数学分析讲义 定理2:(连续性定理)设f(x,y)∈C(a小][a,+∞) F(x)=f(xy)在[a]上一致收敛,则:F(x)ec 证明:对于vB2a,由含参量定积分的性质,有:J(x,y)dec [a小 又因为:∫f(x,y)→F(x),因而F(x)Cpb 证毕 定理3:(积分顺序交换定理之一)设 1)f(x,y)∈C(ax[a,+∞),([ab]有限) 2)F(x)=f(xy在a上一致收敛, 则有:C(=[别p 证明:由条件知vB≥a有:Jf(x,y)→F(x) 因而由一致收敛函数求极限之定理,有: 加吧/,小体=[(别小体= 另一方面,由含参量的定积分交换次序定理 ()[(y) 令β→+∞,有: [(xy)=m厂[(xy1 )dy dr 证毕 定理4:(积分顺序交换定理之二)设 1)f(x,y)∈C([a,+∞)×[a,+∞) 2)f(xy)d在[a+)的任一有限子区间上一致收敛 3)(C(与((y)两者至少有一个存在 则: f(x,y)dy a f(x, y)dx 证明:v≥a,令:F(y)=J(xy),它满足 (1)F(=,y)eC(a,+∞)x[a,+∞)(由含参量定积分之性质) 13.125数学分析讲义 13.125 定理 2：（连续性定理）设 f ( x, y) ÎC([a b, , ]´[a +¥)) F ( x) f ( x y, )dy a +¥ = ò 在[ a b, ] 上一致收敛，则： F ( x)ÎCab [ , ] 。 证明： 对于" ³ b a ，由含参量定积分的性质，有： f ( x y, , )dy Cab [ ] b a Î ò ， 又因为： ( ) [ ] ( ) , , a b f x y dy F x b a b®+¥ ò Þ ，因而 F ( x)ÎCab [ , ] 。 证毕 定理 3：（积分顺序交换定理之一）设 1) f ( x, y) ÎC([a b, , ]´[a +¥)) ，（[ a b, ] 有限） 2) F ( x) f ( x y, )dy a +¥ = ò 在[ a b, ] 上一致收敛， 则有： ( , , ) ( ) b b a a f x y dy dx f x y dx dy a a +¥ +¥ é ù é ù = êë úû ê ú ë û ò ò ò ò 证明： 由条件知" ³ b a 有： ( ) [ ] ( ) , , a b f x y dy F x b a b®+¥ ò Þ 因而由一致收敛函数求极限之定理，有： lim ( , ) lim , ( ) ( ) b b b a a a fxy dy dx f x y dy dx F x dx b b b b ®+¥ a a ®+¥ é ù é ù = = êë úû ê ú ë û ò ò ò ò ò 另一方面，由含参量的定积分交换次序定理， ( , , ) ( ) b b a a fxy dx dy f x y dy dx b b a a é ù é ù = êë úû ê ú ë û ò ò ò ò 令 b ®+¥ ，有： ( ) ( ) ( ) ( ) , lim , , b b a a b b a a f x y dx dy f x y dy dx F x dx f x y dy dx b a a b a +¥ ®+¥ +¥ éùéù = êúêú ëûëû é ù = = ê ú ë û ò ò ò ò ò ò ò 证毕 定理 4：（积分顺序交换定理之二）设 1) f ( x, y)ÎC a ([ , , +¥)´[a +¥)) ； 2) f ( x y, ) dy a +¥ ò 在[a,+¥) 的任一有限子区间上一致收敛； 3) ( ( ) ) , a f x y dy dx a +¥ + ¥ ò ò 与 ( ( ) ) , a f x y dx dy a +¥ + ¥ ò ò 两者至少有一个存在； 则： ( ( ) ) ( ( ) ) , , a a f x y dy dx f x y dx dy a a +¥ +¥ +¥ +¥ = ò ò ò ò 。 证明： " ³z a ，令： ( , , ) ( ) z a F z y = f x y dx ò ，它满足： (1) F z( , y )ÎC a ([ , , +¥)´[a +¥)) （由含参量定积分之性质）