含参量的积分 (2)积分”F(,y)对:∈+∞)一致收敛 这是因为F(,列(x到s1(x,由条件3)以及 Wess列别法,知F(y)小对=E+∞)-致收敛 (3)有条件22→+时,y∈[a,F(,y)一致收敛到∫。f(x,y) 因此,由定理1知 另一方面,由定理3知: (xy小)女=C((,)="F(y 令→+,即得:「"((x,y)小=((xy) 证毕 推论:假设 f(x,y)∈C([a+∞)×[a,+∞)且非负,(即f(x,y)≥0) ∫。f( k,y)dre cla,+x),「f(xy)∈Ca+) 3)(C(4与厂((x到至少有一个存在 厂(xy)女=C(xy) 证明仿照定理4的证明即可。 定理5:(积分号下求导定理)假设: 1)f(x,y),f(x,y)在x∈[ab],y≥a上连续 f(x,y)存在 3)「f(x,y)在a上一致收敛 则:F(x)=”(xyd∈C"[a小,且F(x)=「(xy)d 证明:令:(x)=(xy),显然(x)∈C,并且由定理3,有: ∫(=(x)小体=厂[(x列p CI(x, y)-f(a, y) ]dy=F(x)-F(a 因而结论成立。 证毕 13.126含参量的积分 13.126 (2) 积分 Fzy ( , ) dy a +¥ ò 对 z a Î[ ,+¥)一致收敛； 这是因为 ( , ) ( , , ) ( ) z a a F z y f x y dx f x y dx +¥ £ £ ò ò ，由条件 3)以及 Weierstrass 判别法，知 Fzy ( , ) dy a +¥ ò 对 z a Î[ ,+¥)一致收敛 (3) 有条件 2)，z ® +¥ 时，" Îy [a b, ]，Fzy ( , ) 一致收敛到 ( , ) a f x y dx +¥ ò ； 因此，由定理 1 知： ( ) ( ) ( ( ) ) lim , lim , , z z a Fzy dy Fzy dy f x y dx dy a a a +¥ +¥ +¥ +¥ ®+¥ ®+¥ = = ò ò ò ò 另一方面，由定理 3 知： ( ( , ) ) ( ( , , ) ) ( ) z z a a f x y dy dx fxy dx dy Fzy dy a a a +¥ +¥ +¥ = = ò ò ò ò ò 令 z ® +¥ ，即得： ( ( ) ) ( ( ) ) , , a a f x y dy dx f x y dx dy a a +¥ +¥ +¥ +¥ = ò ò ò ò 证毕 推论： 假设： 1) f ( x, y)ÎC a ([ , , +¥)´[a +¥)) 且非负，（即 f ( x y, 0 ) ³ ） 2) ( , , ) [ ) a f x y dx C a +¥ Î +¥ ò ， f ( x y, , )dy C a[ ) a +¥ Î +¥ ò ； 3) ( ( ) ) , a f x y dy dx a +¥ +¥ ò ò 与 ( ( ) ) , a f x y dx dy a +¥ +¥ ò ò 至少有一个存在； 则： ( ( ) ) ( ( ) ) , , a a f x y dy dx f x y dx dy a a +¥ +¥ +¥ +¥ = ò ò ò ò 。 证明仿照定理 4 的证明即可。 定理 5：（积分号下求导定理）假设： 1) f ( x, y f ), , x ( x y ) 在 xÎ[a b, ]， y ³a 上连续； 2) f ( x y, ) dy a +¥ ò 存在； 3) f x ( x y, )dy a +¥ ò 在[ a b, ] 上一致收敛； 则： ( ) ( ) ( ) [ ] 1 F x f x y, , dy C a b a +¥ = Î ò ，且 F ( x ) f x ( x y, ) dy a +¥ ¢ = ò 。 证明： 令： ( x) f x ( x y, )dy a j +¥ = ò ，显然j(x) , ÎCab [ ] ，并且由定理 3，有： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , x x x x x a a a x dx f x y dy dx f x y dx dy f x y f a y dy F x F a a a a j +¥ +¥ +¥ é ù é ù = = êë úû ê ú ë û = é ù - = - ë û ò ò ò ò ò ò 因而结论成立。 证毕