学分析讲义 由于函数q(x)是连续的,所以也是 Riemann可积的。并且: rxy)a-()y)-9(列 由于F(x (x),我们有 >0,38>0,|y-y eX,有F(x,y)-9(x)<6/(b-a) 所以:F(x,y)x-Jq(x ∫d= :lim F(r,y)dx=o(x)dx 证毕 定理5:(可导性) 设F(x,y),F(x,y)在Xxy(X为有界集)上定义,且满足 lim F(x,y=(x), 2)F( 则:q(x)在X上可微,且q(x)=④(x) 证明:先证:mF(x,y)=q(x)是一致收敛的。 ∈X,wy,y"∈y,取定x∈X,则有: (x, y)-F(,y") 3 F(x,y)-F(x, y)-F(=, y)+F(40,3)+F(=, y) -F(,y") 由收敛性,VE>0,38>0,|y-y<8,|y-<时, F(, y)-F(o, y")<E/2 又因为:F(x,y)-F(x,y)对x可导,由 Lagrange中值定理:彐∈(0,1) F(x,y)-F(x,y") (x+0(x-x),y)-F(+0(x-x)y)x 由于F(x,y)→(x),所以彐62>0,|y-y<62,ly-y<b2时 xo),y)-F(*+0(x-3),y") 其中M为有界集X的直径。令:6=min{61,62 则当y-y<6,y”-y<6时,有:|F(xy)-F(x,y) 即:F(x,y)→q(x) 13.121数学分析讲义 13.121 由于函数j( x) 是连续的，所以也是 Riemann 可积的。并且： ( , , ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a Fxy dx -£- j j x dx F x y x dx ò ò ò 由于 ( ) ( ) 0 , y y F x y x j ® Þ X ，我们有： " > e 0 ，$ > d 0 ， 0 y y - <d 时，" Îx X ，有 F x( , y ) -j e ( x) < - (b a) ， 所以： ( , ) ( ) b b b a a a Fxy dx x dx dx b a e -<= j e - ò ò ò ， 即： ( ) ( ) 0 lim , b b y y a a Fxy dx j x dx ® = ò ò 证毕 定理 5：（可导性） 设 Fxy ( , )， Fx ( x y, ) 在X Y´ （X 为有界集）上定义，且满足： 1) ( ) ( ) 0 lim , y y F x y x j ® = ， 2) ( ) ( ) 0 , x y y F x y x ® Þ F X ， 则：j( x) 在X 上可微，且j¢( x x ) = F( ) 。 证明： 先证： ( ) ( ) 0 lim , y y F x y x j ® = 是一致收敛的。 " Îx X ，" Î y y ¢, ¢¢ Y ，取定 0 x ÎX ，则有： ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 0 ) ( ) , , , , , , , , F x y Fxy F x y F x y F x y F x y F x y Fxy ¢ - ¢¢ £-- ¢ ¢¢ ¢ ++- ¢¢ ¢ ¢¢ 由收敛性，" > e 0 ，$ > d1 0 ， 0 1 y y ¢- < d ， 0 1 y y ¢¢- < d 时， F x ( 0 0 , y¢) - < Fxy ( , 2 ¢¢) e 又因为： F x( , , y¢) - Fxy ( ¢¢) 对 x 可导，由 Lagrange 中值定理：$ Îq (0,1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) 0 0 0 0 0 0 0 , ,,, , , x x F x y F x y F x y Fxy F x q q x x y F x x x y x x ¢ --+ ¢¢ ¢ ¢¢ = + - ¢ - + - ¢¢ × - 由于 ( ) ( ) 0 , x y y F x y x ® Þ F X ，所以$ > d2 0， 0 2 y y ¢- < d ， 0 2 y y ¢¢- < d 时 Fx x ( x0 + q ( x - x y 0 ), ¢) - F ( x0 0 +q e ( x x - £ ), 2 y M ¢¢) 其中 M 为有界集X 的直径。令：d = min , {d d 1 2} ， 则当 0 y y ¢- < d ， 0 y y ¢¢- < d 时，有： F x( , , y¢) - < Fxy ( ¢¢) e ， 即： ( ) ( ) 0 , y y F x y x j ® Þ X