数学分析讲义 若x>0,则:对于b=e,A>0,3=1 ,使得F(x,4)->e, 因而不是一致收敛的。 2一致收敛判别法 )一致收敛原理 ∫f(xy)小对x∈x一致收敛的充分必要条件为:vE>0,34>a,当A 时,Wx∈X,f(x,y) 一致收敛原理的证明可由上一节得定理1直接得到 2) Weierstrass判别法(M判别法) 类似于无穷积分的比较判别法,我们有如下的 Weierstrass判别法 若xeX,y≥a时,有/(xy)sM(y),并且厂M()中收敛,则厂f(x,y)d 对于x∈X一致收敛 3)Abe判别法 命题1:1)。(xy)对于x∈X一致收敛 2)g(x,y)对于国定的x∈x,是y的单调函数,且g(xy)一致有界, 即:M>0,Wx∈X,y≥a时,有(x,y)≤ 则:∫。f(x,y)g(xy)对于x∈X一致收敛。 证明:由条件1),我们有: vE>0,3A>a,当>A时,vx∈X,f(xy)d</2M, 由条件2),应用积分第二中值定理,我们有: /(xyg()(x)/(+)(小 f(r,y) <M.& +M/.E 2M 2M 所以,∫。f(x,y)8(x,y)对于x∈X一致收敛 证毕 13.123数学分析讲义 13.123 若 x > 0 ，则：对于 1 0 e e - = ，" > A 0 ， 0 1 x A $ = ，使得 ( ) 1 0 F x , 1 A e- - > ， 因而不是一致收敛的。 2 一致收敛判别法 1) 一致收敛原理 ( , ) a f x y dy +¥ ò 对 xÎX 一致收敛的充分必要条件为：" > e 0 ，$ > A a ，当 A¢, A A ¢¢ > 时，" Îx X ， ( , ) A A f x y dy e ¢¢ ¢ < ò 。 一致收敛原理的证明可由上一节得定理 1 直接得到。 2) Weierstrass 判别法（M 判别法） 类似于无穷积分的比较判别法，我们有如下的 Weierstrass 判别法： 若" Îx X ，y a ³ 时，有 f ( x, y ) £ M y( )，并且 ( ) a M y dy +¥ ò 收敛，则 ( , ) a f x y dy +¥ ò 对于 xÎX 一致收敛。 3) Abel 判别法 命题 1： 1) ( , ) a f x y dy +¥ ò 对于 xÎX 一致收敛； 2) gxy ( , ) 对于国定的 xÎX ，是 y 的单调函数，且 gxy ( , ) 一致有界， 即：$ > M 0 ，" Îx X ， y a ³ 时，有 g x( , y M ) £ ； 则： ( , , ) ( ) a f xygxy dy +¥ ò 对于 xÎX 一致收敛。 证明： 由条件 1)，我们有： " > e 0 ，$ > A a ，当 A¢, A A ¢¢ > 时，" Îx X ， ( , 2 ) A A f x y dy M e ¢¢ ¢ < ò ， 由条件 2)，应用积分第二中值定理，我们有： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , ,,, , , 2 2 A A A A A A f xygxy dy g x A f x y dy g x A fxy dy M fxy dy M fxy dy M M M M x x x x e e e ¢¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ = + ¢ ¢¢ £ + < × + × = ò ò ò ò ò 所以， ( , , ) ( ) a f xygxy dy +¥ ò 对于 xÎX 一致收敛。 证毕