含参量的积分 (,y)-F(o, y) x≠x0 其次,令:G(x,y)= x-Ro F(ro, y) 显然:1mG(x,y)=F(x0y),mG(x,y)={x-x x≠x0 F(xo, yo 所以 p (xo)=lim F(o, y)=lim limG(x,y) lim lim G(r, y=lim p(x)-p(=o) q(x0) 证毕 §3含参量的广义积分 有了上一节关于一致收敛性的讨论,我们可以开始研究含参量之广义积分的性质了。含 参量的广义积分有两类:一类是无穷积分,F(x)=(xy)d,另一类是瑕积分, (x)=f(,y)dy 一般地广义积分的两类情形是可以通过变量替换互换的,因而这里我们着重考虑无穷积 分的情形。 含参量无穷积分的一致收敛性 令:F(,4)=「f(x,y)d,这是一个二元函数,当A→+0时该函数关于x的一 致收敛性也就是广义积分的一致收敛性,因此: :定义:若函数F(x,4)=「f(x,y)当A→+∞时,对x∈X一致收敛,则称积 分。f(xy)对x∈X一致收敛 例1:讨论积分xe的一致收敛性 显然,x>0时上述积分总是收敛的,但是否一致收敛呢? 按定义,F(x,A) dy=l 若x2c>0,则:F(x,A)-1=e≤c“→0,( 所以xe”d在c+)上一致收敛 13.122含参量的积分 13.122 其次，令： ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 , , , , x F x y Fxy x x Gxy x x F x y x x ì - ï ¹ = í - ï = î 显然： ( ) ( ) 0 0 lim , , x x x G x y Fxy ® = ， ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 lim , , y y x x x x x Gxy x x F x y x x j j ® ì - ï ¹ = í - ï = î 所以： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 lim , lim lim , lim lim , lim x y y yyxx xxy y x x x F x y Gxy x x G x y x x x j j j ® ® ® ® ® ® F = = - = = = ¢ - 证毕 §3 含参量的广义积分 有了上一节关于一致收敛性的讨论，我们可以开始研究含参量之广义积分的性质了。含 参量的广义积分有两类：一类是无穷积分， ( ) ( , ) a F x f x y dy +¥ = ò ，另一类是瑕积分， ( ) ( , ) b a G x = fxy dy ò 。 一般地广义积分的两类情形是可以通过变量替换互换的，因而这里我们着重考虑无穷积 分的情形。 1 含参量无穷积分的一致收敛性 令： ( , , ) ( ) A a F x A = f x y dy ò ，这是一个二元函数，当 A ®+¥ 时该函数关于 x 的一 致收敛性也就是广义积分的一致收敛性，因此： 定义： 若函数 ( , , ) ( ) A a F x A = f x y dy ò 当 A ®+¥ 时，对 xÎX 一致收敛，则称积 分 ( , ) a f x y dy +¥ ò 对 xÎX 一致收敛。 例 1：讨论积分 0 xy xe dy +¥ - ò 的一致收敛性。 解： 显然， x > 0 时上述积分总是收敛的，但是否一致收敛呢？ 按定义， ( ) 0 , 1 A xy xA F x A xe dy e - - = = - ò 若 x c ³ > 0 ，则： ( , ) 1 0 xA cA F x A e e - - - =£® ，( A ®+¥) 所以 0 xy xe dy +¥ - ò 在[c,+¥) 上一致收敛；