 1 1 = + + = = V(jω) I(jω) C G L + - ( ) ( ) ( ) ( ) jωC Z jω R jω L V Z jω I jω H jω 1 1 = + + = = V(jω) I(jω) C G L + - V(jω) I(jω) C G L + - Something additional about resonance circuits and Q factor 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 5. Second-order filter (including two dynamic elements) About Q factor: The physical definition of Q factor: Method 2 Method 1 ω0 1 2 1 |H(jω)| 0 ωl ωh ω Ｑ＝２π Energy Stored Energy dissipated per cycle

北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 5. Second-order filter (including two dynamic elements) VR(jω) + - Ii(jω) C R L V(jω) + - resonance frequency： Q factor： resonance frequency： Q factor： LC 1 ω0 = ω RC 1 R ω L Q 0 0 = = L 0 L L R ω L R → Q = ω R C 1 R Q 0 C C → C = About Q factor (series resonant circuit) : Conclusion: Without changing the structure of the resonant circuit, the introduction of load or the source with internal loss will lower the Q factor of resonant circuit. C L L C Q 1 Q 1 Q 1 R = R + R → = + If the loss of resonant circuit is only caused by the capacitors and inductors, then: 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 5. Second-order filter (including two dynamic elements) About Q factor (Parallel Resonant Circuit) : Conclusion: Without changing the structure of the resonant circuit, the introduction of load or the source with internal loss will lower the Q factor of resonant circuit. ω G L 1 G Q 0 L L → L = C 0 C C G ω C G → Q = resonance frequency： Q factor: resonance frequency： Q factor: LC 1 ω0 = ω GL 1 G ω C Q 0 0 = = C L L C Q 1 Q 1 Q 1 G = G + G → = + If the loss of resonant circuit is only caused by the capacitors and inductors, then: ( ) ( ) ( ) ( ) jωC Z jω R jωL V Z jω I jω H jω 1 1 = + + = = V(jω) I(jω) C G L + - 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 Content §2－3 Solving the linear circuits using Laplace Transform 1. Transform of basic laws (operational form) 2. Transform of branches (Vs,Is,R,L,C) 3. Transform of passive single-port network --the general operational form of Ohm’s Law (V(S)=Z(S)I(S)) 4. Transform of active single-port network -- operational form of Thevenin's theorem and Norton’s theorem /Voc(S),Isc(S),Zeq(S) 5. Solution: transform and inverse transform §2－4 S-domain description of the network transfer function 1. Definition (H(S)=Y(S)/F(S)) 2. Characteristic 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 e.g.2：Laplace Transform of Ohm’s Law v t Ri t () () = V s RI s () () = vt V s () ( ) = it I s () ( ) = Ri t RI s () () = e.g.3：Laplace Transform of KCL、KVL If …… it Is 1 1 ( ) = ( ) it Is 2 2 ( ) = ( ) Linearity Linearity ∑it Is i i ( ) =∑ ( ) ∑it 0 i ( ) = Unique Unique ∑Ii(s) = 0 Linearity Linearity Unique Unique *** Unique F(s)↔ f(t) A one-to-one relationship Linearity α f (t ) α f (t ) () α F s α F (s) 1 1 + 2 2 = 1 1 + 2 2 Laplace Transform -- Basic property Review 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学＋ CS － I( ) s V( ) s ( ) s V 0- ＋－ () () ( ) I s = CsV s − CV 0- ＋－ I( ) s V( ) s CS ( ) CV 0- () ( ) ( ) 0- f' t = sF s − f transform transform Equivalent Equivalent ( ) ( ) dt dV t I t = C ＋－ V( ) t I( ) t ( ) V 0- C ＋－ I( ) t ( ) V 0- ＋－ V( ) t C Equivalent Equivalent Laplace Transform -- Basic property *** Differentiation transform transform Review ∫ = + t i t d t C v t v 0 ( ) ( ) 1 ( ) (0) （t≥0）北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 ( ) ( ) dt dI t V t = L ＋－ V(t) I(t) ( ) I 0- L ＋ V(t) － I(t) ( ) I 0- L Equivalent Equivalent ＋－ ( ) s I 0- I( ) s LS V( ) s () () ( ) V s = LsI s −LI 0- ＋ LS － I( ) s ( ) LI 0- V( ) s －＋ transform transform ( ) ( ) ( ) 0- f' t = sF s − f transform transform Equivalent Equivalent Laplace Transform -- Basic property *** Differentiation Review ∫ = + t v t d t L i t I 0 ( ) ( ) 1 ( ) (0) （t≥0）

北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 Dynamic elements with initial state: C L ＋－ ( ) I 0- I( ) t L V( ) t ＋－ C I(t) ( ) V 0- ＋－ S-field S-field S-field S-field ＋－ I( ) 0- s I( ) s Ls V( ) s ＋－ 1/Cs I(s) V(0- ) s ＋－ *** ( ) s 1 u t e dt e dt st 0 st = = ∫ ∫ ∞ − ∞ − − 0 ( ) s 1 u t = δ( ) t e dt e 1 t 0 st 0 st = = = − ∞ − ∫ − δ( ) t =1 ( ) s-α 1 e e dt e dt 0 s-α t 0 αt st = = ∫ ∫ ∞ − ∞ − − s-α 1 eαt = 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 Dynamic elements whose initial value is zero (zero-state circuits I() () s = CsV s Differentiation: f'(t ) = sF (s)− f (0- ) () = sF s ( ) tranform tranform ( ) = dv t it C dt ＋－ v t( ) i t( ) C *** ＋－ I( ) s V( ) s CS 1 Z(s) Y(s) CS = = 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 f'() ( ) ( ) ( ) t = sF s − f 0- = sF s *** ( ) ( ) = di t vt L dt ＋－ v t( ) i t( ) ( ) I 0- L V() () s = LsI s transform transform L LS 1 Y(s) Z(s) LS = = ＋－ ( ) I( ) s I 0- V( ) s Dynamic elements whose initial value is zero (zero-state circuits Differentiation: 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 3. Transform of passive single-port network -- the general operational form of Ohm’s Law Networks with null state and no independent source N0 Networks with null state and no independent source N0 I(s) V(s) Z Operational impedance Y Operational admittance R L C R Ls 1/Cs G 1/Ls Cs e.g.：＋－ R C L ( ) Ls I() () () s Z s I s Cs 1 V s R ⎟⋅ = ⋅ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + + + - ( ) ( ) ( ) I() () () s Y s V s V s Z s I s = ⋅ = ⋅ Z(s) *** 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 + - time domain--t frequency domain--ω complex frequency domain--s Transform domain analysis in Circuit Theory - general elements models 1/jωC R jωL Vs(jω) Is(jω) jωC G=1/R 1/jωL impedance type transadmittance type 1/sC R sL Vs(s) Is(s) sC G=1/R 1/sL *** Symbolic circuit elements model Operational circuit elements model ( ) s v t ( ) si t C R L impedance type transadmittance type 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 Laplace Transform -- definition e.g.: Vs(jωo)=1 *** + - Vs ~ 0.1F 5Ω 10Ω 0.2F + - Vo + - Vs(jω) 10/jω ~ 5 10 + - 5/jω Vo(jω) + - Vs(jω) 10/jω ~ 5 10 + - 5/jω Vo(jω) cos(ω0t) 1 o o o (complex method) (Laplace transform method) V(jω)= Vmejϕ = Vm∠ϕ Vm(ω)=1, ϕ(ω)= 0 0 ( ) cos( ) s vt t = ω 0 ( ) cos( )? Vj j s ω =×= ω + - Vs(s) 5 ~ 10 5/s + - Vo(s) 10/s Vs(s)=? time domain--t frequency domain--ω complex frequency domain--s

