含参量的积分 4) Dirichlet判别法 命题2:若1)3M>0,Wx∈X,A≥a时,有f(x,y)dsM 2)g(x,y)对于国定的x∈X,是y的单调函数,且g(x,y)→0 则:∫f(x,y)g(xy)对于x∈x一致收敛。 证明:由条件2),VE>0,丑A>a,当A,A">A时,Vx∈X, 有(x,4)</4M,|g(x,)</4M 同样应用积分第二中值定理,利用条件1),我们有: (x)8(c))(x)b+8x)J/列 ≤2Mg(,)+2Mg(x,A)<E 因而「(xy)g(xy)对于x∈X一致收敛 证毕 3含参量广义积分之性质 定理1:(积分界内取极限定理)设 1)wx∈x1{x},f(x,y)是y∈[a+∞)上连续函数 2)f(x,y)小对于x∈x一致收敛 3)x是X之聚点,且vb>a有f(x,y)→、g(y) 则:mf(,y)小=。8()d(有限值)。 证明:考虑函数F(xb)=丁f(xy)d,这是一个含参量之定积分 由含参量之定积分的连续性,F(xb)→」g(y)h 又,由于条件2,F(xb)=。f(x,)d 由一致收敛函数之性质,有: lim lim F(x,b)= lim lim F(x,b) 因而m(xy)=g()d 证毕 13.124含参量的积分 13.124 4) Dirichlet 判别法 命题 2：若 1) $ > M 0 ，" Îx X ， A a ³ 时，有 ( , ) A a f x y dy M£ ò ； 2) gxy ( , ) 对于国定的 xÎX ，是 y 的单调函数，且 ( , 0 ) y gxy ®+¥ Þ X ； 则： ( , , ) ( ) a f xygxy dy +¥ ò 对于 xÎX 一致收敛。 证明： 由条件 2)，" > e 0 ，$ > A a ，当 A¢, A A ¢¢ > 时，" Îx X ， 有 g x( , 4 A M ¢) < e ， g x( , 4 A M ¢¢) < e ； 同样应用积分第二中值定理，利用条件 1)，我们有： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , ,,, 2 , 2 , A A A A f xygxy dy g x A f x y dy g x A fxy dy Mgx A MgxA x x e ¢¢ ¢¢ ¢ ¢ = + ¢ ¢¢ £+< ¢ ¢¢ ò ò ò 因而 ( , , ) ( ) a f xygxy dy +¥ ò 对于 xÎX 一致收敛。 证毕 3 含参量广义积分之性质 定理 1：（积分界内取极限定理）设： 1) " Îx x X \{ 0 } ， f ( x y, ) 是 y a Î[ ,+¥)上连续函数； 2) ( , ) a f x y dy +¥ ò 对于 xÎX 一致收敛； 3) 0 x 是X 之聚点，且" > b a 有 ( ) [ ] ( ) 0 , , , a b xxx f x y g y ® Î Þ X ； 则： ( ) ( ) 0 lim , x x a a fxy dy g y dy +¥ +¥ ® = ò ò （有限值）。 证明： 考虑函数 ( , , ) ( ) b a F x b = f x y dy ò ，这是一个含参量之定积分 由含参量之定积分的连续性， ( ) ( ) 0 , x x b a F x b g y dy ® ® ò ； 又，由于条件 2)， ( , , ) ( ) x b a F x b f x y dy Î +¥ ®+¥ Þ ò X ； 由一致收敛函数之性质，有： ( ) ( ) 0 0 lim lim , lim lim , x x b b x x F x b F x b ® ®+¥ ®+¥ ® = ， 因而 ( ) ( ) 0 lim , x x a a fxy dy g y dy +¥ +¥ ® = ò ò 。 证毕