北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 Laplace Transform -- Basic property e.g.1：if Q: image function of = , − αt 1 e s α ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = − = + jωt -jωt jωt -jωt e e 2j 1 sinωt e e 2 1 cosωt ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − − = + =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + − = ∴ 2 2 2 2 s ω ω s jω 1 s jω 1 2j 1 sinωt s ω s s jω 1 s jω 1 2 1 cosωt unique F( ) () s ↔ f t A one-to-one relationship Linearity α1 f1 () () ( ) ( ) t + α2 f2 t = α1F1 s + α2F2 s = − 1 Q j t e ω s jω cosωt,sinωt *** review 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 Vs(jωo)=1 *** + - Vs ~ 0.1F 5Ω 10Ω 0.2F + - Vo + - Vs(jω) 10/jω ~ 5 10 + - 5/jω Vo(jω) + - Vs(jω) 10/jω ~ 5 10 + - 5/jω Vo(jω) cos(ω0t) 1 o o o 0 ( ) cos( ) s vt t = ω Vs(s)= 2 0 2 s ω s + + - Vs(s) 5 ~ 10 5/s + - Vo(s) 2 10/s 0 2 s ω s + e.g.: (complex method) (Laplace transform method) time domain--t frequency domain--ω complex frequency domain--s Laplace Transform -- Basic property 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 Chapter2：Solving the linear circuits using Laplace Transform—example + - Vs ~ 0.1F 5Ω 10Ω 0.2F + - Vo 2 1 ' 0 0 ' 1 '' 2 (0 ) (0 ) ( ) ( ) ( ) v K v K a v t a v t a v t A o o o o o + = + = + + = N u(t) s(t) N δ(t) h(t) N f(t) y(t) =f(t)*h(t) //…solving in time domain… …solving in time domain…// Q1：H(jω)=Vo/Vs=？ Q2：Vs=cos(ωt)，Vo=？ Q3：Vs=1，Vo=？ Q4：Vs=u(t)，Vo=？ Q5：Vs=δ(t)，Vo=？ Q6：Vs=f(t)，Vo=？ stable stable stable transient transient transient 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 + - Vs ~ 0.1F 5Ω 10Ω 0.2F + - Vo N F(s) Y(s)=H(s)F(s) transform transform Inverse transform Inverse transform ☺☺…solving in transform domain… …solving in transform domain…☺☺ Q1：H(jω)=Vo/Vs=？ Q2：Vs=cos(ωt)，Vo=？ Q3：Vs=1，Vo=？ Q4：Vs=u(t)，Vo=？ Q5：Vs=δ(t)，Vo=？ Q6：Vs=f(t)，Vo=？ stable stable stable transient transient transient Chapter2：Solving the linear circuits using Laplace Transform—example 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 + - Vs ~ 0.1F 5Ω 10Ω 0.2F + - Vo + - 1/s 5 ~ 10 5/s + - Vo 10/s t=0- + - Vs 0.1F 5Ω 10Ω 0.2F + - Vo Vc1(0-)=Vc2(0-)=0， Vo(0-)=0 t≥0+ Q1：H(jω)=Vo/Vs=？ Q2：Vs=cos(ωt)，Vo=？ Q3：Vs=1，Vo=？ Q4：Vs=u(t)，Vo=？ Q5：Vs=δ(t)，Vo=？ Q6：Vs=f(t)，Vo=？ stable stable stable transient transient transient Chapter2：Solving the linear circuits using Laplace Transform—example 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 ) ( 2 3) 1 ( 2 3) 1 ( 2 3 1 ( 2 3)( 2 3) 1 4 1/ ( ) ( ) ( ) 1 + + − + − = + + + − = + + = = − s s s s s s s Vo s H s Vs s 1 4 1 ( ) ( ) ( ) − + + = = Vs s s s Vo s H s ( ) ( ) 2 3 1 ( ) ( 2 3) ( 2 3) 01 v t e e u t − + t − − t = − ( ) 2 3 1 ( ) ( 2 3) ( 2 3) 01 t t v t e e − + − − = − t≥0+ Chapter2：Solving the linear circuits using Laplace Transform—example

北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 ) ( ) 2 3 2 3 2 3 2 3 ( ) ( ) ( 2 3 1 ( ) ( )]' 2 3 1 ( ) ( ) ( ) [ ( 2 3) ( 2 3) ( 2 3) ( 2 3) ' ( 2 3) ( 2 3) 02 01 e e t e e u t v t h t v t e e u t t t t t t t − + − − − + − − − + − − − − − − + = − + = = = − δ ( ) ( ) ( ) 2 3 1 ( ) ( 2 3) ( 2 3) 01 v t e e u t S t t t = − = − + − − Q5：Vs=δ(t)，Vo2=？ Also another way: h(t) =H(s) =1/(4+S+S-1 . ) . Inverse transform Chapter2：Solving the linear circuits using Laplace Transform—example 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 Description: For any linear operational network with two terminals which has sources, if the open-circuit voltage VOC(s), short-circuit Current ISC(s) , equivalent resistant Zeq(s) are known, this network can be equivalent to: ▲ a network which has a voltage source (VOC(s),) series by a resistant (Zeq(s) ). (Thévenin's theorem) ▲ a network which has a current source (ISC(s) ) paralleled by a resistant (Zeq(s) ). (Norton's theorem) ▲ And we have VOC(s)=ISC(s) Zeq(s) 4. Transform of active single-port network -- operational form of Thevenin's theorem and Norton’s theorem /Voc(S),Isc(S),Zeq(S) *** 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 Ns Ns Ns Ns V(s)=0 ISC(s) + - Ns Ns I(s)=0 VOC(s) + - *** Set the independent source and the initial state to zero 4. Transform of active single-port network -- operational form of Thevenin's theorem and Norton’s theorem /Voc(S),Isc(S),Zeq(S) Networks with null state and no independent source N0 Networks with null state and no independent source N0 I(s) V (s) + - ( ) I( ) s V s Zeq = 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 VOC(s) ISC(s) Zeq(s) is the equivalent operational impedance when the independent sources and initial values in the network are set to zero. is the computed value when the independent source and initial value both affect. 4. Transform of active single-port network *** -- operational form of Thevenin's theorem and Norton’s theorem /Voc(S), Isc(S), Zeq(S) 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 Ns Ns V=0 ISC + - Ns Ns I=0 VOC + - reference direction: Ns Ns Zeq VOC + - Norton’s source circuits ISC Zeq Thévenin's source circuits 4. Transform of active single-port network *** -- operational form of Thevenin's theorem and Norton’s theorem /Voc(S),Isc(S),Zeq(S) 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 e.g.1：what are the s-field equivalent source circuits for the following circuits? 2.Then solve ISC(s) VOC(s) Zeq(s) 1.Find the operational circuits － 10 s ＋ 100 s 1 5 －＋ s 1 transform － 10Ω 100V ＋ 1F 5Ω VC (0− ) = 1V －＋ Solving VOC(s) : － 10 s ＋ 100 s 1 －＋ s 1 VOC(s) + - + - = VR(s) 4. Transform of active single-port network -- operational form of Thevenin's theorem and Norton’s theorem /Voc(S),Isc(S),Zeq(S)

北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 e.g.1：solving VOC(s): using the source equivalent method ( ) s ( ) 3 10s 10 10 s VOC (s) ⋅ + ⋅ + = － 10 s ＋ 100 s 1 5 －＋ s 1 + - 1 10s 10 + 5 s 10 + s + - 10 s 10 s 1 1 5 + - 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 e.g.1：solving ISC(s) ：－ 10 s ＋ 100 s 1 5 －＋ s 1 ISC (s) s 10 s I SC (s) + = It’s easy to get: － 10 s ＋ 100 s 1 －＋ s 1 ISC (s) 10 s 10 s 1 1 ISC (s) 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 e.g.1: solving Zeq(s)：the independent sources and initial states are set to zero 3 10s 10 s) 10 1 5 1 Z (s) ( 1 eq + = + + = − It’s easy to get: V OC (s) = I SC (s) ⋅Z eq (s) verification ： 10 s 1 5 V(s) + - I(s) － 10 s ＋ 100 s 1 5 －＋ s 1 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 e.g.1：what are the s-field equivalent source circuits for the following circuits? － 10Ω 100V ＋ 1F 5Ω VC (0− ) = 1V －＋ Then the the s-field equivalent source: or －＋ 3 10s 10 + ( ) s ( ) 3 10s 10 10 s ⋅ + ⋅ + 3 10s 10 + s 10 + s 4. Transform of active single-port network -- operational form of Thevenin's theorem and Norton’s theorem /Voc(S),Isc(S),Zeq(S) 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 Solving the linear circuits using Laplace Transform: 1.Transform the circuits to operational circuits (independent variable:S) 2.sloving（algebraic equations of V(s) or I(s)） 3.Restore to the original state：Inverse Transform V(s) or I(s) to v(t) or i(t) *** 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 Tea break！ Tea break！

北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 § 2-3 Solving the linear circuits using Laplace Transform e.g.2: what is response while changing the circuit: vL(t), iL(t) Steps for solving： ① find the initial state at t=0_ ② transforming（operational circuits） ③ Set up algebraic equations and solve ④ real solution: inverse transform Q: what is response while changing the circuit: vL(t), iL(t) － 100V ＋ 5H －＋ 50V 100 Ω t =0 50Ω －＋北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 e.g.2： ① find the initial state at t=0_ Because the circuit is stable when the switch is opened at t=0- ,the current of inductance is not changing. Then: VL(0－)=0 V and IL(0－)=1 A － 100V ＋ 5H 100 Ω －＋ § 2-3 Solving the linear circuits using Laplace Transform 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 § 2-3 Solving the linear circuits using Laplace Transform e.g.2： ② transforming（operational circuits）－ 100V ＋ 5H －＋ 50V 100 Ω t≥0 50Ω －＋－ s 100 ＋ 5s －＋ s 50 100 50 －＋ s 1 Transform － s 100 ＋ 5s －＋ s 50 100 50 －＋ + - 5 IL(0－)=1 A 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 e.g.2： ③ Set up algebraic equations and solve Set up algebraic equations using KCL (flow out of current means plus) ∑Ii (s) = 0 I1(s) + I2 (s) + IL (s) = 0 － s 100 ＋ 100 5s + - 5 I1(s) I2 (s) IL (s) －＋ s 50 50 ] s 100 [V (s) 100 1 I1(s) = ⋅ 1 − ] s 50 [V (s) 50 1 I2 (s) = ⋅ 1 − [V (s) ( 5)] 5s 1 IL(s) = ⋅ 1 − − In the 3 branches: V1(s) s 1 ] V (s) 5s 1 50 1 100 1 [ + + ⋅ 1 = substituting 3S 20 100 VL(s) V1(s) + = = S(3S 20) 3S 40 IL (s) + + = § 2-3 Solving the linear circuits using Laplace Transform 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 e.g.2 ： ④ real solution：inverse transform － 100V ＋ 5H －＋ 50V ≥0+ 100 Ω t 50Ω －＋ IL(0－)=1 A VL(0－)=0 V S 20/3 100/3 3S 20 100 VL(s) + = + = a 2, b -1 3S 40 3a(S 20/3) 3bS S 20/3 b S a S(3S 20) 3S 40 IL (s) ⇒ = = + = + + + = + + + = t 3 20 VL(t) 100/3 e − = ( )⋅ t 3 20 IL(t) 2 e − = − inverse transform : t≥0+ § 2-3 Solving the linear circuits using Laplace Transform 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 Reflections on Teaching Learing from Students Reflections on Teaching Learing from Students V (t) 100/3 e u(t) t 3 20 L − = ( )⋅ I (t) 1 (1 e )u(t) t 3 20 L − = + − It can also be written in representation fit in all time domain. equivalence 1 t 0 or t 0- I (t) 2 e t 0 or t 0 t 3 20 L ≥ + = − e.g.2 ： ④ real solution：inverse transform § 2-3 Solving the linear circuits using Laplace Transform

北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 Content §2－3 Solving the linear circuits using Laplace Transform 1. Transform of basic laws (operational form) 2. Transform of branches (Vs,Is,R,L,C) 3. Transform of passive single-port network --the general operational form of Ohm’s Law (V(S)=Z(S)I(S)) 4. Transform of active single-port network -- operational form of Thevenin's theorem and Norton’s theorem /Voc(S),Isc(S),Zeq(S) 5. Solution: transform and inverse transform §2－4 S-domain description of the network transfer function 1. Definition (H(S)=Y(S)/F(S)) 2. Characteristic 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 Laplace transform analysis-- S-domain description of the network transfer function Property 1: H(s) is the L.T. of unit impulse response. Y(s) =F(s)⋅H(s) let because , F(s) =1 δ(t) =1 f() () t = δ t then Y() () s = H s = h(t) Definition: transfer function H(s) = L.T. of zero state response L.T. of stimulation 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 H(s) H(jω) s jω = = H(jω) = Complex representation of Sinusoidal steady-state response Complex representation of stimulation X(jω) Y(jω) = Laplace transform analysis-- S-domain description of the network transfer function Property 2： Definition: transfer function H(s) = L.T. of zero state response L.T of stimulation 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 Definition: transfer function H(s) = L.T. of zero state response L.T of stimulation H(s) H(jω) s jω = = H(s) is the L.T. of unit impulse response. Poles of H(s) is the natural frequency of this network. It means the frequency characteristic of networks is independent of stimulations and responses. Laplace transform analysis-- S-domain description of the network transfer function Property 1： Property 2： Property 3：北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 + - Vs ~ 0.1F 5Ω 10Ω 0.2F + - Vo + - Vs 5 ~ 10 5/s + - Vo 10/s ( 2 3)( 2 3) 4 1 4 1 ( ) ( ) ( ) 2 1 + + + − = + + = + + = = − s s s s s s Vs s s s Vo s H s Chapter2：Solving the linear circuits using Laplace Transform—example Q1：H(jω)=Vo/Vs=？ Q2：Vs=cos(ωt)，Vo=？ Q3：Vs=1，Vo=？ Q4：Vs=u(t)，Vo=？ Q5：Vs=δ(t)，Vo=？ Q6：Vs=f(t)，Vo=？ stable stable stable transient transient transient 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 ( ) () () ∫ ∫ ∞ − − ∞ −∞ − = = 0 F s f t e dt f t e dt L.T. st st ( ) ( ) ∫ + ∞ − ∞ = σ j σ j st f t F s e ds 2πj 1 L.I.T. F(s) = f(t) f(t) =F(s) E.g.: Laplace transform of () () (image function) αt δ t ,u t ,e ( ) s 1 u t e dt e dt st 0 st = = ∫ ∫ ∞ − ∞ − − 0 ( ) s 1 u t = δ( ) t e dt e 1 t 0 st 0 st = = = − ∞ − ∫ − δ( ) t =1 ( ) s-α 1 e e dt e dt 0 s-α t 0 αt st = = ∫ ∫ ∞ − ∞ − − s-α 1 eαt = Laplace Transform -- definition Summary ***

北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 L.I.T.： 1。Method of undetermined coefficients 2。Look up the tables 3。Residue theorem *** Common transforms Look up the tables。。。 ( ) s 1 δ( ) t =1 u t = s-α 1 eαt = +Basic property +Basic property L.T.: L.T. and L.I.T. Summary 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 Laplace inverse Transform --Residue theorem ( ) ( ) ( ) ( ) ... ... = = = + ++ = = + ++ =⋅ = + ∑ ∑ ∏ M M -1 M M -1 0 N N -1 N N -1 0 N r j 1j N j r j1 j1 j 1 1 j j 2 B s bs b s b Y s A s as a s a B s c c K s - s (s - s ) (s - s ) (s - s ) If there is a r-order multiple root, j c =(s - s )Y(s)| j j s=s 1j (r-j) r 1 1j (r-j) s=s 1 d [(s -s ) Y(s)] c= | (r - j)! dt Summary 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 Time domain Frequency domain complex frequency domain independent variable t Intro.ejωt jω popularize popularize s = σ + jω Transform domain analysis of Circuit Theory *** + - Vs ~ 0.1F 5Ω 10Ω 0.2F + - Vo + - Vs(s) 5 ~ 10 5/s + - Vo(s) 10/s + - Vs(jω) 10/jω ~ 5 10 + - 5/jω Vo(jω) + - Vs(jω) 10/jω ~ 5 10 + - 5/jω Vo(jω) The actual circuit model abbreviation :circuits symbolic circuit operational circuit When Vs is the steady state response of circuits using sinusoidal signal analysis, Y( ) ( )( ) jω = F jω ⋅H jω Y( ) s = F(s)⋅H(s) Symbolic circuit and operational circuit are the easy way to solving circuits. But they are not the final results. y() () () t = f t ∗h t Summary 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 Vs(t)=cos(ω0t) e.g.： Vs(jωo)=1 Vs(s)= 2 0 2 s ω s + *** + - Vs ~ 0.1F 5Ω 10Ω 0.2F + - Vo + - Vs(s) 5 ~ 10 5/s + - Vo(s) 10/s + - Vs(jω) 10/jω ~ 5 10 + - 5/jω Vo(jω) + - Vs(jω) 10/jω ~ 5 10 + - 5/jω Vo(jω) cos(ω0t) 1 2 0 2 s ω s + o o o Laplace Transform -- definition Summary (complex method) (Laplace transform method) time domain--t frequency domain--ω complex frequency domain--s 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 *** complex/phasor method & solving algebraic equation ＋－ ( ) s v t i t( ) C R L 1 jωC R jωL symbolic circuit ＋－ ( ) V j s ω I j ( ) ω ( ) i t( ) s v t Real circuits & Real circuits Time domain analysis & solving the differential equation V j s ( ) ω & symbolic circuit I j ( ) ω transform recover Laplace Transform & solving algebraic equation I s( ) ( ) V s s & operational circuits transform Inverse transform Transform domain analysis of Circuit Theory Summary 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 wwhu 北京大学 analytical range stable＋transient Sinusoidal steady state stable＋transient signal Real signals Complex representation S-field representation relationship y(t) = f(t)∗h(t) Y(jω) = F(jω)⋅H(jω) Y(s) = F(s)⋅H(s) unit impulse response ? Image function of unit impulse response h(t) (sfield representation) Complex representation of unit impulse response h(t) Transform domain analysis of Circuit Theory Summary Time domain Frequency domain Complex frequency domain independent variable t Intro.ejωt jω popularize popularize s = σ + jω h(t) x(t) y(t) input （stimulation） output （response） Time-domain h(jw) x(jw) y(jw) input （stimulation） output （response） Frequency-domain h(s) x(s) y(s) input （stimulation） output （response） Tranform-domain

北京大学：《电路分析原理 Circuit Analysis》课程教学课件（英文版）第二章 拉普拉斯分析 第二节 用拉普拉斯变换求解电路问题

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